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2021学年1.1 集合的概念集体备课ppt课件
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这是一份2021学年1.1 集合的概念集体备课ppt课件，共38页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，名师点析等内容，欢迎下载使用。
1.通过实例,理解集合的含义.(数学抽象)2.掌握集合中元素的三个特性.(直观想象)3.理解元素与集合的“属于”关系.(数学抽象)4.记住常用数集及其记法.(直观想象)
[激趣诱思]高一开学第二天,学校通知:上午8点,在学校体育馆举行军训动员大会.问题:这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象?军训动员大会结束后,为了了解同学们对军训的看法,决定留下20个同学进行问卷调查,若留取的条件是:留下20个个子比较高的同学,你觉得这个留取条件有确定的标准吗?
知识点一:元素与集合的概念一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
名师点析 集合的三个特性(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.
微思考(1)你能举例说出:初中阶段,我们在代数方面学习过的集合吗?提示 自然数集合,有理数集合,实数集合,方程解的集合,不等式解的集合.(2)按照集合的定义,能找出符合下面的条件的集合吗?①某班比较胖的同学;②某班体重超过90 kg的同学.提示 ①不能,因为“胖”没有一个确定的标准;②能,因为“超过90 kg”是一个确定的标准.(3)构成集合的元素有什么要求?提示 构成集合的元素除了常见的数、点、式子等数学对象,也可以是其他任何形式的对象,只要是有确定标准的对象即可,另外,一个集合也可以是另一个集合的元素.
知识点二:集合中元素的特性1.集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.2.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.名师点析 对集合中元素的特性的理解(1)确定性是集合的基本特征,没有确定性就不能构成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:组成集合{gd中的字母}的元素是g,,,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为集合{gd中的字母}的元素有3个,分别为g,,d.
微思考(1)方程x2+2x+1=0的解集中含有几个元素?提示 1个元素.(2)等腰三角形的边长构成的集合中有几个元素?正三角形呢?提示 2个元素,1个元素.(3)改变一个集合中元素的顺序,这个集合还是原来的集合吗?提示 是.
知识点三:元素与集合的关系
微思考(1)如何理解元素a与集合A的关系?提示 a∈A与a∉A决定于元素a是否是集合A中的元素,当元素a是集合A中的元素时,a∈A,当元素a不是集合A中的元素时,a∉A,在a∈A与a∉A这两种关系中,有且只有一种成立.(2)如何准确理解符号“∈”和“∉”?提示 符号“∈”和“∉”是表示集合的元素与集合之间的关系,只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
知识点四:常用数集及其记法
微思考(1)非负整数集与正整数集有何区别?提示 非负整数集包括0,而正整数集不包括0.(2)最小的自然数是什么?提示 由于自然数又称为非负整数,因此最小的自然数是0.
例1给出下列各组对象:①我们班中比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥ 的近似值的全体.其中能够构成集合的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个分析判断一组对象能否构成集合,就看判断标准是否明确.
答案 B解析 ①②③⑥不能构成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以构成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.反思感悟 判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.应特别注意,含有不确定的模棱两可的对象,如本题中①②③⑥都含有不确定的模棱两可的对象,因此不是数学意义上的集合.另外还要注意集合中元素的互异性、无序性.
变式训练1(2021山西吕梁高一期中)下列各组对象不能构成集合的是( )A.某教室内的全部桌子B.2020年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数答案 B解析 “某教室内的全部桌子”属于确定的概念,故能构成集合;由于难题属于不确定的概念,因此“2020年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能够组成集合.故选B.
例2(1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是( )A.0∈M,3∈MB.0∉M,3∈MC.0∈M,3∉MD.0∉M,3∉M(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数a的值;③若1∉A,求实数a的取值范围.(3)若集合A是由所有形如3a+ b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2 是不是集合A中的元素.
(1)答案 C(2)解 ①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.(3)解 是.因为-6+2 =3×(-2)+ ×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+2 是集合A中的元素.
反思感悟 判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征.
变式训练2(1)下列所给关系正确的是( )(2)已知集合A中的元素x满足x=m2-n2(m,n∈Z),试判断下列元素与集合A之间的关系.①0;②3;③4;④若一个元素a∈A,试判断-a与集合A的关系,并说明理由.
(1)答案 D(2)解 ①∵0=m2-m2(m∈Z),∴0∈A.②∵3=22-12(2,1∈Z),∴3∈A.③∵4=22-02,∴4∈A.④由于a∈A,则一定存在m,n∈Z满足a=m2-n2,因此-a=n2-m2,结合m,n∈Z可知-a∈A.
例3已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.
要点笔记 涉及含字母的集合中元素与集合的关系问题时,在根据题意求得其中元素(或字母)的值以后,要注意检验所求字母的值是否满足集合中元素的性质,尤其是是否满足集合中元素的互异性.
