2019-2020学年杭州市拱墅区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年杭州市拱墅区九上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列哪些事件是必然事件
A. 5 月 1 日前一天是 4 月 30 日B. 一匹马的奔跑速度是 70 米/秒
C. 射击运动员一次命中 10 环D. 明年元旦是晴天

2. 抛物线 y=5x+22−3 的顶点坐标是
A. −3,−2B. 2,3C. −2,3D. −2,−3

3. 在 Rt△ABC 中，已知 ∠C=90∘，AC=3，AB=4，则 tanA 的值为
A. 34B. 43C. 73D. 74

4. 有这样一道选择题：熊猫一只前掌趾的根数是多少?
A.3根B.4根C.5根D.6根
四个选项中只有一个正确，在你不知道熊猫前掌趾根数或者知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选项，你答对的概率分别是
A. 14，1B. 14，14C. 1，14D. 14，12

5. 将抛物线 y=2x2 先向右平移 4 个单位，再向上平移 5 个单位，得到的新抛物线的解析式为
A. y=2x+42+5B. y=2x−42+5
C. y=2x+42−5D. y=2x−42−5

6. 如图，在 △ABC 中，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E．若 DE=4，ADDB=23，则下列选项中错误的是
A. △ADE∽△ABCB. BC=10
C. △ADE的周长△ABC的周长=23D. △ADE的面积四边形DBCE的面积=421

7. 下列有关圆的一些结论：① 弦的垂直平分线经过圆心；② 平分弦的直径垂直于弦；③ 相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；④ 等弧所在的扇形面积都相等，其中正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

8. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为 2 的“等边扇形”的面积为
A. πB. 1C. 23πD. 2

9. 如图，已知 △ABC 与 △BED 都是顶角为 36∘ 的等腰三角形，点 D 是边 AC 上一点，且满足 BC2=CD⋅AC，DE 与 AB 相交于点 F，则图中有 对相似三角形．
A. 6B. 7C. 8D. 9

10. 如图，抛物线 y=−x2+20 的图象与 y 轴正半轴的交点为 A，将线段 OA 分成 20 等份，设分点分别为 P1，P2，⋯，P19，过每个分点作 y 轴的垂线，分别与抛物线交于点 Q1，Q2，⋯，记 △OP1Q1，△P1P2Q2，⋯ 的面积分别为 S1，S2，⋯，S19，则 S12+S22+⋯+S192 的值为
A. 47B. 47.5C. 48D. 48.5

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 己知 ab=34，那么 aa+b 的值为 ．

12. 已知抛物线 y=ax2a≠0 过点 −1,3，则 a 的值是 ，当 x≤0 时，y 随 x 的增大而 ．

13. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，若 ∠OAB=20∘，则 ∠C 的大小为 度．

14. 如图，点 P 到坐标原点 O 的距离 OP=6，线段 OP 与 x 轴正半轴的夹角为 α，且 csα=23，则点 P 的坐标为 ．

15. 已知 ⊙O 的半径为 5，AB 是弦，P 是直线 AB 上的一点，PB=3，AB=8，则 OP 长为 ．

16. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是边 BC 的中点，过 D 作 DE∥AB 于 E，连接 BE 交 AD 于点 D1，过 D1 作 D1E1∥AB 交 AC 于 E1，连接 BE1 交 AD 于 D2，过 D2 作 D2E2∥AB 于 E2，⋯，如此继续，记 S△BDE 为 S1，S△BD1E1 记为 S2，S△BD2E2 记为 S3，⋯，若 S△ABC 面积为 1，则 S2= ，Sn= （用含 n 代数式表示）．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 一个不透明的布袋里装有 4 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，1 个白球．
（1）从布袋中任意摸出 1 个球，求摸出红球的概率；
（2）从布袋里摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出 1 个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．

18. 如图，已知等边 △ABC．
（1）用直尺和圆规作出 △ABC 的外接圆；
（2）若 AB=43，求 △ABC 的外接圆半径 R．

19. 某市备受关注的地铁六号线正紧张施工，为了缓解一些施工路段交通拥挤的现状，交警队设立了如图所示的交通路况显示牌，已知立杆 AB 的高度是 3 m，从侧面点 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60∘ 和 45∘，求路况显示牌 BC 的高度．

20. 把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 t（秒）时该足球距离地面的高度 h（米）适用公式 h=20t−5t20≤t≤4．
（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米?
（2）足球从开始踢至回到地面需要多少时间?
（3）若存在两个不相等的实数 t，能使足球距离地面的高度都为 m（米），请直接写出 m 的取值范围．

21. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，弦 AC，BD 相交于点 E，且 C 为 BD 的中点．若 EC=2，tan∠CEB=2．
（1）求证：△ABE∽△DCE，并求出 BE 的长；
（2）求 ⊙O 的面积．

22. 如图，已知一张直角三角形纸片 ACB，其中 ∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，E，F 分别是 AC，AB 边上的点，连接 EF．
（1）如图 1，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处，已知 AE=2.5，求 △AEF 的面积．
（2）如图 2，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处，且使 MF∥CA．
①试证明：四边形 AEMF 是菱形．
②求 CM 的长．

