2021学年第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算综合训练题

这是一份2021学年第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算综合训练题

6.2.3　向量的数乘运算1.若点O为平行四边形ABCD的中心，AB=2e1，BC=3e2，则32e2-e1=（　　）A.BO B.AO C.CO D.DO【答案】A【解析】BD=AD−AB=BC−AB=3e2-2e1，BO=12BD=32e2-e1.2.（多选题）已知m，n是实数，a，b是向量，则下列结论中正确的为（　　）A.m（a-b）=ma-mb B.（m-n）a=ma-naC.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n【答案】AB【解析】A中结论正确，B中结论正确，C中结论错误，由ma=mb，得m（a-b）=0，当m=0时也成立，推不出a=b.D中结论错误，由ma=na，得（m-n）a=0，当a=0时也成立，推不出m=n.3.在四边形ABCD中，若AB=3a，CD=-5a，且|AD|=|BC|，则四边形ABCD是（　　）A.平行四边形 B.菱形C.等腰梯形 D.矩形【答案】C【解析】由条件可知，AB=-35CD，故AB∥CD，且|AB|≠|CD|.又因为|AD|=|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形.4.在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，则EB=（　　）A.34AB−14AC B.14AB−34ACC.34AB+14AC D.14AB+34AC【答案】A【解析】如图所示，EB=ED+DB=12AD+12CB=12×12(AB+AC）+12(AB−AC）=34AB−14AC.5.（多选题）下列非零向量a，b中，一定共线的是（　　）A.a=2e，b=-2eB.a=e1-e2，b=-2e1+2e2C.a=4e1-25e2，b=e1-110e2D.a=e1+e2，b=2e1-2e2【答案】ABC【解析】对于A，有b=-a，则a与b共线;对于B，有b=-2a，则a与b共线;对于C，有a=4b，则a与b共线;对于D，不存在实数λ，使b=λa，故a与b不共线.6.设a，b不共线，AB=a+kb，AC=ma+b（k，m∈R），则A，B，C三点共线时有（　　）A.k=m B.km-1=0 C.km+1=0 D.k+m=0【答案】B【解析】若A，B，C三点共线，则AB与AC共线，所以存在唯一实数λ，使AB=λAC，即a+kb=λ（ma+b），即a+kb=λma+λb，所以λm=1,λ=k,所以km=1，即km-1=0.7.设a，b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+kb（k∈R）的方向相反，则k=　　　　　. 【答案】-4【解析】因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反，所以ka+2b=λ（8a+kb）（其中λ<0）⇒2=λk,k=8λ⇒λ=−12,k=−4.8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA-3OB+2OC=0，则|AB||BC|=　　　　　. 【答案】2【解析】∵OA-3OB+2OC=0，∴OB−OA=2（OC−OB），∴AB=2BC，∴|AB||BC|=2.9.已知在△ABC中，点M满足MA+MB+MC=0，若存在实数m，使得AB+AC=mAM成立，则m=　　　　　. 【答案】3【解析】由MA+MB+MC=0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则AM=23AD=23×12(AB+AC）=13(AB+AC），所以有AB+AC=3AM.又AB+AC=mAM，故m=3.10.计算:（1）6（3a-2b）+9（-2a+b）;（2）12(3a+2b)-23a-b−7612a+37 b+76a ;（3）6（a-b+c）-4（a-2b+c）-2（-2a+c）.解：（1）原式=18a-12b-18a+9b=-3b.（2）原式=123a-23a+2b-b−7612a+12a+37b =1273a+b−76a+37b=76a+12b-76a-12b=0.（3）原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=（6a-4a+4a）+（8b-6b）+（6c-4c-2c）=6a+2b.11.设两个非零向量e1，e2不共线，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2.问:是否存在实数k，使得A，B，D三点共线?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.解：设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，∵DB=CB−CD=（e1+3e2）-（2e1-e2）=-e1+4e2，AB=2e1+ke2，又A，B，D三点共线，∴AB=λDB（λ∈R），∴2e1+ke2=λ（-e1+4e2），∴2=−λ,k=4λ,∴k=-8，故存在k=-8，使得A，B，D三点共线.1.