数学必修 第二册6.2 平面向量的运算练习

6.2.3 向量的数乘运算

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．下列各式计算正确的个数是(　　)

①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.

A．0  B．1  C．2  D．3

【答案】C

【解析】根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．

2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　)

A.－

B．－＋

C．－－

D.＋

【答案】B

【解析】　∵D是AB的中点，∴＝，

∴＝＋＝－＋.

3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A，B，D    B．A，B，C    C．B，C，D    D．A，C，D

【答案】A

【解析】　＝＋＝＋＋

＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)

＝3a＋6b＝3，

∴A，B，D三点共线．故选A.

4．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是(　　)

A．平行四边形   B．菱形

C．等腰梯形   D．不等腰的梯形

【答案】C

【解析】因为＝－，所以AB∥CD，且||≠||.而||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．

5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)

A.a＋b   B.a＋b

C.a＋b   D.a＋b

【答案】B

【解析】如图所示，∵E是OD的中点，∴＝＝b.

又∵△ABE∽△FDE，∴＝＝.

∴＝3，∴＝，

在△AOE中，＝＋＝a＋b，

∴＝＝a＋b.故选B.

6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________.

【答案】－4

【解析】∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，

∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.

∴解得或

∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4.

7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是________．

【答案】－b＋c

【解析】　若a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.

∴解之，得

8．如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，那么r用 p， q怎么表示？

【答案】r＝－p＋q.

【解析】∵＝＋，＝－3＝3，

∴＝.

∴＝＋＝＋(－)．

∴r＝q＋(r－p)．

∴r＝－p＋q.

能力提升

9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　)

①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；

②存在相异实数λ，μ，使＝0；

③＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；

④已知梯形ABCD，其中

A．①②　　　　　　B．①③

C．②               D．③④

【答案】A　

【解析】由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．

10．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

【答案】2

【解析】在△ABC中，连接AO.由于O是BC的中点，因此＝(＋)＝＋.

由于＝m，＝n，

则＝m＋n.

由于M，O，N三点共线，则m＋n＝1，

从而m＋n＝2.

11．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，＝a，＝b.

(1)用a，b分别表示向量，；

(2)求证：B，E，F三点共线．

【答案】（1）＝(a＋b)．＝－a＋b.（2）见解析.

【解析】(1)∵＝(＋)＝(a＋b)，

∴＝＝(a＋b)．

∵＝＝b，

∴＝－＝－a＋b.

(2)证明：由(1)知＝－a＋b，

＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b＝，∴＝，∴与共线．

又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．

素养达成

12．设e1，e2是两个不共线的向量，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2.

(1)求证A，B，D三点共线；

(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；

(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围．

【答案】(1)见解析．(2)λ＝±.(3)当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．

【解析】 (1)证明：因为＝＋＝4e1＋e2＋8e1－9e2＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4，

所以与共线．

因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．

(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，

所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．

因为e1，e2不共线，所以

所以λ＝±.

(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．

因为e1，e2不共线，所以所以λ＝±1.

所以当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．