延伸探究 (1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?
(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
利用分类讨论思想求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集一般地,形如ax2+bx+c=0是关于x的方程,当a≠0时,该方程是关于x的一元二次方程,当a=0,b≠0时是关于x的一元一次方程,求解此类方程的解集问题,要注意根据二次项的系数是否为0判断其是否为一元二次方程,当a≠0时可借助判别式的符号求解.典例 已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;(3)若A中至多有一个元素,试求a的值.
【规范答题】解 (1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,解得a=-3,此时由-3x2+2x+1=0可知x=1或- .则集合A中的另一个元素为- .(2)当a=0时,原方程化为2x+1=0,解得x=- ,满足条件;当a≠0时,只需Δ=4-4a=0,即a=1,故所求a的值为0或1,因此集合B中元素的个数为2.
(3)A中至多有一个元素时包括方程有1个解或无解.当方程中有1个解时,由(2)可知a的值为0或1;当方程无解时,只需Δ=4-4a<0,即a>1.因此A中至多有一个元素时,a=0或a≥1.
A.a∈A,且b∉AB.a∉A,且b∈AC.a∈A,且b∈AD.a∉A,且b∉A答案 B
2.(多选题)下列说法正确的是( )A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B.正方体的全体构成一个集合C.未来世界的高科技产品构成一个集合D.不大于3的所有自然数构成一个集合答案 BD解析 花坛上色彩艳丽的花朵是一个不确定的概念,不能构成一个集合,故A错误;正方体的全体能构成一个集合,故B正确;未来世界的高科技产品是一个不确定的概念,因此不能构成一个集合,故C错误;不大于3的所有自然数能构成一个集合,故D正确.
3.若以正实数x,y,z,w四个元素构成集合A,以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案 A解析 由于集合中的元素具有互异性,所以正实数x,y,z,w互不相等.因为平行四边形、菱形、矩形都有相等的边,而梯形四边不一定相等,故以集合A中四个元素为边长构成的四边形可能是梯形,故选A.
4.用符号∈或∉填空:(其中A表示由所有质数组成的集合)
答案 (1)∉ ∈ ∈ (2)∉ ∈ ∈
5.若方程x2-ax+2=0的解集为M,且1∈M,则a= ,集合M中的另一个元素是 . 答案 3 2解析 由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一个根,将1代入可得a=3,当a=3时,方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合的另一个元素是2.
6.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.
1.通过实例,理解集合的含义.(数学抽象)2.掌握集合中元素的三个特性.(直观想象)3.理解元素与集合的“属于”关系.(数学抽象)4.记住常用数集及其记法.(直观想象)
[激趣诱思]高一开学第二天,学校通知:上午8点,在学校体育馆举行军训动员大会.问题:这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象?军训动员大会结束后,为了了解同学们对军训的看法,决定留下20个同学进行问卷调查,若留取的条件是:留下20个个子比较高的同学,你觉得这个留取条件有确定的标准吗?
知识点一:元素与集合的概念一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
名师点析 集合的三个特性(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.
微思考(1)你能举例说出:初中阶段,我们在代数方面学习过的集合吗?提示 自然数集合,有理数集合,实数集合,方程解的集合,不等式解的集合.(2)按照集合的定义,能找出符合下面的条件的集合吗?①某班比较胖的同学;②某班体重超过90 kg的同学.提示 ①不能,因为“胖”没有一个确定的标准;②能,因为“超过90 kg”是一个确定的标准.(3)构成集合的元素有什么要求?提示 构成集合的元素除了常见的数、点、式子等数学对象,也可以是其他任何形式的对象,只要是有确定标准的对象即可,另外,一个集合也可以是另一个集合的元素.
知识点二:集合中元素的特性1.集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.2.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.名师点析 对集合中元素的特性的理解(1)确定性是集合的基本特征,没有确定性就不能构成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:组成集合{gd中的字母}的元素是g,,,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为集合{gd中的字母}的元素有3个,分别为g,,d.
微思考(1)方程x2+2x+1=0的解集中含有几个元素?提示 1个元素.(2)等腰三角形的边长构成的集合中有几个元素?正三角形呢?提示 2个元素,1个元素.(3)改变一个集合中元素的顺序,这个集合还是原来的集合吗?提示 是.
知识点三:元素与集合的关系
微思考(1)如何理解元素a与集合A的关系?提示 a∈A与a∉A决定于元素a是否是集合A中的元素,当元素a是集合A中的元素时,a∈A,当元素a不是集合A中的元素时,a∉A,在a∈A与a∉A这两种关系中,有且只有一种成立.(2)如何准确理解符号“∈”和“∉”?提示 符号“∈”和“∉”是表示集合的元素与集合之间的关系,只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
知识点四:常用数集及其记法
微思考(1)非负整数集与正整数集有何区别?提示 非负整数集包括0,而正整数集不包括0.(2)最小的自然数是什么?提示 由于自然数又称为非负整数,因此最小的自然数是0.
