2019_2020学年宁波市镇海区九上期末数学试卷

这是一份2019_2020学年宁波市镇海区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 抛物线 y=x−12+2 的顶点坐标是
A. 1,2B. 1,−2C. −1,2D. −1,−2

2. 在一个布袋里装有白球 6 个、红球 2 个、黑球 4 个，它们除颜色外没有任何区别，从袋中随机取出 1 个球，则取出红球的概率是
A. 12B. 14C. 13D. 16

3. 将抛物线 y=2x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，则所得解析式是
A. y=2x−32+2B. y=2x−32−2
C. y=2x+32−2D. y=2x+32+2

4. 如图，在 4×4 的网格图中，△ABC 的顶点都在格点上，则图中 ∠BAC 的正弦值是
A. 2B. 255C. 12D. 55

5. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，若 ∠AOB=110∘，则 ∠ACB 的度数是
A. 55∘B. 70∘C. 125∘D. 110∘

6. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，BC 上，则不一定能判断 △ABC∽△EDC 的是
A. ∠CDE=∠BB. ∠DEC=∠AC. CDEC=CBACD. CDBC=DEBA

7. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AC，AB 上且 DE∥BC，若 S△ADE:S△BDE=2:3，则 S△ADE:S△ACB=
A. 2:3B. 4:9C. 4:25D. 4:19

8. 点 −1,y1，1,y2，4,y3 都在抛物线 y=−x2+4x+m 上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
9. 如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60∘，以点 D 为圆心，菱形的高 DF 为半径画弧，交 AD 于点 E，交 CD 于点 G，则图中阴影部分的面积是
A. 183−9πB. 18−3πC. 93−9π2D. 183−3π

10. 如图，抛物线 y=2x2−m 的顶点为 P，与 x 轴交于点 A，B，且 △ABP 是等腰直角三角形，则 m 的值是
A. −2B. 12C. 2D. −12

11. 如图，在平面直角坐标系中，有一个以原点 O 为圆心，3 为半径的半圆，直线 AB:y=x+b 与 x 轴交于点 Px,0，若直线 AB 与半圆弧有公共点，则 x 值的范围是
A. −3≤x≤32B. −3≤x≤3
C. −32≤x≤3D. 0≤x≤32

12. 如图，点 A 是双曲线 y=6x 在第一象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰 △ABC，使 ∠C=120∘，点 C 在第四象限内，且随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化．但点 C 始终在双曲线 y=kx 上运动，则 k 的值是
A. −1B. −2C. −23D. −3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 若 2a=3b，则 a:b= ．

14. 已知 A0,3，B2,3 是抛物线 y=−x2+bx+c 上两点，该抛物线的对称轴是 ．

15. 请你写出一个必然事件 ．

16. 如图，在 △ABC 中，若 sinA=13，则 tanA 的值是 ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．把 △ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90∘ 得到 △AʹBʹCʹ，AʹCʹ 交 AB 于点 E．若 AD=BE，则 △AʹDE 的面积是 ．

18. 如图，动点 P 在函数 y=16xx>0 的图象上移动，⊙P 半径为 2，A3,0，B6,0，点 Q 是 ⊙P 上的动点，点 C 是 QB 的中点，则 AC 的最小值是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算 sin245∘+8−sin60∘⋅tan30∘．

20. 如图，点 D 是 △ABC 的 AB 边上一点，且 AB=6，BD=4，AC=23．
（1）求证：△ACD∽△ABC．
（2）若 BC=9，求 CD 的值．

21. 如图，已知二次函数图象与 x 轴交于 A−1,0，B4,0，与 y 轴交于 C0,2，抛物线的顶点为 D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接 BC，CD，DB，求 △BCD 的面积．

22. 如表所示的是宁波植物园内四个景点在某一小时内的游客参观情况，请结合图表所给出的信息解答下列问题．
景点频数频率甲45b乙a0.3丙1050.35丁60c
（1）在这一小时内这四个景点共有多少人在参观?
（2）求表中 a，b，c 的值．
（3）班长想从这四个景点中任意抽取两个向班级同学做介绍，请用树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两个景点的概率．

23. 已知：如图，在山脚的 C 处测得山顶 A 的仰角为 53∘，沿着坡度为 30∘ 的斜坡前进 400 米到 D 处（即 ∠DCB=30∘，CD=400 米），测得 A 的仰角为 63∘，求此山的高度 AB．（答案保留根号）
（参考数据：sin53∘≈45，cs53∘≈35，tan53∘≈43，sin63∘≈1213，cs63∘≈513，tan63∘≈125．）

24. 宁波地区最近雾霾天气频繁，使得空气净化器得以畅销，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是 500 元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是 1000 元/台时，可售出 50 台，且售价每降低 20 元，就可多售出 5 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 600 元/台，代理销售商每月要完成不低于 60 台的销售任务．
（1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围；
（2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大?最大利润是多少?

