浙江省杭州市萧山区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷

这是一份浙江省杭州市萧山区2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）sin60°的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知一个不透明的袋子里有2个白球，3个黑球，1个红球．现从中任意取出一个球，（ ）
A．恰好是白球是必然事件
B．恰好是黑球是不确定事件
C．恰好是红球是不可能事件
D．摸到白球、黑球、红球的可能性一样大
3．（3分）香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（ ）和原图案重合．
A．72°B．60°C．36°D．18°
4．（3分）如图，AB∥CD∥EF．若，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象不经过第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
6．（3分）如图，∠ACB＝∠BDC＝90°．要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC•CD；③，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
7．（3分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆O，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE．若∠A＝α，则∠DOE的度数为（ ）
A．180﹣2αB．180﹣αC．90﹣αD．2α
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝Rt∠，点E是△ABC重心，连结CE并延长交AB于点D；连结AE并延长交BC于点P，过点P作PF⊥AP交AB于点F．若△ACE的面积为8，则△BPF的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．
9．（3分）已知点（x1，y1），（x2，y2）是某函数图象上的相异两点，给出下列函数：①y＝x2﹣4x+2（x＞1）；②y＝﹣2x2﹣4x+5（x＞0）；③y＝1﹣2x，则一定能使成立的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
10．（3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）实数4和9的比例中项为 ．
12．（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到0.01）．
13．（4分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，∠ACD＝∠B．已知AD＝2，BD＝1，则AC＝ ．
14．（4分）四边形具有不稳定性．如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则csα的值为 ．
15．（4分）如图，⊙O经过矩形ABCD的顶点C，且与AD，BC相交于点E，F，H，AD，BC在圆心O同侧．已知AE＝EF＝4，BH＝3．
（1）CH的长为 ．
（2）若⊙O的半径长为，则AB＝ ．
16．（4分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．
已知二次函数y＝x2+2x+m．
（1）若3是此函数的不动点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且a＜1＜b，则m的取值范围为 ．
三、解答题：本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17．将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为n，组成一数对（m，n）．
（1）请写出（m，n）所有可能出现的结果；
（2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
18．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B、C在一条直线上，BC＝22m．在点B、C分别测得气球A的仰角为30°、63°，求气球A离地面的高度．（精确到个位）（参考值：sin63°≈0.9，cs63°≈0.5，tan63°≈2.0）
19．如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）求证：OA平分∠BAC．
（2）若＝3：2，试求∠BAC的度数．
20．已知y关于x的二次函数图象经过点（0，﹣6），顶点坐标为（﹣1，﹣8）．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）求此函数图象与x轴交点坐标，并直接写出当x取什么值时，y＜0？
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2．点D是AB的中点．
（1）求AB长和sinA的值．
（2）以点D为圆心，r为半径作⊙D．如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+3．
（1）若此函数图象与x轴只有一个交点，试写出a与b满足的关系式．
（2）若b＝2a，点P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）是该函数图象上的3个点，试比较y1，y2，y3的大小．
（3）若b＝a+3，当x＞﹣1时，函数y随x的增大而增大，求a的取值范围．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．
（1）求证：△ABP∽△DAE．
（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．
①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
②当S△ACD＝时，求CE的值．
2019-2020学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：sin60°＝，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．【分析】根据得到各种球的可能性判断相应事件即可．
【解答】解：A、恰好是白球是随机事件，错误，不符合题意；
B、恰好是黑球是不确定事件，正确，符合题意；
C、恰好是红球是随机事件，错误，不符合题意；
D、摸到白球、黑球、红球的可能性不一样大，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
3．【分析】根据旋转的性质和周角是360°求解即可．
【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，
∴旋转角度是360°÷5＝72°，
∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了旋转对称图形，关键是掌握旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．注意结合图形解题的思想．
4．【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】解：∵EF∥CD∥AB，
∴＝＝，
