高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.2 事件之间的关系与运算课后练习题

事件之间的关系与运算

(15分钟　30分)

1.掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 (　　)

A.A⊆B

B.A=B

C.A+B表示向上的点数是1或2或3

D.AB表示向上的点数是1或2或3

【解析】选C.设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3.

2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是              (　　)

A.A⊆D   B.B∩D=

C.A∪C=D   D.A∪B=B∪D

【解析】选D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一炮弹击中”包含两种情况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.

3.打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则事件A=A1+A2+A3表示(　　)

A.全部未击中 B.至少有一次击中

C.全部击中  D.至多有一次击中

【解析】选B.事件A0,A1,A2,A3彼此互斥,且=A1+A2+A3=A,故A表示至少击中一次.

4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是________. 

【解析】摸出红球、白球、黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率为1-0.42-0.28=

0.3.

答案:0.3

【补偿训练】

一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是________.  

【解析】连续射击两次有以下四种情况:第一次中第二次不中,第一次不中第二次中,两次都中和两次都不中.故“至少一次中靶”的对立事件为“两次都不中靶”.

答案:两次都不中靶

5.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别0.3,0.2,0.1,0.4.

(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;

(2)求他不乘轮船去的概率;

(3)如果他乘某种交通工具去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?

【解析】(1)记“他乘火车去”为事件A1,“他乘轮船去”为事件A2,“他乘汽车去”为事件A3,“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥,故P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.

(2)设他不乘轮船去的概率为P,

则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.

(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.

【补偿训练】

某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最

高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.

【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,

若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;

若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.

所以Y的所有可能值为900,300,-100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

1.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球.设事件P表示“取出的两球都是黑球”;事件Q表示“取出的两球都是白球”;事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”.则下列结论正确的是              (　　)

A.P与R是互斥事件

B.P与Q是对立事件

C.Q和R是对立事件

D.Q和R是互斥事件,但不是对立事件

【解析】选C.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取球的方法共有如下几类:

①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的球一黑一白.

事件R包括①③两类情况,所以事件P是事件R的子事件,故A不正确;

事件Q与事件R互斥且对立,所以选项C正确,选项D不正确.

事件P与事件Q互斥,但不是对立事件,所以选项B不正确.

2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是 (　　)

A.至少有一个黑球与都是红球

B.至少有一个黑球与都是黑球

C.至少有一个黑球与至少有一个红球

D.恰有1个黑球与恰有2个黑球

【解析】选D.A中的两个事件是对立事件,不符合要求;B中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,不符合要求;C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件,不是互斥事件;D中的两个事件是互斥而不对立的两个事件.

3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是              (　　)

A.F与G互斥

B.E与G互斥但不对立

C.E,F,G任意两个事件均互斥

D.E与G对立

【解析】选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;

事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;

当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件.故A,C错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确.

4.(多选)若干个人站成一排,其中不是互斥事件的是 (　　)

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙不站排尾”

C.“甲站排头”与“乙站排尾”

D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”

【解析】选BCD.排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B,C,D中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.

【补偿训练】

(多选)下列说法中不正确的是 (　　)

A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(A)+P(B)=1

B.若事件A与事件B满足条件:P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B是对立事件

C.一个人打靶时连续射击两次,则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件

D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件

【解析】选ABC.互斥事件其含义是事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生,即A∩B=∅;对立事件的含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,A∩B为不可能事件,且A∪B为必然事件,即P=0且P=1,所以只有D正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.同时掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为,则5点或6点至少出现一个的概率是________. 

【解析】记既不出现5点也不出现6点的事件为A,则P(A)=,5点或6点至少有一个出现的事件为B.

因为A∩B=Ø,A∪B为必然事件,

所以A与B是对立事件,

则P(B)=1-P(A)=1-=.

故5点或6点至少有一个出现的概率为.

答案:

【补偿训练】

甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知,是方程x2-5x+6=0的根,且P1满足方程x2-x+=0.则甲射击一次,不中靶的概率为______;乙射击一次,不中靶的概率为________. 

【解析】由P1满足方程x2-x+=0知,-P1+=0,解得P1=.因为,是方程x2-5x+6=0的根,所以·=6,所以P2=,因此甲射击一次,不中靶的概率为1-=,乙射击一次,不中靶的概率为1-=.

答案:　

6.在一次随机试验中,三个事件A1,A2,A3的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是________. 

①A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件;

②A1∪A2∪A3是必然事件;

③P(A2∪A3)=0.8;

④P(A1∪A2)≤0.5.

【解析】三个事件A1,A2,A3不一定是互斥事件,故A1∪A2与A3不一定是互斥事件,并且P≤1,P(A2∪A3)≤0.8,P(A1∪A2)≤0.5,即④正确.

答案:④

三、解答题

7.(10分)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示:

求该射击队员在一次射击中:

(1)命中9环或10环的概率.

(2)至少命中8环的概率.

(3)命中不足8环的概率.

【解析】记事件“射击一次,命中i环”为Ai(i ∈N,i≤10),则事件Ai之间彼此互斥.

(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.

(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=

0.78.

(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.

【补偿训练】

　　　玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.

(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率;

(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.

【解析】方法一:(1)因为事件A,B,C,D彼此为互斥事件,所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.

(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

=++=.

方法二:(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A+B的对立事件为C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)=1--=,

即“取出1个球为红球或黑球”的概率为.

(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A+B+C的对立事件为D,

所以P(A+B+C)=1-P(D)=1-=,

即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.