2019-2020学年杭州市萧山区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年杭州市萧山区九上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，让转盘自由转动一次，则指针落在 A 区域的概率是
A. 23B. 12C. 13D. 14

2. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 AC=3，BC=1，则 sinA 的值是
A. 32B. 22C. 12D. 33

3. 二次函数 y=−3x2+6x 变形为 y=ax+m2+n 的形式，正确的是
A. y=−3x+12−3B. y=−3x−12−3
C. y=−3x+12+3D. y=−3x−12+3

4. 任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为 1 的概率为 16，有下列说法：①任意抛掷一枚均匀骰子 12 次，朝上点数为 1 的次数为 2 次；②任意抛掷一枚均匀骰子 1200 次，朝上点数为 1 的次数大约为 200 次，则你认为
A. ①②都对B. ①②都错C. ①对②错D. ①错②对

5. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，点 P 为边 AB 的中点，以点 C 为圆心，长度 r 为半径画圆，使得点 A，P 在 ⊙C 内，点 B 在 ⊙C 外，则半径 r 的取值范围是
A. 523

6. 如图，△ABC 中，∠A=78∘，AB=4，AC=6 .将 △ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A. B.
C. D.

7. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠A=36∘，∠B=64∘，则 ∠C 的度数为
A. 28∘B. 32∘C. 44∘D. 52∘

8. 如图，在 △ABC 中，CD⊥AB 于点 D，已知 AC=a，∠A=α，∠B=β，则 BD 的长是
A. a⋅sinαtanβB. a⋅csαtanβ
C. a⋅sinα⋅tanβD. a⋅csα⋅tanβ

9. 己知二次函数 y=ax2+bx+ca>0，对任意实数 t，其图象都经过点 2+t,m 和点 2−t,m，图象又经过点 −1,y1，2,y2，6,y3，则函数值 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1>y2>y3B. y3>y1>y2C. y2>y1>y3D. y3>y2>y1

10. 如图，连接正五边形的对角线 AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：① ∠AME=108∘；② 五边形PFQNM∽五边形ABCDE；③ AN2=AM⋅AD，其中正确的是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 csα=32，则锐角 α 为 度．

12. 如图，直线 a∥b∥c，若 ABBC=43，则 DEDF= ．

13. 抛物线 y=2x−22+12 与 y 轴的交点关于其对称轴的对称点的坐标是 ．

14. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠DAB=130∘，连接 OC，点 P 是半径 OC 上任意一点，连接 DP，BP，则 ∠BPD 可能为 度（写出一个即可）．

15. 如图，一根长为 a 的竹竿 AB 斜靠在墙上，竹竿 AB 的倾斜角为 α，当竹竿的顶端 A 下滑到点 Aʹ 时，竹竿的另一端 B 向右滑到了点 Bʹ，此时倾斜角为 β．（两小题均用含 a，α，β 的代数式表示）
（1）线段 AAʹ 的长为 ．
（2）当竹竿 AB 滑到 AʹBʹ 位置时，AB 的中点 P 滑到了 Pʹ，位置，则点 P 所经过的路线长为 ．

16. 已知二次函数 y=k2+1x2−22k−1x+1．
（1）若二次函数图象经过点 −1,1，则 k 的值为 ．
（2）若二次函数图象不经过第三象限，则 k 的取值范围为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 有A，B，C三种款式的帽子，E，F二种款式的围巾，穿戴时小婷任意选一顶帽子和一条围巾．
（1）用合适的方法表示搭配的所有可能性结果．
（2）求小婷恰好选中她所喜欢的A款帽子和E款围巾的概率．

18. 已知二次函数 y=−12x2−2x+6．
（1）求函数图象的顶点坐标和对称轴．
（2）自变量 x 在什么范围内时，函数值 y>0?y 随 x 的增大而减小?

19. 一长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AQ=m，已知木箱高 PQ=h，斜面坡角 α 满足 tanα=34（α 为锐角），求木箱顶端 P 离地面 AB 的距离 PC．

20. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC 的平分线 AF 交 DE 于点 G，交 BC 于点 F．
（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由．
（2）若 AGGF=32，求 DEBC 的值．

21. 如图，在 ⊙O 中，已知弦 BC 所对的圆周角 ∠BAC 与圆心角 ∠BOC 互补．
（1）求 ∠BOC 的度数．
（2）若 ⊙O 的半径为 4，求弦 BC 和劣弧 BC 组成的弓形面积．

