5.3.2事件之间的关系与运算（课件+学案+练习）
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5.3.2 事件之间的关系与运算
最新课程标准
了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算．
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知识点 事件的关系与运算
定义 | 表示法 | 图示 | ||
事件的关系 | 包含关系 | 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) | ______(或______) | |
相等关系 | 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等 | A＝B | ||
事件的关系 | 事件互斥 | 若A为________，则称事件A与事件B互斥 | 若________，则A与B互斥 | |
事件对立 | 若A为______，A为________，那么称事件A与事件B互为对立事件 | 若A＝∅，且A＝U，则A与B对立 | ||
事件的运算 | 并事件 | 若某事件发生当且仅当______________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) | ________(或________) | |
交事件 | 若某事件发生当且仅当____________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) | ________(或________) | ||
状元随笔 互斥事件与对立事件的区别与联系
两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：
(1)若事件A发生，则事件B就不发生；
(2)若事件B发生，则事件A就不发生；
(3)事件A、B都不发生．
两个事件A、B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
基础自测
1.对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．不互斥、不对立
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
3．某人打靶两次，事件A为只有一次中靶，事件B为两次都中靶，则A＋B________．
| 课堂探究·素养提升——强化创新性 |
题型1 事件的关系判断[经典例题]
例1 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
判断的依据是互斥事件、对立事件的定义．
方法归纳
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，知道它们对事件结果的影响．必要时可以把具体的事件列举出来，更易于分辨．
跟踪训练1 从一批产品中取出三件产品，设A表示“三件产品全不是次品”，B表示“三件产品全是次品”，C表示“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是( )
A.A与C互斥
B．任何两个均互斥
C．B与C互斥
D．任何两个均不互斥
先弄清每个事件的情况，再判断两者之间的关系．
题型2 事件的运算[经典例题]
例2 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B 以及它们的对立事件；
(3)用集合的形式表示事件A和事件，并说明它们的含义及关系．
【解析】 (1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．
(2)根据题意，可得
A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，
＝{(0，0)，(0，1)}，＝{(0，0)，(1，0)}．
(3)A ＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，＝{(0，0)}；A表示电路工作正常，表示电路工作不正常；A和互为对立事件．
状元随笔 注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组(x1，x2)表示样本点．这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态．
方法归纳
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
跟踪训练2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
5.3.2 事件之间的关系与运算
新知初探·自主学习
知识点
一定发生 B⊇A A⊆B 不可能事件 A∩B＝∅ ∅ 必然事件 事件A发生或事件B发生 A∪B A＋B 事件A发生且事件B发生 A∩B AB
[基础自测]
1．解析：必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．
答案：C
2．解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
答案：B
3．解析：A＋B为并事件即至少有一次中靶．
答案：至少有一次中靶
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
跟踪训练1 解析：由题意可知，事件A与事件C不可能同时发生，故A与C互斥，选A.
答案：A
跟踪训练2 解析：(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.
同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；
事件F包含事件C2，C4，C6；
事件G包含事件C1，C3，C5.
易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5 ∪C6 (或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
故事件D2，D3，E，F，G为和事件．
