数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积第1课时学案设计

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积

2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式

V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，

V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)，

V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．

1．判断正误

(1)圆柱的表面积就是侧面积．(　　)

(2)在一个圆锥中，母线长度不一定相同．(　　)

(3)圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为(　　)

A. cm3　　　　　　　 B. cm3

C. cm3或 cm3   D．192π cm3

C　[圆柱的高为8 cm时，V＝π××8＝ cm3，当圆柱的高为12 cm时，V＝π××12＝ cm3.]

3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)

A．72   B．42π

C．67π   D．72π

C　[表面积S＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]

【例1】　(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和．

①求圆台的母线长．

②求圆台的表面积．

(1)A　[设圆柱底面半径为r，则高为2πr，

表面积∶侧面积＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝.]

(2)[解]　①设圆台的母线长为l，则由题意得

π(2＋6)l＝π×22＋π×62，

∴8πl＝40π，∴l＝5，

∴该圆台的母线长为5.

②由①可得圆台的表面积为

S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62

＝40π＋4π＋36π

＝80π.

圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤

解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：

(1)得到空间几何体的平面展开图．

(2)依次求出各个平面图形的面积．

(3)将各平面图形的面积相加．

1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(　　)

A．4倍       B．3倍  C.倍   D．2倍

D　[由已知得l＝2r，＝＝＝2，故选D.]

【例2】　圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是(　　)

A．1∶1      B．1∶6  C．1∶7   D．1∶8

C　[如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，

∵O′为PO中点，∴PO′＝，

∵＝＝，∴O′A＝，

∴V圆锥PO′＝π··

＝πR2h.

V圆台O′O＝··＝πR2h.

∴＝，故选C.]

求几何体体积的常用方法

2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　)

A.π        B．2  C.π  D.π

D　[S1＝π，S2＝4π，

∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，

∴l＝2，∴h＝.

∴V＝π(1＋4＋2)×＝π.故选D.]

【例3】　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．

[解]　如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a，

∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，

∴DO＝DD′＝a.

由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．

由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，

圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，

圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，

∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，

∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5

＝(4＋9)πa2.

又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3，

V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3，

∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.

如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？

[解]　如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝a，DC＝2a，

所以该旋转体的表面积为：

S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧

＝π·(a)2＋2πa·a＋π·a·2a

＝3πa2＋2πa2＋2πa2

＝(3＋4)πa2，

该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱

＝π(a)2·a＋π(a)2a

＝4πa3.

求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．

1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)

A．1∶2　　　　　　　　 B．1∶

C．1∶   D.∶2

C　[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶.]

2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)

A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．3

A　[设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]

3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为        ．

7π　[由已知圆台上、下底面积分别为

S上＝π，S下＝4π.

则V圆台＝·(π＋＋4π)·3＝7π.]

4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为        ．

6π　[由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.]

5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积．

[解]　由题意V锥体＝Sh＝πr2·h＝.