22. 如图为抛物线 y1=x2−3，且抛物线 y2 是由抛物线 y1 向右平移 2 个单位得到的．
（1）写出抛物线 y2 的函数表达式，并在平面直角坐标系中画出抛物线 y2．
（2）过点 0,a−3（a 为实数）作 x 轴的平行线，与抛物线 y1，y2 共有 4 个不同的交点，设这 4 个交点的横坐标分别是 x1，x2，x3，x4．
①求 a 的取值范围；
②若 x1
23. 如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，点 P 是线段 BC 延长线上任意一点，以 AP 为直角边作等腰直角 △APD，且 ∠APD=90∘，连接 BD．
（1）求证：ACAP=ABAD；
（2）在点 P 运动过程中，试问 ∠PBD 的度数是否会变化?若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势．
（3）已知 AB=2，设 CP=x，S△PBD=S．
①试求 S 关于 x 的函数表达式．
② 当 S=38 时，求 △BPD 的外接圆半径．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. D
5. C
6. C
7. A
8. A
9. B
10. D
第二部分
11. 30
12. 47
13. 4,20
14. 80
【解析】连接 OB，OD，
因为四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠DAB=130∘，
所以 ∠DCB=180∘−130∘=50∘，
由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100∘，
所以 ∠DCB≤∠BPD≤∠DOB，即 50∘≤∠BPD≤100∘，
所以 ∠BPD 可能为 80∘．
15. asinα−sinβ，α−β⋅π⋅a360∘
16. −2−5 或 −2+5，k>12
第三部分
17. （1） 根据题意，小婷任意选取一顶帽子和一条围巾，有 AE，AF，BE，BF，CE，CF，6 种情况．
（2） P选中A款帽子和E款围巾=16．
18. （1） ∵y=−12x2−2x+6=−12x2+4x+6=−12x+22−4+6=−12x+22+8,
∴ 顶点坐标为 −2,8，对称轴为直线 x=−2．
（2） 令 y=0 得到 −12x2−2x+6=0，
解得 x=−6 或 x=2，
∴ 当 −60，
当 x≥−2 时，y 随 x 的增大而减小．
19. 由题意得，∠DPQ=α，
∴tan∠DPQ=34，即 DQPQ=34，
∴DQ=34h，
∴PD=PQ2+DQ2=54h，AD=m−34h，
由题意得 △ACD∽△PQD，
∴CDDQ=ADPD，即 CD34h=m−34h54h，
解得，CD=35m−920h，
∴PC=CD+PD=35m+45h．
20. （1） △ABC∽△AED，△AEG∽△ABF，△ADG∽△ACF．
∵ ∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，
∴ △ABC∽△AED．
∵ ∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，
∴ △AEG∽△ABF．
∵ ∠ADG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，
∴ △ADG∽△ACF．
（2） ∵ AGGF=32，
∴ AGAF=35，
∵ △ADG∽△ACF，△ABC∽△AED，
∴ DEBC=ADAC=AGAF=35．
21. （1） 如图，
∵∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180∘，
∴∠BOC=120∘．
（2） 过 O 作 OD⊥BC 于 D，如图，
∵∠BOC=120∘，
∴∠BOD=60∘，
∵BO=4，
∴OD=2，BD=23，
∴BC=43，
∴ 弦 BC 和劣弧 BC 组成的弓形面积 =S扇形BOC−S△BOC=120×π×42360−12×43×2=16π3−43．
22. （1） ∵ 抛物线 y2 是由抛物线 y1 向右平移 2 个单位得到的，
∴ y2=x−22−3，
如图所示：
（2） ① ∵ y1=x2−3，y2=x−22−3，
结合图象，由题意，知：a−3>−3，a−3≠−2，
∴ a>0 且 a≠1，
∴ a 的取值范围为：a>0 且 a≠1；
②令 y1=a−3，则 x2−3=a−3，解得 x=±a，
令 y2=a−3，则 x−22−3=a−3，解得 x=2±a，
∵ x1 ∴ x1=−a，x4=2+a，
∵ a≠1，
∴ a 的取值范围是 a>0 且 a≠1，
当 0 ∴ x2=a，x3=2−a，
∴ x4−x3+x2−x1=4a<4，
当 a>1 时，a>2−a，
∴ x3=a，x2=2−a，
∴ x4−x3+x2−x1=4，
综上所述，x4−x3+x2−x1 的最大值为 4．
23. （1） 如图 1，设 AD 与 PB 交于点 K．
∵CA=BC，∠ACB=90∘，
∴∠ABC=45∘，
∵PA=PD，∠APD=90∘，
∴∠PDK=∠ABK=45∘，
∵∠AKB=∠DKP，
∴△AKB∽△PKD，
∴AKPK=BKDK，
∴AKKB=PKDK，
∵∠AKP=∠BKD，
∴△AKP∽△BKD，
∴∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45∘，
∴∠ABD=90∘，
∴∠ABD=∠ACP，
∵∠ADB=∠APC，
∴△ABD∽△ACP，
∴ACAP=ABAD；
（2） 结论：∠PBD 的度数是定值，∠PBD=45∘．
理由：由（1）可知 △AKP∽△BKD，
∴∠PAK=∠DBK=45∘，
∴ 在点 P 运动过程中，∠PBD 的度数是定值，∠PBD=45∘．
（3） ① 在 Rt△ABC 中，
∵AB=2，
∴BC=AC=1，
在 Rt△ACP 中，PA=AC2+PC2=1+x2，
∵△ABD∽△ACP，
∴ACAB=PCBD，
∴12=xBD，
∴BD=2x，
∴S=S△ABD+S△APD−S△ABP=12×2×2x+12⋅1+x2⋅1+x2−12⋅1+x×1=12x2+12x,
②取 AD 的中点 O，连接 OB，OP，如图 2，
∵∠ABD=∠APD=90∘，
∴OB=OA=OP=OD，
∴ 点 O 是 △PBD 的外接圆的圆心，
∵S=38，
∴12x2+12x=38，
解得 x=12 或 x=−32（舍去），
∴PC=12，
由①可知 BD=2x，
∴BD=22，
在 Rt△ABD 中，AD=AB2+BD2=22+222=102，
∴OD=12AD=104，
∴△PBD 的外接圆的半径为 104．