25. 如图 1，在 △APE 中，∠PAE=90∘，PO 是 △APE 的角平分线，以 O 为圆心，OA 为半径作圆交 AE 于点 G．
（1）求证：直线 PE 是 ⊙O 的切线；
（2）在图 2 中，设 PE 与 ⊙O 相切于点 H，连接 AH 交 PO 于点 D，已知 PA=6，tan∠EAH=23．
①求 ⊙O 的半径；
②求 EH 的长．

26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点 C，⊙M 是 △ABC 的外接圆．如图 1，若抛物线的顶点 D 的坐标为 1,4．
（1）求抛物线的解析式，及 A，B，C 三点的坐标；
（2）求 ⊙M 的半径和圆心 M 的坐标；
（3）如图 2，在 x 轴上有 P7,0，试在直线 BC 上找点 Q，使 B，Q，P 三点构成的三角形与 △ABC 相似．若存在，请求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）向上平移抛物线 y=−x2+bx+c，在平移过程中，抛物线与 x 轴交于 Aʹ，Bʹ 两点，与 y 轴交于点 Cʹ，则 △AʹBʹCʹ 的外接圆 ⊙Mʹ 是否经过一个定点?若是，请求出这个点的坐标；若不是，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. D【解析】∵ 白球 6 个、红球 2 个、黑球 4 个，
∴ 共有 2+6+4=12（个），
∴ 取出红球的概率是 212=16．
3. A【解析】∵ 抛物线 y=2x2 的顶点坐标为 0,0，把点 0,0 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位得到的点的坐标为 3,2，
∴ 所得的抛物线的解析式为 y=2x−32+2．
4. D【解析】由题意，得 BC=12+22=5，AB=32+42=5，AC=42+22=25，
∴∠ACB=90∘，
∴sin∠BAC=BCAB=55．
5. C
【解析】如图，在优弧 AB 上取一点 D，连接 AD，BD，
则 ∠ADB=12∠AOB=55∘，
∴∠ACB=180∘−∠ADB=125∘．
6. D【解析】A．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断 △ABC∽△EDC，故此选项不合题意；
B．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断 △ABC∽△EDC，故此选项不合题意；
C．可利用两边对应成比例且夹角相等得出 △ABC∽△EDC，故此选项不合题意；
D．无法判断 △ABC∽△EDC，故此选项符合题意．
7. C【解析】∵S△ADE:S△BDE=2:3，DE∥BC，
设点 A 到 DE 的距离为 a，点 E 到 BC 的距离为 b，
∴DE⋅a2:DE⋅b2=2:3，
∴a:b=2:3，
∴ 点 A 到 DE 的距离与点 A 到 BC 的距离的比值是 2:5，
∴S△ADES△ACB=252=425．
8. D【解析】∵y=−x2+4x+m=−x−22+4+m，
∴ 抛物线对称轴为直线 x=2，
∵a=−1<0，
∴ 抛物线开口向下，
且当 x<2 时，y 随 x 的增大而增大，
当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小，
∵2−−1=3，2−1=1，4−2=2，
∴y1，y2，y3 的大小关系是 y19. A【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60∘，
∴AD=AB=6，∠ADC=180∘−60∘=120∘，
∵DF 是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD⋅sin60∘=6×32=33，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积−扇形EDG的面积=6×33−120π×332360=183−9π.
10. B
【解析】∵ 抛物线解析式为 y=2x2−m，
∴ 该抛物线的顶点 P 的坐标为 0,−m，
∵ 抛物线和 x 轴有两个交点，
∴Δ=0−4×2−m>0，
∴m>0，
令 y=0，得 0=2x2−m，解得：x1=2m2，x2=−2m2（舍去），
又 ∵△ABP 是等腰直角三角形，
∴2m2=m，
解得 m=12．
11. A【解析】作 OH⊥AB 于 H，如图，
∵ 直线 AB 的解析式为：y=x+b，
∴tan∠OPH=OBOP=1，
∴∠OPH=45∘．
∵OP=∣x∣，
∴OH=22∣x∣，
∵AB 与半圆弧有公共点，
∴OH≤3，
即 22∣x∣≤3，解得：−32≤x≤32．
当直线与半圆弧相切时，OP=32，直线经过 M 时，OP=3，
∴−3≤x≤32．
12. B【解析】如图，连接 OC，作 AD⊥y 轴于点 D，作 CE⊥y 轴于点 E，
