2019-2020学年杭州市滨江区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年杭州市滨江区九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 2:x=3:9，则 x=
A. 2B. 3C. 4D. 6

2. 已知 sinA=12，则 ∠A 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

3. 已知一条圆弧的度数为 60∘，弧长为 10π，则此圆弧的半径为
A. 15B. 30C. 30D. 15π

4. 下列事件哪个是必然事件
A. 任意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上
B. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为 1
C. 过 ⊙O 的一条弦的中点和圆心的直线垂直于这条弦
D. 在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相似

5. 如图，AD∥BE∥CF，点 B，E 分别在 AC，DF 上，DE=2，EF=AB=3，则 BC 长为
A. 92B. 2C. 72D. 4

6. 一抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是
A. a<0B. ab>0C. ac>0D. 2a+b>0

7. 如图，O 为 △ABC 内一点，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 上的点，且 ODAD=OEBE=OFCF=12，则 EFBC=
A. 12B. 13C. 23D. 14

8. 如图，⊙O 的半径为 2，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，连接 OB，OC，若 ∠BAC 与 ∠BOC 互补，则弦 BC 的长为
A. 3B. 23C. 22D. 4

9. 如图，将正方形 ABCD 对折，使点 A 与点 D 重合，点 B 与点 C 重合，折痕为 EF；展开后再次折叠，使点 A 与点 D 重合于正方形内点 G 处，折痕分别为 BH，CI，如果正方形 ABCD 的边长是 2，则下列结论：① △GBC 是等边三角形；② △IGH 的面积是 73−12；③ tan∠BHA=2+3；④ GE=23，其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 如图，⊙O 的直径 AB=2，C 是 AB 的中点，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，以 E 为圆心，AE 长为半径作扇形 AEB，π 取 3，则阴影部分的面积为
A. 1342−4B. 72−4C. 6−542D. 32−52

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知 △ABC∽△DEF，ABDE=3，则 △ABC 与 △DEF 的面积比为 ．

12. 已知圆内接四边形 ABCD 中，∠A:∠B:∠C=1:3:5，则 ∠D 的度数为 ．

13. 九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计，在 100 辆私家车中，统计如表：
每辆私家车乘客的数目12345私家车的数目5827843
根据以上结果，估计抽查一辆私家车且它载有超过 3 名乘客的概率是 ．

14. 抛物线 y=3x−22+1 绕抛物线的顶点旋转 180∘ 所得的抛物线的解析式是 ．

15. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且点 B 是 CD 的中点，AB 交 CD 于 E，若 ∠C=21∘，则 ∠ADC= ．

16. 如图，一抛物线经过点 A−2,0，B6,0，C0,−3，D 为抛物线的顶点，过 OD 的中点 E，作 EF⊥x 轴于点 F，G 为 x 轴上一动点，M 为抛物线上一动点，N 为直线 EF 上一动点，当以 F，G，M，N 为顶点的四边形是正方形时，点 G 的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. （1）计算：2sin30∘+3tan60∘−2cs45∘；
（2）若 xy=13，求 2x+yx−y 的值．

18. 在一个箱子里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）从箱子里摸出 1 个球，是黑球，这属于哪类事件?摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪类事件?
（2）从箱子里摸出 1 个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样先后摸得的两个球有几种不同的可能?请用画树状图或列表表示，这样先后摸得的两个球刚好是一红一白的概率是多少?

19. 图 1 是小区常见的漫步机，人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，从侧面看图 2，立柱 DE 高 1.7 m，AD 长 0.3 m，踏板静止时从侧面看与 AE 上点 B 重合，BE 长 0.2 m，当踏板旋转到 C 处时，测得 ∠CAB=42∘，求此时点 C 距离地面 EF 的高度．（结果精确到 0.1 m）（参考数据：sin42∘≈0.67，cs42∘≈0.74，tan42∘≈0.90）

20. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．
（1）求铅球所经过的路线的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）求铅球落地点离运动员有多远（精确到 0.01 m）?

