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人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词授课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词授课ppt课件，共42页。PPT课件主要包含了内容索引，课标阐释，思维脉络，课前篇自主预习，知识点拨，课堂篇探究学习等内容，欢迎下载使用。
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法.(逻辑推理)3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理)
[激趣诱思]在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,这些人自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见
自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀.你们觉得他能不能给自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑推理方法进行分析了.
知识点一:全称量词与全称量词命题1.概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.2.表示:全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).
名师点析 对全称量词与全称量词命题的理解(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”.(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
微思考给出下列命题:①所有的矩形都是平行四边形;②对任意一个x∈R,都有x2>0;③每一个菱形的对角线都垂直;④自然数是正整数.(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示 这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)命题④是全称量词命题吗?它的量词是什么?提示 是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等).即所有的自然数都是正整数.
知识点二:存在量词与存在量词命题1.概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.2.表示:存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为∃x∈M,p(x).
名师点析 对存在量词与存在量词命题的理解(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”.(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
微思考给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数.上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示 这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
微判断(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )(2)全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词.( )答案 (1)√ (2)×
知识点三:全称量词命题和存在量词命题的否定
名师点析 常见词语的否定如下表所示:
微思考已知命题:①所有的矩形都是平行四边形;②每一个自然数都是正整数;③存在一个x∈R,使得x2≤0;④至少有一个菱形的对角线不垂直.这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题?提示 ①②是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题.③④是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题.
微练习(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是 . 答案 (1)B (2)∃x∈Z,4x-1不是奇数
例1判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数;(2)有些三角形不是等腰三角形;(3)有的实数是无限不循环小数;(4)所有的正方形都是矩形;(5)对任意a,b∈R,若a>b,则
解 (1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.(5)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.(1)所有不等式的解集A,都满足A⊆R;(2)有一个实数a不能有平方根;(3)不相交的两条直线是平行直线;(4)若x>0,则x+2>2.解 因为(1)含有全称量词,所以命题(1)为全称量词命题;因为“有一个实数a不能有平方根”的实质是“至少存在一个实数不能有平方根”,含有存在量词,所以命题(2)为存在量词命题;(3)可以改写为“不相交的两条直线都是平行直线”,因此是全称量词命题;(4)可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.
例2判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1> ;(2)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2;(3)存在一个数既是偶数又是负数;(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.
解 (1)真命题,因为x2≥0,所以x2+1≥1,x2+1> 恒成立.(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,如边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(3)存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3.
解 (2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.(2)假命题.如边长为1的正方形,其对角线的长度为 就不能用正有理数表示.(3)假命题.∃x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.由2x0+4y0=3,得x0+2y0= ,若x0,y0∈Z,则x0+2y0也是整数,不可能等于 ,所以存在量词命题“存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3”是假命题.
例3写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x, >x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数.分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.
解 (1)¬p:存在正数x,使 ≤x-1.(2)¬q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.(3)¬r:所有三角形的内角和小于或等于180°.(4)¬s:所有的质数都不是奇数.
反思感悟 1.一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;全称量词命题和存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+ ≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
解 (1)¬p:∃x∈R,x2-x+ <0,是假命题.∴¬p是假命题.(2)¬q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.
(3)¬r:∀x∈R,x2+3x+7>0,是真命题.∴¬r是真命题.(4)¬s:∀x∈R,x3+1≠0,是假命题.∵当x=-1时,x3+1=0,∴¬s是假命题.
例4(2021山西怀仁高一月考)已知命题:“∃x∈R,x2+ax-4a=0”为假命题,则实数a的取值范围为( )A.{a|-16≤a≤0}B.{a|-16反思感悟 若根据含参数的存在量词命题是假命题求参数的范围,一种方法是假设该命题是真命题,在此真命题限制之下,求出参数的范围后取参数的范围的补集;也可以利用命题的否定为真命题求解,而对于根据含参数的全称量词命题的真假求参数,可同“存在量词命题是假命题”求参数的方法求解.
变式训练4(2021广州执信中学高一期中)已知命题p:∃x<0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是( )A.{a|a<1}B.{a|a≥-1}C.{a|a>-1}D.{a|a≤1}答案 D解析 命题p:∃x<0,x+a-1=0,假设p为真命题,则x=1-a<0,解得a>1,故a的取值范围为{a|a≤1}.故选D.
