高中数学苏教版必修13.4.1 函数与方程教案

第十三课时  函数与方程

【教学目标】

1、了解函数与方程之间的内在联系，既能用函数思想研究函数的零点与方程实数解的关系，又能运用数形结合思想找到判定方程f(x)=0在某区间[a，b]内有实数解的方法；

2、理解运用二分法求方程近似解的方法.能借助计算器求形如高次方程、指数、对数方程的近似解；

3、体会等价转换、数形结合、化归等数学思想的运用。

【高考要求】 A级

一、知识梳理：

考点1 ：函数的零点

1、函数的零点

（1）函数零点的定义

一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=0，则      叫做这个函数的零点.

（2）几个等价关系

①方程f(x)=0有实根等价于函数y=f(x)的图像与      有交点等价于函数y=f(x)有零点.

②函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程             的实根；即函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的         .

函数与方程之间要灵活转化.

（3）零点存在定理

①在闭区间[a,b]上连续；②f(a)f(b)<0，则在开区间(a,b)上存在零点（此处的零点仅指变号零点），个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个，反之不成立，即函数在(a,b)上有零点，不一定有f(a)f(b)<0，这不是一个等价条件.

考点2 ：二分法

对于在区间，上连续不断，且满足f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

二、基础训练

 1．已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应

    值表：

    那么，函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数至少有     个.

2．函数f(x)＝－(1/2)x的零点个数为       个.

3．函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为       个.

4．若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)＝0的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则实数m的取值范围是        ．

三、典型例题

例1、(1)函数f(x)＝ln x－x2＋2x＋5的零点的个数是     .

      (2)已知函数f(x)＝试讨论函数y＝f(f(x))＋1的零点个数。

、若函数f(x)＝x3＋ax＋b(b∈R)有3个零点，分别为x1，x2，x3，且满足x1<－1，x2＝1，x3>1，则实数a的取值范围是             。

例3、已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内， 另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；

(2)若方程两根均在(0，1)内，求m的取值范围．

【课堂练习】

1．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续不断的曲线，则函数f(x)在下列哪个区间内必有零点(   )

    A．(0，1)          B．(1，2)          C．(2，3)        D．(3，4)

2．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当 2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点

x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝             ．

3．设函数f(x)=x2+2x+a，若函数y=f(f(x))有且只有2个不同的零点，则实数a的取值范围为         ．

4．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝  设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程为f(x)=m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是        .

5．设f(x)＝关于x的方程是f2(x)－af(x)＝0.

  (1)若a＝1，则方程有____个实数根；

  (2)若方程恰有三个不同的实数解， 则实数a的取值范围为______     ．

6．定义函数f(x)＝,函数g(x)＝xf(x)－6在区间[1，2n](n∈N*)内的所有零点的和=         ．

【课堂小结】

1. 函数y=f(x)的零点等价于 y=f(x)的图象与x轴的交点等价于方程f(x)=0的根.

2. 应用数形结合思想和分类讨论思想解题——本节课的亮点.