21. 如图，AB，CD 是 ⊙O 的弦，AB⊥CD，且 AE=3，EB=33，AB 的度数为 120∘．解答问题：
（1）请用直尺和圆规作出圆心 O（不写作法，保留痕迹）；
（2）求出 ⊙O 的半径；
（3）求出弦 CD 的长度．

22. 如图 1，已知点 P 是线段 AB 上一动点（不与 A，B 重合），AB=10，在线段 AB 的同侧作等边 △APC 和等边 △BPD，连接 AD 和 BC，它们相交于点 Q，AD 与 PC 交于点 M．
（1）求证：△APD≌△CPB，△ACQ∽△BCA；
（2）若 △APC 和 △BPD 不是等边三角形，如图 2，只满足 ∠APC=∠BPD，PA=kPC，PD=kPB（k>0，k 为实数），E 是 AB 中点，F 是 AC 中点，G 是 BD 中点，连接 EF，EG，求 EFEG 的值（用含 k 的式子表示）；
（3）请直接写出在图 1 中，经过 P，C，D 三点的圆的半径的最小值．

23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−x+3 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 B，C 两点，与 x 轴负半轴交于点 A，连接 AC，tan∠CAB=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 Pm,n 是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形 OCPB 面积 S 关于 m 的函数表达式及 S 的最大值；
（3）若 M 为抛物线的顶点，点 Q 在直线 BC 上，点 N 在直线 BM 上，Q，M，N 三点构成以 MN 为底边的等腰直角三角形，求点 N 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. B
4. C
5. A
6. D
7. B
8. B
9. C
10. A
第二部分
11. 9
12. 90∘
13. 7100
14. y=−3x−22+1
15. 69∘
16. −4−26,0 或 −4,0 或 −4+26,0 或 4,0
第三部分
17. （1） 2sin30∘+3tan60∘−2cs45∘=2×12+3×3−2×22=1+3−1=3.
（2） ∵ xy=13，
∴ y=3x，
∴ 2x+yx−y=2x+3xx−3x=−52．
18. （1） ∵ 箱子里放有 1 个白球和 2 个红球，
∴ 从箱子里摸出 1 个球，是黑球，这属于不可能事件；摸出一个球，是白球或者是红球，这属于随机事件．
（2） 画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，摸出的球中刚好是一红一白有 4 种情况，
∴ 两个球刚好是一红一白的概率为 49．
19. 由题意，得 AE=DE−AD=1.7−0.3=1.4，AB=AE−BE=1.4−0.2=1.2．
由旋转，得 AC=AB=1.2．
过点 C 作 CG⊥AB 于 G，过点 C 作 CH⊥EF 于点 H，
在 Rt△ACG 中，∠AGC=90∘，∠CAG=42∘，cs∠CAG=AGAC，
∴ AG=AC⋅cs∠CAG=1.2×cs42∘≈1.2×0.74=0.888，
∴ EG=AE−AG=1.4−0.888=0.512，
∴ CH=EG≈0.5 m．
20. （1） 由题意设抛物线的解析式为 y=ax−42+3，
把 0,32 代入抛物线解析式，解得 a=−332，
∴ 抛物线的解析式为 y=−332x−42+30≤x≤4+42．
（2） 令 y=0，得 −332x−42+3=0，
解得 x=4+42 或 x=4−42（不符合题意，舍去），
∴ 铅球落地点离运动员有 4+42≈9.66m．
21. （1） 如图，点 O 为所作；
（2） 连接 OB，AB 的垂直平分线交 AB 于 F，如图，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，∠BOF=12×120∘=60∘，
