人教版九年级数学上册第二十四章圆（完整知识点）

这是一份人教版九年级数学上册第二十四章圆（完整知识点），共33页。主要包含了圆的有关概念及表示方法，圆的有关性质，点和圆，正多边形与圆，反证法等内容，欢迎下载使用。

（一）圆的定义
1、描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
3、确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
注：同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（二）圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作⨀O，读作“圆O”。
（三）圆具有的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）。
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
（四）圆的有关概念
1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。以AC为端点的弦，记作：弦AC。
2、弧
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧。
注：在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
4、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。
5、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
4、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质
（一）垂直于弦的直径
1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
2、垂径定理及其推论（知二推三）；
注：利用垂径定理及其推论进行计算时，常涉及弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h（弦所对的弧的中点到弦中点的距离），他们之间的数量关系如下：
（二）弧、弦、圆心角
1、圆的旋转对称性：圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合。因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心
2、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、弧、弦、圆心角之间的关系
注：同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距有一组量相等,它们所对应的其余各组量也分别相等。
（三）圆周角
1、概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注：同一条弧所对的圆周角有无数个；
圆周角定理及其推论
注：在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补（即圆周角在弦的同侧时相等，在圆的异侧时互补）。
（四）圆内接多边形
1、概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
2、性质
（1）圆内接四边形的对角互补。
（2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角。
（3）每一个圆都有无数个内接四边形，只有对角互补的四边形才有外接圆。
三、点和圆、直线和圆的位置关系
（一）点和圆的位置关系（d：点到圆心的距离；r：半径）
1、点在圆外
点到圆心的距离大于半径：d＞r。
2、点在圆上
点到圆心的距离等于半径：d=r。
3、点在圆内
点到圆心的距离小于半径：d＜r。
（二）三角形的外接圆
1、圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
3、三角形的外心
（1）概念：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
（2）性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。
注：角度关系
（3）位置：锐角三角形的外心在三角形的内部。直角三角形的外心是斜边的中点。钝角三角形的外心在三角形的外部。
4、三角形的外接圆的做法：
（1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点。
（2）以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可。
（三）直线与圆的位置关系（d：圆心到直线的距离；r：半径）
1、直线与圆相交（直线叫做割线）
直线和圆有两个公共点（交点），d＜r；
2、直线与圆相切（直线叫做切线）
（1）直线和圆只有一个公共点（切点），d=r；
（2）切线的判定定理和性质定理
①判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
②性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
③切线的性质定理的推论
a、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
b、经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
③判断一条直线是一个圆的切线有三个方法
a、定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
b、数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r。
c、判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（3）切线长及切线长定理
①切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
③通过切线长定理可得到的结论
（4）三角形的内切圆
①概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形。
②三角形的内心
a、概念：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点（内心一定在三角形的内部）。
b、性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径。
③角度关系
④面积关系
⑤长度关系
3、直线与圆相离
直线和圆没有公共点，d＞r；
（四）圆与圆的位置关系（圆心距d，两圆半径r1，r2，其中r21、相离：两个圆没有公共点。
（1）外离(d>r1+r2)
（2）内含(0≤d2、相切：如果两个圆只有一个公共点。
（1）外切(d=r1+r2)
（2）内切(d=r2−r1)
3、相交:如果两个圆有两个公共点(r2−r14、由两圆组成的图形都是轴对称图形，对称轴是过这两个圆的圆心的直线。
五、正多边形与圆
（一）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。
（二）圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆。
（三）与正多边形有关的概念
1、中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。
3、中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
4、边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
（四）正多边形有关计算
1、中心角：∠α=360°n；
2、半径、边长、边心距的关系：R2=r2+(a2)2；
3、正n边形的周长：C=na；
4、正n边形的面积：S=12ar∙n=12Cr；
5、正六边形的边长等于其外接圆的半径；正三角形的边长等于其外接圆半径的3倍；正方形的边长等于其外接圆半径的2倍。
6、正多边形的中心角与内角互补；
（五）正多边形的对称性：正多边形都是轴对称图形，当n为偶数时，是中心对称图形，几何中心就是对称中心。
五、弧长和扇形面积
（一）弧长公式：n°圆心角所对的弧长为l=nπR180。
（二）扇形
1、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
2、扇形的周长公式：C=2R+l=2R+nπR180。
3、扇形面积公式
（1）S扇形=nπR2360；
（2）S扇形=nπR2360=nπR180∙12R=12lR；
4、弓形
（1）概念：由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的面积计算
（三）圆锥的侧面积和全面积
1、圆锥
（1）概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，可以看成是由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形。
（2）圆雏的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
（3）圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
七、反证法
概念：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。反证法是一种间接证明命题的方法。
注：运用反证法在进行推理论证时，要把假设作为新增条件参与论证。名称
文字语言
符号语言
图示
垂径
定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径
定理
的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
拓展
推论
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
r2=d2+(a2)2
r=d+h
注意：一条弧所对的圆心角只有一个。
名称
文字语言
符号语言
图示
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
重要
结论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
名称
文字语言
符号语言
图示
定理
一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半。
∠C=12∠AOB
推论
同弧或等弧所对的圆周
角相等。
半圆（或直径）所对的圆
周角是直角，90°的圆周角
所对的弦是直径。
周角360°，∠A+∠C=12×360°
∵四边形内角和360°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°；
又∵同弧所对的圆周角相等；
∴∠BAD与∠BCD度数之和恒等于180°。
∵∠BCE+∠DCE=180°
∠BCE+∠BAE=180°
∴∠DCE=∠BAE
∠BOC=2∠A
其中：AC⊥BC，四边形CEOF是正方形；
r=12(a+b−c)
l是弧长，R是半径，n表示1°圆心角的倍数，没有单位，弧长l的单位和半径R的单位一致。