利用恒成立思想求解含参数的量词中的参数(1)含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最终借助根与系数的关系或函数等相关知识获得解决.
典例 (1)(2021湖南长沙长郡中学高一月考)已知对∀x∈{x|1≤x<3},都有m≥x,则m的取值范围为( )A.{m|m≥3}B.{m|m>3} C.{m|m>1}D.{m|m≥1}(2)(2021福建宁德高一期中)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-k≥1为假命题,则k的取值范围为 . 解析 (1)∵对∀x∈{x|1≤x<3},都有m≥x,∴m≥3,故选A.(2)∵命题p:∀x∈[1,2],x2-k≥1为假命题,∴若p为真命题,则k+1≤(x2)min,∴k+1≤1,即k≤0,故当p为假命题时,k>0.答案 (1)A (2){k|k>0}
方法点睛 求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>f(x)(或af(x)max(或af(x)(或af(x)min(或a
2.(2021福建福州晋安高一期中)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.∀x∈R,x2+2x+1>0B.所有菱形的4条边都相等C.若2x为偶数,则x∈ND.π是无理数答案 B解析 ∀x∈R,x2+2x+1=(x+1)2≥0,故A错误;所有菱形的4条边都相等,满足两个条件,故B正确;x=-2时,2x为偶数,但x∉N,故C错误;“π是无理数”不是全称量词命题,故D错误.故选B.
3.(2020贵州遵义高一检测)下列命题中是真命题的是( )A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,x2+2x>0C.∃x∈R, <0D.∃x∈R,x(x-1)=6答案 D解析 ∀x∈R,x2≥0,故排除A;取x=0,则x2+2x=0,故排除B;因为 ≥0,故排除C;取x=-2,则x(x-1)=6,故D正确.
4.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等.其中是全称量词命题且为真命题的序号是 . 答案 ④解析 全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70.
5.判断下列命题的真假.(1)有一些三角形的两个内角相等;(2)∃x∈R,x2+2x+4<0;(3)∀x∈Z,2x-1是奇数.解 (1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如等腰三角形中就存在两个内角相等,故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题.因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0,所以不存在x∈R,使x2+2x+4<0.故该命题是假命题.(3)该命题是全称量词命题.∀x∈Z,由于2x-1是整数,且不能被2整除,所以2x-1是奇数,故该命题是真命题.
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法.(逻辑推理)3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理)
[激趣诱思]在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,这些人自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见
自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀.你们觉得他能不能给自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑推理方法进行分析了.
知识点一:全称量词与全称量词命题1.概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.2.表示:全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).
名师点析 对全称量词与全称量词命题的理解(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”.(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
微思考给出下列命题:①所有的矩形都是平行四边形;②对任意一个x∈R,都有x2>0;③每一个菱形的对角线都垂直;④自然数是正整数.(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示 这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)命题④是全称量词命题吗?它的量词是什么?提示 是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等).即所有的自然数都是正整数.
知识点二:存在量词与存在量词命题1.概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.2.表示:存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为∃x∈M,p(x).
名师点析 对存在量词与存在量词命题的理解(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”.(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
微思考给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数.上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示 这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
微判断(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )(2)全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词.( )答案 (1)√ (2)×
知识点三:全称量词命题和存在量词命题的否定
名师点析 常见词语的否定如下表所示:
微思考已知命题:①所有的矩形都是平行四边形;②每一个自然数都是正整数;③存在一个x∈R,使得x2≤0;④至少有一个菱形的对角线不垂直.这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题?提示 ①②是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题.③④是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题.
微练习(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是 . 答案 (1)B (2)∃x∈Z,4x-1不是奇数
例1判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数;(2)有些三角形不是等腰三角形;(3)有的实数是无限不循环小数;(4)所有的正方形都是矩形;(5)对任意a,b∈R,若a>b,则
解 (1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.(5)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.(1)所有不等式的解集A,都满足A⊆R;(2)有一个实数a不能有平方根;(3)不相交的两条直线是平行直线;(4)若x>0,则x+2>2.解 因为(1)含有全称量词,所以命题(1)为全称量词命题;因为“有一个实数a不能有平方根”的实质是“至少存在一个实数不能有平方根”,含有存在量词,所以命题(2)为存在量词命题;(3)可以改写为“不相交的两条直线都是平行直线”,因此是全称量词命题;(4)可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.