∵AE=3，EB=33，
∴AF=BF=23，
在 Rt△BOF 中，
∵sin∠BOF=BFOB，
∴OB=23sin60∘=4，
即 ⊙O 的半径为 4；
（3） CD 的垂直平分线交 CD 于 H，连接 OD，如图，
∵AF=23，AE=3，
∴EF=3，
易得四边形 OFEH 为矩形，
∴OH=EF=3，
在 Rt△OHD 中，DH=OD2−OH2=42−32=13，
∵OH⊥CD，
∴CH=DH，
∴CD=2DH=213．
22. （1） ∵ △APC，△DPB 都是等边三角形，
∴ PA=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=∠CAB=60∘，
∴ ∠APD=∠BPC．
在 △APD 和 △CPB 中，
PA=PC,∠APD=∠CPB,PD=PB,
∴ △APD≌△CPB．
∴ ∠PAD=∠PCB，
∵ ∠AMP=∠CMQ，
∴ ∠AQC=∠APC=60∘，
∵ ∠CAB=60∘，
∴ ∠AQC=∠CAB，
∵ ∠ACQ=∠ACB，
∴ △ACQ∽△BCA．
（2） ∵ ∠APC=∠DPB，
∴ ∠APD=∠CPB，
∵ PA=kPC，PD=kPB，
∴ APPC=PDPB=k，
∴ △APD∽△CPB，
∴ ADBC=PAPC=k，
∵ E 是 AB 中点，F 是 AC 中点，
∴ EF=12BC，
∵ E 是 AB 中点，G 是 BD 中点，
∴ EG=12AD，
∴ EFEG=12BC12AD=BCAD=1k．
（3） 533．
23. （1） 当 x=0 时，y=3，
∴ C0,3，
∴ OC=3，
当 y=0 时，−x+3=0，解得：x=3，
∴ B3,0，
在 Rt△AOC 中，tan∠CAB=3，
∴ OCOA=3，
∴ 3OA=3，
∴ OA=1，
∴ A−1,0，
设抛物线的解析式为：y=ax+1x−3，
把 C0,3 代入抛物线解析式得：3=a0+1×0−3，解得：a=−1，
∴ y=−x+1x−3=−x2+2x+3．
（2） 如图 1，过 P 作 PEʹ⊥x 轴于 Eʹ，
∵ Pm,n，
∴ OEʹ=m，BEʹ=3−m，PEʹ=n，
S=S梯形COEʹP+S△PEʹB=12OEʹPEʹ+OC+12BEʹ⋅PEʹ=12mn+3+12n3−m=32m+32n,
∵ n=−m2+2m+3，
∴
S=32m+32−m2+2m+3=−32m2+92m+92=−32m−322+638,
当 m=32 时，S 有最大值，最大值是 638．
（3） y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ M1,4，
设直线 BM 的解析式为：y=kx+bʹ，
把 B3,0，M1,4 代入直线 BM 的解析式得：3k+bʹ=0,k+bʹ=4, 解得：k=−2,bʹ=6,
∴ 直线 BM 的解析式为：y=−2x+6，
设 Ns,−2s+6，Qt,−t+3，
分两种情况：
①当 N 在射线 MB 上时，如图 2，过 Q 作 EF∥y 轴，分别过 M，N 作 x 轴的平行线，交 EF 于 E，F，
∵ △MQN 是等腰直角三角形，
∴ MQ=QN，∠MQN=90∘，
∴ ∠EQM+∠FQN=90∘，
∵ ∠EQM+∠EMQ=90∘，
∴ ∠FQN=∠EMQ，
在 △FQN 和 △EMQ 中，
∠FQN=∠EMQ,∠QEM=∠QFN,MQ=QN,
∴ △FQN≌△EMQ，
∴ EM=FQ，EQ=FN，
∴ 1−t=−t+3−−2s+6,4−−t+3=s−t, 解得：s=2,t=12,
当 s=2 时，y=−2s+6=−2×2+6=2，
∴ N2,2，
②当 N 在射线 BM 上时，如图 3，同理作辅助线，得 △ENQ≌△FQM，
∴ EN=FQ，EQ=FM，
∴ −t+s=−t+3−4,−2s+6−−t+3=−t+1, 解得：s=−1,t=−2,
∴ N−1,8，
综上所述，点 N 的坐标为 2,2 或 −1,8．