高中数学5.3.2 事件之间的关系与运算习题

第五章 统计与概率

5.3.2 事件之间的关系与运算

一、基础巩固

1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（    ）

A．

B．

C．表示向上的点数是1或2或3

D．表示向上的点数是1或2或3

【答案】C

【详解】

由题意，可知，

则，∴表示向上的点数为1或2或3．

2．若抛掷三颗骰子，落地后均有一面朝上，且面朝上点数之和为，则“”表示的随机试验结果是（    ）

A．一颗面朝上的点数是，另两颗面朝上的点数均是

B．一颗面朝上的点数为

C．三颗面朝上的点数都是

D．一颗面朝上的点数为，另两颗面朝上的点数分别为、

【答案】A

【详解】

任意抛掷一颗骰子，朝上的点数可以为、、、、、，

现抛掷三颗骰子，落地后均有一面朝上，且面朝上点数之和为，

，所以，“”表示随机试验结果是一颗面朝上的点数为，

另两颗面朝上的点数均是.

3．某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题知三个社团都能进入的概率为，

即，

又因为至少进入一个社团的概率为，

即一个社团都没能进入的概率为，

即，

整理得.

4．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（    ）.

A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球

C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球

【答案】D

【详解】

解析：从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.

5．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，

且，，

，即，

解得，即．

6．若某群体中的成员支付的方式只有三种：现金支付；微信支付；信用卡支付.用现金支付的概率为，微信支付的概率为，则信用卡支付的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意可得使用信用卡支付与使用现金支付或微信支付互为对立事件，

故所求概率.

7．甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

甲、乙两人比赛下中国象棋，结果有三种：甲胜，和局，乙胜.

由概率性质可知，三种情况的概率和为1，

所以乙获胜的概率为，

8．甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，

根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，

所以电路故障的事件为：.

9．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ）

A．至少有1个白球；都是白球

B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰有1个白球；恰有2个白球

D．至少有1个白球；都是红球

【答案】C

【详解】

至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；

至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；

恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件不是对立事件；

至少有1个白球；都是红球，是互斥事件和对立事件.

10．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．

11．10件同类产品中,有8件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件,与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为(    )

A．恰有1件次品 B．至多有1件次品

C．至少有1件次品 D．既有正品也有次品

【答案】A

【详解】

从10件产品中，抽取3件的基本事件为：

：3件正品；：2件正品1件次品；：1件正品2件次品.

事件“1件正品2件次品”显然为：

事件“恰有1件次品”显然为：，

因为与互斥而不对立，

12．从、、、这个数中一次随机地取个数，记所取的这个数的和为，则下列说法错误的是（    ）

A．事件“”的概率为

B．事件“”的概率为

C．事件“”与事件“”为互斥事件

D．事件“”与事件“”互为对立事件

【答案】B

【详解】

从、、、这个数中一次随机地取个数，所有的基本事件有：、、、、、，共种，

事件“”包含的基本事件有：、，共个，则；

事件“”包含的基本事件有：、、、，则；

由互斥事件的定义可知，事件“”与事件“”为互斥事件；

事件“”包含的基本事件有：，事件“”包含的基本事件有：、、、、，

由对立事件的定义可知，事件“”与事件“”互为对立事件.

综上所述，A、C、D选项正确，B选项错误.

13．下列事件中，随机事件的个数为（    ）

①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【详解】

抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以①是随机事件；

一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以②是必然事件；

购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以③是随机事件；

在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.故④是不可能事件

14．已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，

由题意可得，网上购买的合格率为，

则网上购买被投诉的人数占比为，实体店里购买的被投诉的人数占比为，

所以，解得.

15．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A．至少有一个黑球与都是黑球

B．至少有一个黑球与至少有一个红球

C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D．至少有一个黑球与都是红球

【答案】C

【详解】

A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.

B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.

C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.

D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.

16．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A．62% B．56%

C．46% D．42%

【答案】C

【详解】

记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

17．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（    ）

A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

D．“至少有一个黑球”与“都是红球”

【答案】AB

【详解】

“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；

“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；

“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；

“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.

18．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取三个数，下列事件为互斥事件的是（    ）

A．恰有一个是奇数和有两个是偶数；

B．至少有两个是偶数和至少有两个是奇数；

C．至少有一个是奇数和三个数都是偶数；

D．至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

【答案】BC

【详解】

对于选项A，恰有一个是奇数和有两个是偶数包含一个奇数和两个偶数的情况，故选项A不正确；

对于选项B，至少有两个是偶数和至少有两个是奇数是不可能同时发生的，故选项B是互斥事件；

对于选项C，至少有一个是奇数和三个都是偶数是不可能同时发生，故选项C是互斥事件；

对于选项D，至少有一个是奇数和至少有一个是偶数包含一个是奇数和两个是偶数或者一个是偶数和两个是奇数的情况，故选项D不是互斥事件.

19．设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】

若,则,故A错误；

由题知,,B正确；

∵当事件A、B都不发生时,发生,但A不发生,不是A的子集,C错误；

,,D正确.

20．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是（    ）.

A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张红色

C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色

【答案】ABD

【详解】

从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”，

在选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”，其中“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥事件.

二、拓展提升

1．记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，，，，指出下列事件的含义：

（1）；

（2）；

（3）.

【详解】

（1）=射中10环，=射中9环，=射中8环，

射中10环或9环或8环.

（2）=射中8环，

射中环数不是8环，

则射中9环.

（3）射中9环或8环或7环，

则射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.

2．从一箱产品中随机地抽取出一件产品，设事件“抽到的是一等品”，事件“抽到的是二等品”，事件“抽到的是三等品”，试用，，表示下列事件：

（1）事件“抽到的是一等品或二等品”；

（2）事件“抽到的是二等品或三等品”.

【详解】

（1）事件“抽到的是一等品”，事件“抽到的是二等品”，

又事件“抽到的是一等品或二等品”，

；

（2）事件“抽到的是二等品”，事件“抽到的是三等品”，

又事件“抽到的是二等品或三等品”，

.

3．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险.

（1）求该地位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（2）求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

【详解】

记表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”；

表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”；

表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”；

表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”.

（1）由题意可知，，，，

所以.

（2），.

4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件“1个红球和2个白球”，事件“2个红球和1个白球”，事件“至少有1个红球”，事件“既有红球又有白球”，则：

（1）事件与事件是什么关系？

（2）事件与事件的交事件与事件是什么关系？

【详解】

（1）对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故.

（2）对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故,所以事件与事件的交事件与事件相等.

5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.

（1）写出试验的样本空间.

（2）用集合的形式表示事件.

（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.

【详解】

(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间

{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}.

(2){（红,黄,蓝）}

{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}

{（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.

{（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.

(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件与事件互斥.

有什么关系？并说明理由.