人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算随堂练习题

《第二节　平面向量的运算》同步练习

（课时3　向量的数乘运算）

一、基础巩固

知识点1　向量的数乘运算

1.[2022浙江嵊州高一下期末]3(2a-b)-2(a+3b)的化简结果为(　　)

A.4a+3b  B.4a-9b

C.8a-9b  D.4a-3b

2.[2022吉林通化重点中学高一下期末]正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近点B),那么=(　　)

A.  B.

C.  D.

3.(多选)设a,b都是非零向量,则下列四个条件中,一定能使=0成立的是(　　)

A.a=-2b  B.a=2b

C.a=b  D.a=-b

4.(多选)如图,在梯形ABDC中,AB∥CD,AB=2CD,AD与BC相交于点O,则(　　)

A.

B.=0

C.|+2|=0

D.

5.[2022山东潍坊高一下月考]若=3-2,则=　　　　. 

知识点2　向量共线定理的应用

6.[2022福建厦门一中高一月考]已知非零向量a,b且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)

A.A,B,D  B.A,B,C

C.B,C,D  D.A,C,D

7.[2022湖南株洲一中调研]已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么实数k的值是(　　)

A.1  B.2  C.-1  D.-2

8.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,则下列四个条件中,一定能使a,b共线的是(　　)

A.2a-3b=4e且a+2b=-2e

B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0

C.xa+yb=0,其中实数x,y满足x+y=0

D.已知梯形ABCD,其中=a,=b

9.已知P为△ABC所在平面内一点,且满足=λ(),=(1-2μ),λ,μ∈R,则λ+μ=(　　)

A.-  B.  C.  D.-

10.如图,在△ABC中,P在线段BC上,且,,求证:直线CQ经过线段AP的中点O.

二、能力提升

1.[2022山东潍坊高一期中]在△ABC中,,则点P(　　)

A.在线段BC上,且

B.在线段CB的延长线上,且

C.在线段BC的延长线上,且

D.在线段BC上,且

2.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若+μ,则μ的取值范围是(　　)

A.[0,1]  B.[0,]

C.[0,]  D.[,2]

3.[2022广东铁一、广附、广外三校高一下期末联考]若点E是△ABC的中线BD上的一点(不含端点),且=x+y,则的最小值为(　　)

A.4  B.8  C.6  D.12

4.(多选)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,点E为BC边上一点,且=3,点F为AE的中点,则(　　)

A.=-

B.

C.=-

D.

5.(多选)[2022上海交通大学附属中学高一下线上测试]设点D是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)

A.若(),则点D是边BC的中点

B.若(),则点D是△ABC的重心

C.若=2,则点D在边BC的延长线上

D.若=x+y,且x+y=,则△BCD的面积是△ABC面积的一半

6.[2022湖北武汉钢城第四中学高一期中]在等边三角形ABC中,D为边BC上的点且满足=2,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,若=λ+μ,则λ+μ的值是　　　　. 

7.[2022辽宁沈阳二中高一期中]如图,点O是梯形ABCD对角线的交点,AD=4,BC=6,AB=2,设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.

(1)用a0和b0表示,和;

(2)若点P在梯形ABCD所在平面上运动,且||=2,求|2|的最大值和最小值.

参考答案

一、基础巩固

1.B　由题意,3(2a-b)-2(a+3b)=4a-9b.

2.D　因为点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近点B),所以.

3.AD　因为与a同向的单位向量为,与b同向的单位向量为,所以若=0,则a,b方向相反,故选AD.

4.ABC　对于A,,所以A正确;利用向量的加法运算,知B正确;对于C,因为△OCD∽△OBA,所以,即=-,所以|+2|=||=|0|=0,所以C正确;对于D,()=(+2)=,故D错误.故选ABC.

5.　解析由=3-2可得=2(),即=2=2(),可得3=2,则.

6.A　对于A,=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2,则A,B,D三点共线,故A正确.对于B,不存在实数λ,使得=λ,故A,B,C三点不共线,故B错误,同理可得C错误.对于D,=(a+2b)+(-5a+6b)=-4a+8b,=7a-2b,若A,C,D三点共线,则存在实数k,使得=k,即-4a+8b=k(7a-2b),此时k不存在,故D错误.故选A.

7.C　由题意可设c=λd,即ka+b=λ(a-b),则(λ-k)a=(λ+1)b.因为a,b不共线,所以所以k=λ=-1.

8.AB　对于A,因为向量a,b是两个非零向量,2a-3b=4e且a+2b=-2e,所以a=e,b=-e,此时能使a,b共线,故A正确;对于B,由题意知λ,μ均不为零,则a=b,所以a,b共线,故B正确;对于C,如果x=y=0,则不一定能使a,b共线,故C错误;对于D,如果AB,CD是梯形的上、下底,则正确,否则错误,故D错误.

9.C　因为=λ(),所以点P在边BC的中线所在的直线上.因为=(1-2μ),所以点P在边BC所在的直线上,所以点P是边BC的中点,所以λ=,1-2μ=,所以μ=,所以λ+μ=.

10.证明因为,所以,即.

又O为线段AP的中点,所以2.

因为,

所以2,

因此,

所以,

因此=5,

所以直线CQ经过线段AP的中点O.

二、能力提升

1.B　由题意,得(),则,所以C,P,B三点共线,且点P在线段CB的延长线上,.故选B.

2.C　如图所示,过点C作CF⊥AB,垂足为点F,则四边形AFCD为矩形.在Rt△BFC中,∠B=30°,BC=2,所以CF=1,BF=.因为AB=2,所以AF=.由四边形AFCD是矩形,可得CD=AF=AB.因为+μ,所以=μ.因为点E在线段DC上,,所以0≤μ≤.

3.B　因为BD为三角形的中线,所以=2,所以=x+y=x+2y.又B,E,D三点共线,所以x+2y=1且x>0,y>0,所以=()(x+2y)=2++2≥4+2=8,当且仅当,即x=2y=时,等号成立.

4.ABC　由题知=-=-,故A正确;因为=3,所以=-,所以+(-)=,又点F为AE的中点,所以,故B正确;=-=-,故C正确;=--(-)=-,故D错误.故选ABC.

5.ABD

6.-　解析因为△ABC是等边三角形,所以B=,AB=AC=BC.因为DE⊥AB,所以cos,所以BE=BC=BA,则=-.因为DF∥AB,所以,,代入=λ+μ,可得=λ(-)+μ,所以(λ)=(λ+μ+1),所以所以所以λ+μ=-1-=-.

7.解析(1)由题意知=6a0,=2b0,

所以=6a0-2b0.

又=4a0,所以=4a0-(6a0-2b0)=2b0-2a0.

因为AD∥BC,所以△AOD∽△COB,所以,

所以=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0.

(2)|2|=2||=2||≤2(||+||)=2×(6+2)=16,当且仅当B,C,P三点共线且C在B,P中间时等号成立.

又|2|=2||=2||≥2|||-|||=2×(6-2)=8,当且仅当B,C,P三点共线且P在B,C中间时等号成立.

综上,|2|的最大值为16,最小值为8.