∴＝，＝，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的顶点坐标，与x轴的交点，从而可以判断该函数的图象不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x，
∴该函数图象开口向下，顶点坐标为（1，1），与x轴的交点为（0，0），（2，0），
∴该函数的图象不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【解答】解：①若AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD，故①符合题意；
②若BC2＝AC•CD，
∴，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
无法判定△ABC∽△BCD，故②不符合题意；
③若，且∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BCD，故③符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
7．【分析】连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，利用互余得到∠ACD＝90°﹣α，然后根据圆周角定理得到∠DOE＝2（90°﹣α）．
【解答】解：连接CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，
∴∠DOE＝2∠ACD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8．【分析】由点E是△ABC重心，得到＝，求得S△ACB＝2S△ACP＝24，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝4，由勾股定理得到AP＝＝2，过P作PH⊥AB于H，根据射影定理得到AF＝＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵点E是△ABC重心，
∴＝，
∵△ACE的面积为8，
∴S△ACP＝12，
∴S△ACB＝2S△ACP＝24，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AB•CD＝CD2＝24，
∴AD＝CD＝BD＝2，
∴AB＝4，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴BP＝CP＝2，
∴AP＝＝2，
∵PF⊥AP，
∴∠APF＝90°，
过P作PH⊥AB于H，
∴PH＝BH＝PB＝，
∴AH＝AB﹣BH＝3，
∵∠APF＝90°，PH⊥AB，
∴AP2＝AH•AF，
∴AF＝＝，
∴BF＝AB﹣AF＝，
∴△BPF的面积＝BF•PH＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．【分析】根据函数的性质即可判断．
【解答】解：由①y＝x2﹣4x+2（x＞1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＞1时，无法确定y1，y2的大小，则无法确定使一定成立；
由②y＝﹣2x2﹣4x+5（x＞0）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴若x1＞x2，则y1＜y2，
∴一定能使成立；
由③y＝1﹣2x可知函数y随x的增大而减小，
∴若x1＞x2，则y1＜y2，
∴一定能使成立；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
10．【分析】如图，作CM⊥AP于M，连接AD．首先证明△AOD是等边三角形，推出∠D＝60°，即可证明①正确．利用全等三角形的性质证明AM＝BF，PM＝PF，CF＝PF即可判断②正确．
【解答】解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD．
∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴＝，
在Rt△CPF中，∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
∴CF＝PF•tan60°＝PF，
∴PF＝CF，
∴＝，故②正确，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则
x2＝4×9，
解得x＝±6．
故答案为：±6．
【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
12．【分析】观察表格发现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，用这个常数表示概率即可．
【解答】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，正面向上的频率逐渐稳定到0.50附近，
故硬币出现“正面朝上”的概率为0.50，
故答案为：0.50；
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．
13．【分析】根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB＝AD：AC，即AC2＝AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．
【解答】解：在△ADC与△ACB中，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB；
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AB•AD，
∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+1＝3，
∴AC2＝3×2＝6，
∴AC＝，
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△ACD∽△ABC，注意掌握相似三角形的对应边成比例．
14．【分析】根据锐角三角函数解答即可．
【解答】解：根据平行四边形的底与原来的正方形的边长相同，由面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，可得平行四边形的高是正方形边长的，
∴，
∴．
故答案为：
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟记相关定义是解答本题的关键．
15．【分析】（1）过O作OM⊥AD于M，交BC于N，根据矩形的性质得出AM＝BN，根据垂径定理求出CH＝2HN，EM＝2，求出BN＝AM＝6，求出HN即可；
（2）根据勾股定理求出ON和OM，求出MN即可．
【解答】解：（1）
过O作OM⊥AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，
∴ON⊥BC，
即∠A＝∠B＝∠BNM＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴AB＝MN，AM＝BN，
∵EF＝4，OM⊥EF，OM过O，
∴EM＝FM＝2，
∵AE＝4，
∴AM＝4+2＝6，
即OB＝AM＝6，
∵BH＝3，
∴HN＝6﹣3＝3，
由垂径定理得：CH＝2HN＝6，
故答案为：6；
（2）
连接OH和OE，
在Rt△OHN中，由勾股定理得：ON＝＝＝1，
在Rt△OEM中，由勾股定理得OM＝＝＝，
即AB＝MN＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出各个线段的长是解此题的关键．
16．【分析】（1）由函数的不动点概念得出3＝32+2×3+m，解得即可；