例2判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1> ;(2)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2;(3)存在一个数既是偶数又是负数;(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.
解 (1)真命题,因为x2≥0,所以x2+1≥1,x2+1> 恒成立.(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,如边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(3)存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3.
解 (2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.(2)假命题.如边长为1的正方形,其对角线的长度为 就不能用正有理数表示.(3)假命题.∃x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.由2x0+4y0=3,得x0+2y0= ,若x0,y0∈Z,则x0+2y0也是整数,不可能等于 ,所以存在量词命题“存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3”是假命题.
例3写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x, >x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数.分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.
解 (1)¬p:存在正数x,使 ≤x-1.(2)¬q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.(3)¬r:所有三角形的内角和小于或等于180°.(4)¬s:所有的质数都不是奇数.
反思感悟 1.一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;全称量词命题和存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+ ≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
解 (1)¬p:∃x∈R,x2-x+ <0,是假命题.∴¬p是假命题.(2)¬q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.
(3)¬r:∀x∈R,x2+3x+7>0,是真命题.∴¬r是真命题.(4)¬s:∀x∈R,x3+1≠0,是假命题.∵当x=-1时,x3+1=0,∴¬s是假命题.
例4(2021山西怀仁高一月考)已知命题:“∃x∈R,x2+ax-4a=0”为假命题,则实数a的取值范围为( )A.{a|-16≤a≤0}B.{a|-16
变式训练4(2021广州执信中学高一期中)已知命题p:∃x<0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是( )A.{a|a<1}B.{a|a≥-1}C.{a|a>-1}D.{a|a≤1}答案 D解析 命题p:∃x<0,x+a-1=0,假设p为真命题,则x=1-a<0,解得a>1,故a的取值范围为{a|a≤1}.故选D.
利用恒成立思想求解含参数的量词中的参数(1)含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最终借助根与系数的关系或函数等相关知识获得解决.
典例 (1)(2021湖南长沙长郡中学高一月考)已知对∀x∈{x|1≤x<3},都有m≥x,则m的取值范围为( )A.{m|m≥3}B.{m|m>3} C.{m|m>1}D.{m|m≥1}(2)(2021福建宁德高一期中)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-k≥1为假命题,则k的取值范围为 . 解析 (1)∵对∀x∈{x|1≤x<3},都有m≥x,∴m≥3,故选A.(2)∵命题p:∀x∈[1,2],x2-k≥1为假命题,∴若p为真命题,则k+1≤(x2)min,∴k+1≤1,即k≤0,故当p为假命题时,k>0.答案 (1)A (2){k|k>0}
方法点睛 求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>f(x)(或a
2.(2021福建福州晋安高一期中)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.∀x∈R,x2+2x+1>0B.所有菱形的4条边都相等C.若2x为偶数,则x∈ND.π是无理数答案 B解析 ∀x∈R,x2+2x+1=(x+1)2≥0,故A错误;所有菱形的4条边都相等,满足两个条件,故B正确;x=-2时,2x为偶数,但x∉N,故C错误;“π是无理数”不是全称量词命题,故D错误.故选B.
3.(2020贵州遵义高一检测)下列命题中是真命题的是( )A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,x2+2x>0C.∃x∈R, <0D.∃x∈R,x(x-1)=6答案 D解析 ∀x∈R,x2≥0,故排除A;取x=0,则x2+2x=0,故排除B;因为 ≥0,故排除C;取x=-2,则x(x-1)=6,故D正确.
4.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等.其中是全称量词命题且为真命题的序号是 . 答案 ④解析 全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70.
5.判断下列命题的真假.(1)有一些三角形的两个内角相等;(2)∃x∈R,x2+2x+4<0;(3)∀x∈Z,2x-1是奇数.解 (1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如等腰三角形中就存在两个内角相等,故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题.因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0,所以不存在x∈R,使x2+2x+4<0.故该命题是假命题.(3)该命题是全称量词命题.∀x∈Z,由于2x-1是整数,且不能被2整除,所以2x-1是奇数,故该命题是真命题.
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