例1给出下列各组对象:①我们班中比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥ 的近似值的全体.其中能够构成集合的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个分析判断一组对象能否构成集合,就看判断标准是否明确.
答案 B解析 ①②③⑥不能构成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以构成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.反思感悟 判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.应特别注意,含有不确定的模棱两可的对象,如本题中①②③⑥都含有不确定的模棱两可的对象,因此不是数学意义上的集合.另外还要注意集合中元素的互异性、无序性.
变式训练1(2021山西吕梁高一期中)下列各组对象不能构成集合的是( )A.某教室内的全部桌子B.2020年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数答案 B解析 “某教室内的全部桌子”属于确定的概念,故能构成集合;由于难题属于不确定的概念,因此“2020年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能够组成集合.故选B.
例2(1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是( )A.0∈M,3∈MB.0∉M,3∈MC.0∈M,3∉MD.0∉M,3∉M(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数a的值;③若1∉A,求实数a的取值范围.(3)若集合A是由所有形如3a+ b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2 是不是集合A中的元素.
(1)答案 C(2)解 ①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.(3)解 是.因为-6+2 =3×(-2)+ ×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+2 是集合A中的元素.
反思感悟 判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征.
变式训练2(1)下列所给关系正确的是( )(2)已知集合A中的元素x满足x=m2-n2(m,n∈Z),试判断下列元素与集合A之间的关系.①0;②3;③4;④若一个元素a∈A,试判断-a与集合A的关系,并说明理由.
(1)答案 D(2)解 ①∵0=m2-m2(m∈Z),∴0∈A.②∵3=22-12(2,1∈Z),∴3∈A.③∵4=22-02,∴4∈A.④由于a∈A,则一定存在m,n∈Z满足a=m2-n2,因此-a=n2-m2,结合m,n∈Z可知-a∈A.
例3已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.
要点笔记 涉及含字母的集合中元素与集合的关系问题时,在根据题意求得其中元素(或字母)的值以后,要注意检验所求字母的值是否满足集合中元素的性质,尤其是是否满足集合中元素的互异性.
延伸探究 (1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?
(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
利用分类讨论思想求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集一般地,形如ax2+bx+c=0是关于x的方程,当a≠0时,该方程是关于x的一元二次方程,当a=0,b≠0时是关于x的一元一次方程,求解此类方程的解集问题,要注意根据二次项的系数是否为0判断其是否为一元二次方程,当a≠0时可借助判别式的符号求解.典例 已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;(3)若A中至多有一个元素,试求a的值.
【规范答题】解 (1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,解得a=-3,此时由-3x2+2x+1=0可知x=1或- .则集合A中的另一个元素为- .(2)当a=0时,原方程化为2x+1=0,解得x=- ,满足条件;当a≠0时,只需Δ=4-4a=0,即a=1,故所求a的值为0或1,因此集合B中元素的个数为2.
(3)A中至多有一个元素时包括方程有1个解或无解.当方程中有1个解时,由(2)可知a的值为0或1;当方程无解时,只需Δ=4-4a<0,即a>1.因此A中至多有一个元素时,a=0或a≥1.
A.a∈A,且b∉AB.a∉A,且b∈AC.a∈A,且b∈AD.a∉A,且b∉A答案 B
2.(多选题)下列说法正确的是( )A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B.正方体的全体构成一个集合C.未来世界的高科技产品构成一个集合D.不大于3的所有自然数构成一个集合答案 BD解析 花坛上色彩艳丽的花朵是一个不确定的概念,不能构成一个集合,故A错误;正方体的全体能构成一个集合,故B正确;未来世界的高科技产品是一个不确定的概念,因此不能构成一个集合,故C错误;不大于3的所有自然数能构成一个集合,故D正确.
3.若以正实数x,y,z,w四个元素构成集合A,以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案 A解析 由于集合中的元素具有互异性,所以正实数x,y,z,w互不相等.因为平行四边形、菱形、矩形都有相等的边,而梯形四边不一定相等,故以集合A中四个元素为边长构成的四边形可能是梯形,故选A.
4.用符号∈或∉填空:(其中A表示由所有质数组成的集合)
答案 (1)∉ ∈ ∈ (2)∉ ∈ ∈
5.若方程x2-ax+2=0的解集为M,且1∈M,则a= ,集合M中的另一个元素是 . 答案 3 2解析 由于1∈M,因此1是方程x2-ax+2=0的一个根,将1代入可得a=3,当a=3时,方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2,因此集合的另一个元素是2.
6.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.
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