（2）由函数的不动点概念得出a、b是方程x2+2x+m＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0，令y＝x2+x+m，则x＝1时y＜0，据此得，解之可得．
【解答】解：（1）由题意得3＝32+2×3+m，
解得m＝﹣12，
故答案为﹣12；
（2）由题意知二次函数y＝x2+2x+m有两个相异的不动点a，b是方程x2+2x+m＝x的两个不相等实数根，
且a＜1＜b，
整理，得：x2+x+m＝0，
由x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知△＞0，
令y＝x2+x+m，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得m＜﹣2，
故答案m＜﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于m的不等式．
三、解答题：本题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17．【分析】（1）利用枚举法解决问题即可．
（2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断．
【解答】解：（1）（m，n）所有可能出现的结果：（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．
（2）数字之和为奇数的概率＝，数字之和为偶数的概率＝，
≠，
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．【分析】作AD⊥l，设AD＝x，Rt△ABD中求得BD＝＝x，再由tan63°＝＝2求出x即可得．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥l，
设AD＝x，
则BD＝＝＝x，
∴tan63°＝＝2，
∴AD＝x＝8+4，
∴气球A离地面的高度约为18m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角是向上看的视线与水平线的夹角、俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．【分析】（1）延长半径AO交⊙O于D得到，然后证得即可证得结论；
（2）根据＝3：2，得到，从而利用圆周角定理求得∠BAC＝45°；
【解答】（1）证明：延长半径AO交⊙O于D，
∴
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴OA平分∠BAC；
（2）解：∵＝3：2，
∴
∴∠BAC＝45°；
【点评】本题考查了弧长的计算及圆周角定理的知识，解题的关键是能够将角的问题转化为角所对的弧的问题，难度不大．
20．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣8，然后把（0，﹣6）代入求出a得到二次函数表达式；
（2）先通过解方程2x2+4x﹣6＝0得抛物线与x轴的交点坐标，然后利用二次函数的图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）设二次函数表达式为：y＝a（x+1）2﹣8
把（0，﹣6）代入得：a﹣8＝﹣6，解得a＝2，
∴二次函数表达式为y＝2（x+1）2﹣8，
即y＝2x2+4x﹣6；
（2）解方程2x2+4x﹣6＝0得x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）
当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
21．【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E．利用等腰三角形的性质解直角三角形即可解决问题．
（2）连结CD，过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判断．
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E．
∵AB＝AC，BC＝4，
∴
∵，
∴AE＝4，
∴
又
∴．
（2）如图，连结CD，过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE
∵点D是AB中点，即DF是中位线
∴，
∴CF＝3
∴
又
∴r的取值范围是
【点评】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）根据函数图象与x轴只有一个交点得出△＝b2﹣12a＝0，再求出即可；
（2）先求出二次函数的对称轴，分为两种情况：①当a＞0时，图象开口向上，y2为最小值，②当a＜0时，图象开口向下，y2为最大值，再比较即可；
（3）根据b＝a+3得出函数表达式为y＝ax2+（a+3）x+3＝（ax+3）（x+1），求出函数图象经过定点（﹣1，0），（0，3），再分析求解即可．
【解答】解：（1）由条件得，△＝b2﹣12a＝0，即b2＝12a；
（2）当b＝2a时，二次函数图象的对称轴为，即P2为顶点
①当a＞0时，图象开口向上，y2为最小值
∵|﹣3﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|
∴y1＜y3
∴y2＜y1＜y3
②当a＜0时，图象开口向下，y2为最大值
∵|﹣3﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，∴y1＞y3
∴y3＜y1＜y2
（3）当b＝a+3时，即函数表达式为y＝ax2+（a+3）x+3＝（ax+3）（x+1）
∴函数图象经过定点（﹣1，0），（0，3）
∴要当x＞﹣1时，函数y随x的增大而增大
必须满足：图象开口向上，对称轴在直线x＝﹣1的左侧
即a＞0，
∴a的取值范围是0＜a≤3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与性质等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
23．【分析】（1）证明△ABP∽△PCE，根据BC∥AD，得到△PCE∽△DAE，根据相似三角形的传递性证明结论；
（2）①根据△ABP∽△PCE，得到＝，代入计算即可；
②根据相似三角形的性质得到AD＝，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，
∴∠BAP＝∠EPC，
∴△ABP∽△PCE，
∵BC∥AD，
∴△PCE∽△DAE，
∴△ABP∽△DAE；
（2）解：①∵△ABP∽△PCE，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；
②∵△ABP∽△DAE，
∴＝，即＝，
∴AD＝，
∵AD∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，即13x2+24x﹣100＝0，
∴x1＝2，（舍去）
∴．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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日期：2021/1/2 14:10:18；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.cm；学号：24117471实验者
德•摩根
蒲丰
费勒
皮尔逊
罗曼诺夫斯基
掷币次数
6140
4040
10000
36000
80640
出现“正面朝上”的次数
3109
2048
4979
18031
39699
频率
0.506
0.507
0.498
0.501
0.492