设a，b都是非零向量.下列四个条件中，能使a|a|=b|b|成立的是（　　）A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a∥b且|a|=|b|【答案】C【解析】a|a|,b|b|分别表示与a，b同向的单位向量.对于A，当a=-b时，a|a|≠b|b|;对于B，当a∥b时，可能有a=-b，此时a|a|≠b|b|;对于C，当a=2b时，a|a|=2b|2b|=b|b|;对于D，当a∥b且|a|=|b|时，可能有a=-b，此时a|a|≠b|b|.综上所述，只有a=2b能使a|a|=b|b|成立.2.如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，DC=3BD,AE=2EC，则DE等于（　　）A.-13a+34bB.512a-34bC.34a+13bD.-34a+512b【答案】D【解析】DE=DC+CE=34BC+-13AC=34(AC−AB）-13AC=-34AB+512AC=-34a+512b.3.如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，AB=a，AC=b，则AD等于（　　）A.a-12b B.12a-bC.a+12b D.12a+b【答案】D【解析】连接CD，OD，如图.∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，∴AC=CD，∠CAD=∠DAB=13×90°=30°.∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO=30°，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥DO.由AC=CD，得∠CDA=∠CAD=30°，∴∠CDA=∠DAO，∴CD∥AO.∴四边形ACDO为平行四边形，∴AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b.4.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC=a，BD=b，则AF等于（　　）A.14a+12bB.13a+23bC.12a+14bD.23a+13b【答案】D【解析】∵△DEF∽△BEA，∴DFAB=DEEB=13，∴DF=13AB，∴AF=AD+DF=AD+13AB.∵AC=AB+AD=a，BD=AD−AB=b，∴AB=12（a-b），AD=12（a+b），∴AF=12（a+b）+16（a-b）=23a+13b.5.如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD且|AB|=2|CD|，点M，N分别是DC，AB的中点，已知AB=e1，AD=e2，试用e1，e2表示下列向量:（1）AC=　　　　　; （2）MN=　　　　　. 【答案】（1）e2+12e1　（2）14e1-e2【解析】因为AB∥CD，|AB|=2|CD|，所以AB=2DC，即DC=12AB.（1）AC=AD+DC=e2+12e1.（2）MN=MD+DA+AN=-12DC−AD+12AB=-14e1-e2+12e1=14e1-e2.6.设向量a，b不平行，向量λa+b与a+2b平行，则实数λ=　　　　　. 【答案】12【解析】∵向量a，b不平行，∴a+2b≠0，又向量λa+b与a+2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa+b=μ（a+2b）成立，即λa+b=μa+2μb，则λ=μ,1=2μ,解得λ=μ=12.7.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=13BD.求证:M，N，C三点共线.证明：设BA=a，BC=b，则由向量减法的三角形法则可知CM=BM−BC=12BA−BC=12a-b.又点N在BD上，且BN=13BD，∴BN=13BD=13(BC+BA）=13（a+b），∴CN=BN−BC=13（a+b）-b=13a-23b=2312a-b，∴CN=23CM，又直线CN与CM有公共点C，∴M，N，C三点共线.8.在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且BD=13BC,CE=13CA，AD与BE相交于点R，求证:RD=17AD.证明：设AR=mAD（m∈R）.∵AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB）=23AB+13AC，∴AR=23mAB+13mAC.∵CE=13CA，∴AE=23AC，∴BE=AE−AB=23AC−AB,BR=AR−AB=23m-1AB+13mAC.∵B，R，E三点共线，∴BR=nBE（n∈R），即23m-1AB+13mAC=23nAC-nAB，∴23m−1+n AB=23n−13m AC.∵AB与AC不共线，∴23m-1+n=0,23n-13m=0,解得m=67,n=37.∴AR=67AD,RD=17AD.