∴∠ADO=∠OEC=90∘，
∴∠AOD+∠OAD=90∘，
∵A 点、 B 点是正比例函数图象与双曲线 y=6x 的交点，
∴ 点 A 与点 B 关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC 为等腰三角形，
∴OC⊥OA，∠CAO=30∘，
∴∠AOD+∠COE=90∘，
∴∠OAD=∠COE，
∴△OAD∽△COE，
设点 Ax,6x，即 AD=x，OD=6x，
由 OEAD=CEOD=OCAO=tan∠CAO，即 OEx=CE6x=33，
可得 OE=33x，CE=23x，
则点 C 坐标为 23x,−3x3，
∴k=−23x×3x3=−2．
第二部分
13. 3:2
【解析】∵2a=3b，
∴a:b=3:2．
14. 直线 x=1
【解析】∵A0,3，B2,3 是抛物线 y=−x2+bx+c 上两点，
∴c=3,−4+2b+c=3 解得 b=2,c=3,
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+2x+3，
∴ 对称轴为 x=−22×−1=1．
15. 明天的太阳从东方升起（答案不唯一）
【解析】明天的太阳从东方升起就是一个必然事件．
16. 24
【解析】由题意得，csA=223，
∴tanA=sinAcsA=24．
17. 6
【解析】Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB=AC2+BC2=10，
由旋转的性质可知，设 AD=AʹD=BE=x，则 DE=10−2x，
∵△ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90∘ 得到 △AʹBʹCʹ，
∴∠Aʹ=∠A，∠AʹDE=∠C=90∘，
∴△AʹDE∽△ACB，
∴DEAʹD=BCAC，即 10−2xx=86，解得 x=3，
经检验，x=3 是原方程的解．
∴S△AʹDE=12DE×AʹD=12×10−2×3×3=6．
18. 22−1
【解析】取 P4,4，连接 OP 交 ⊙P 于点 Qʹ，连接 BQʹ，取 BQʹ 的中点 Cʹ，连接 ACʹ，此时 ACʹ 最小，如图所示．
设点 P 的坐标为 x,16x，则 OP=x2+16x2≥2x⋅16x=42，
当 x=16x=4 时，取等号．
∵A3,0，B6,0，点 C 是 QB 的中点，
∴OA=AB，CB=CQ，
∴AC=12OQ．
当 Q 运动到 Qʹ 时，OQ 最小，
此时 AC 的最小值 ACʹ=12OQʹ=12OP−PQʹ=22−1．
第三部分
19. 原式=12+22−32×33=22.
20. （1） ∵AB=6，BD=4，AC=23，
∴AD=AB−BD=6−4=2，
∴ADAC=223=33，ACAB=236=33，
则 ADAC=ACAB，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
（2） ∵△ACD∽△ABC，
∴CDBC=ACAB，即 CD9=236，
解得：CD=33．
21. （1） 设 y=ax2+bx+c，把 A−1,0，B4,0，C0,2 代入得：a−b+c=0,16a+4b+c=0,c=2,
解得：a=−12,b=32,c=2,
故二次函数的解析式为：y=−12x2+32x+2．
（2） 如图所示：过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，
y=−12x2+32x+2=−12x2−3x+2=−12x−322−94+2=−12x−322+258,
则 D 点坐标为：32,258，故 DE=32，EO=258，则 EC=258−2=98，
∵B4,0，C0,2，
∴BO=4，CO=2，
∴S△BCD=S四边形DEOB−S△ECD−S△COB=12×32+4×258−12×32×98−12×2×4=154.
22. （1） 由题意可得，105÷0.35=300（人），
即在这一小时内这四个景点共有 300 人在参观．
（2） 由表可得，a=300−45+105+60=90，b=45÷300=0.15，c=60÷300=0.2，
即 a=90，b=0.15，c=0.2．
（3） 画树状图如图所示．
由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中满足条件的结果共有两种．
∴ 恰好选中甲、乙两个景点的概率是：212=16．
23. 如图，作 DN⊥AB 于 N，作 DM⊥BC 于 M，连接 AC．
∵ 在 Rt△CDM 中，∠DCM=30∘，CD=400 米，
∴DM=CD⋅sin30∘=12×400=200（米），
CM=CD⋅cs30∘=32×400=2003（米）．
∵ 在 Rt△ADN 中，∠ADN=63∘，设 DN=x 米，
∴AN=tan63∘⋅x≈125x（米）．
在矩形 DMBN 中，BN=DM=200 米．