23. 如图，二次函数 y=ax2+2x+c 的图象与 x 轴交于点 A−1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,3，过点 A 的直线 AD∥BC，交抛物线于另一点 D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求直线 AD 的解析式及点 D 的坐标；
（3）在 x 轴上是否存在一点 P，使得以 B，C，P 为顶点的三角形与 △ABD 相似?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. C
4. A
5. B
6. C
7. B
8. D
9. D
10. B
第二部分
11. 37
12. 3，减小
13. 70
14. 4,25
15. 10 或 58
16. 19，1n+12
第三部分
17. （1） 从布袋中任意摸出 1 个，摸出是红球的概率为 34；
（2） 画树状图为：
共有 16 种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有 6 种，
所以两次摸出的球恰好颜色不同的概率 =616=38．
18. （1） 如图 1 所示：
⊙O 即为所求．
（2） ∵△ABC 是正三角形，
∴BC 的垂直平分线过 A 点，
连接 CO，如图 2 所示，
AF⊥BC，
∴∠FAC=12∠BAC=12×60∘=30∘，CF=12BC=12×43=23，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC=30∘，
∴∠OCF=60∘−30∘=30∘，
∴OF=12OC，
设 OC=2x，则 OF=x，在 Rt△OFC 中，由勾股定理得：x2+232=2x2，
解得：x=2 或 x=−2（舍），
∴R=OC=2x=4．
19. ∵ 在 Rt△BAD 中，∠BDA=45∘，∠BAD=90∘，AB=3m，
∴ AD=AB=3 m，
在 Rt△ADC 中，∠CDA=60∘，
∴ tan60∘=CAAD，
∴ AC=AD⋅tan60∘=3×3=33m．
∴ BC=AC−AB=33−3m．
答：路况显示牌 BC 的高度是 33−3m．
20. （1） 因为 h=20t−5t2=−5t−22+20，
所以 t=2 时，h 最大，最大值为 20，
答：经过 2 s 足球能到达最大高度，最大高度是 20 米；
（2） 令 h=0，得：20t−5t2=0，
解得：t=0（舍去）或 t=4，
所以足球从开始踢至回到地面需要 4 秒；
（3） 0≤m<20．
21. （1） ∵∠A=∠D，∠ABE=∠DCA，
∴△ABE∽△DCE；
连接 BC，如图所示：
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵tan∠CEB=BCCE=2，
∴BC=2EC=4，
∴BE=EC2+BC2=22+42=25；
（2） ∵C 为 BD 的中点，
∴DC=BC，
∴DC=BC=4，
∵△ABE∽△DCE，
∴DCAB=ECEB，即 4AB=225，
∴AB=45，
∴AO=25，
∴⊙O 的面积 =π⋅252=20π．
22. （1） 由折叠可知，EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴∠AFE=∠ACB=90∘，
在 Rt△ACB 中，AB=AC2+BC2=42+32=5，
在 △AEF 和 △ABC 中，
∠AFE=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AEF∽△ABC，
∴S△AEFS△ABC=AEAB2=2.552=14，
∴S△AEF=14S△ABC=14×12×3×4=32．
（2） ①由折叠可知，AE=EM，AF=FM，∠AFE=∠MFE，
∵ MF∥CA，
∴ ∠AEF=∠MFE，
∴ ∠AEF=∠AFE，
∴ AE=AF，
∴ AE=EM=MF=AF，
∴ 四边形 AEMF 是菱形．
②设 AE=x，则 EM=x，CE=4−x，
∵ 四边形 AEMF 为菱形，
∴ EM∥AB，
∴ △CEM∽△CAB，
∴ CECA=EMAB，即 4−x4=x5，解得 x=209，
∴ AE=EM=209，CE=4−x=4−209=169，
∴ CM=EM2−CE2=2092−1692=43．
23. （1） ∵ 二次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过点 A−1,0 和点 C0,3，
∴0=a−2+c,3=c, 解得 a=−1,c=3,
∴ 二次函数的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） 在 y=−x2+2x+3 中，令 y=0，则 −x2+2x+3=0，解得：x1=−1，x2=3，
∴B 点的坐标为 3,0，
由已知条件得直线 BC 的解析式为 y=−x+3，
∵AD∥BC，
∴ 设直线 AD 的解析式为 y=−x+b，
∴0=1+b，
∴b=−1，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=−x−1．
由 y=−x2+2x+3,y=−x−1 得 x=−1,y=0 或 x=4,y=−5,
∴D 点的坐标为 4,−5．
（3） ①∵BC∥AD，
∴∠DAB=∠CBA，
又 ∵ D 点的坐标为 4,−5，
∴ ∠ABD≠45∘，点 P 在点 B 的左侧，
∴ 只可能 △ABD∽△BPC 或 △ABD∽△BCP，如图所示，
∴ BCAD=PBAB 或 BCAB=PBAD，
∵ A−1,0，B3,0，C0,3，D4,−5，
∴ AD=52，AB=4，BC=32，即 BP4=3252 或 324=BP52，解得 BP=125 或 BP=152，
∵ 3−125=35，3−152=−92，
∴ P 点的坐标为 35,0 或 −92,0．