∵ 在 Rt△ACB 中，∠ACB=53∘，
∴tan53∘=ABBC，即：43≈125x+200x+2003，
∴x=2503−3752，
∴AB=AN+BN=1252503−3752+200=6003−250（米）．
答：此山的高度 AB 为 6003−250 米．
24. （1） 由题意可得，y=50+1000−x÷20×5=300−x4，
∵ 供货商规定这种空气净化器售价不能低于 600 元/台，代理销售商每月要完成不低于 60 台的销售任务，
∴x≥600,300−x4≥60,
解得，600≤x≤960，即月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式是 y=300−x4（600≤x≤960）；
（2） 由题意可得，w=x−500300−x4=−14x−8502+30625，
∴ 当 x=850 时，w 取得最大值，此时 w=30625，
即当售价定为 850 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大，最大利润是 30625 元．
25. （1） 如图 1，作 OH⊥PE，
∴∠OHP=90∘，
∵∠PAE=90∘，
∴∠OHP=∠OAP，
∵PO 是 ∠APE 的角平分线，
∴∠APO=∠EPO，
在 △PHO 和 △PAO 中，
∠OHP=∠OAP,∠OPH=∠OPA,OP=OP,
∴△PHO≌△PAO，
∴OH=OA，
∵OA 是 ⊙O 的半径，
∴OH 是 ⊙O 的半径，
∴ 直线 PE 是 ⊙O 的切线．
（2） ①如图 2，连接 GH，OH．
∵∠PAO=90∘，
∴PA 切 ⊙O 于 A，
∵PE 与 ⊙O 相切于点 H，
∴PA=PH=6，
∵PO 是 △APE 的角平分线，
∴PO⊥AH，
∴∠APO+∠PAH=90∘，
∵∠EAH+∠PAH=90∘，
∴∠APO=∠EAH，
∵tan∠EAH=23．
∴tan∠APO=23．
在 Rt△APO 中，AP=6，tan∠APO=OAAP=23，
∴OA=23AP=23×6=4，
②由①知，OA=4，
∴AG=2OA=8，
∵PE 是 ⊙O 的切线，
∴∠EHG+∠OHG=90∘，
∵∠AGH+∠EAH=90∘，∠AGH=∠OHG，
∴∠EHG=∠EAH，
∵∠HEG=∠AEH，
∴△EHG∽△EAH，
∴EHAE=GHAH=EGEH，
在 Rt△AHG 中，tan∠EAH=GHAH=23，
∴EHAE=EGEH=23，
∴EG=23EH，AE=32EH，
∵AE−EG=AG=8，
∴32EH−23EH=8，
∴EH=485．
26. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 的顶点 D 的坐标为 1,4，
∴−b−2=1,−4c−b2−4=4, 解得：b=2,c=3,
可得：抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3=−x+1x−3，
∴A−1,0，B3,0，C0,3．
（2） 连接 AC，BC 和 MB，作 MH⊥AB 于 H，如图 1，
则 AB=3−−1=4，OC=3，AC=10，BC=32，
∴S△ABC=12AB⋅OC=6，
设 AB=c，BC=a，AC=b，⊙M 的半径为 R，
∴S△ABC=abc4R，
∴R=abc4S△ABC=5，
∴MB=R=5，
∵MH⊥AB，
∴BH=AH=12AB=2，
∴MH=MB2−BH2=1，
∴M1,1．
（3） ①过点 P 作 PQ1∥AC 交 CB 的延长线于点 Q1，如图 2，
则 △ACB∽△PQ1B，
由 A，C 两点坐标可求得直线 AC 的解析式为 y=3x+3，
设直线 PQ1 的解析式为 y=3x+m，
将 P 点坐标 7,0 代入可求得 m=−21，
∴ 直线 PQ1 的解析式为 y=3x−21，
由 y=3x−21,y=−x+3 解得 x=6,y=−3,
∴Q16,−3；
②作 ∠BPQ2=∠ACB 交 CB 的延长线于点 Q2，
则：△ACB∽△Q2PB，
且 A，C，P，Q2 四点共圆，
∴AB⋅BP=CB⋅BQ2，
∵AB=4，BC=32，BP=4，
∴BQ2=823，
作 Q2N⊥BP 于 N，
∵OC=OB，
∴BN=NQ2=83，
∴ON=OB+BN=173，
∴Q2173,−83，
综上所述，满足要求的 Q 点坐标为 6,−3 或 173,−83．
（4） 设平移后的抛物线解析式为 y=−x2+2x+nn>3，
则 Cʹ0,n，
令 −x2+2x+n=0，则解得 x1=1+1+n，x2=1−1+n，
∴Aʹ1−1+n,0，Bʹ1+1+n,0，
设 △AʹBʹCʹ 的外接圆 ⊙Mʹ 与 y 轴的负半轴的交点为 E0,h，
∴OCʹ⋅OE=OAʹ⋅OBʹ，
∴OE=OAʹ⋅OBʹOCʹ=1+n−11+n+1n=1，
∴E0,−1，
∴△AʹBʹCʹ 的外接圆 ⊙Mʹ 始终经过一个定点 E0,−1．