人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.3 概率5.3.2 事件之间的关系与运算导学案

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在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数不大于3}，D3＝{出现的点数不大于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．
问题：在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？
(2)事件D2与G及事件C2间有什么关系？
(3)事件C1与事件C2间有什么关系？
(4)事件G与事件H间有什么关系？
[提示] (1)C1∪C2＝{出现1点或2点}．
(2)D2∩G＝C2．
(3)为互斥事件．
(4)为对立事件．
知识点1 事件的关系与运算
1．事件的关系
2．事件的和与积
3．事件的混合运算
因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算．
(Aeq \(B,\s\up7(－)))＋(eq \(A,\s\up7(－))B)表示的是Aeq \(B,\s\up7(－))与eq \(A,\s\up7(－))B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．
同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(Aeq \(B,\s\up7(－)))＋(eq \(A,\s\up7(－))B)可简写为Aeq \(B,\s\up7(－))＋eq \(A,\s\up7(－))B．
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有( )
A．A⊆B B．A⊇B C．A＝B D．AA [由事件的包含关系知A⊆B．]
2．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A．A⊆B
B．A⊇B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
C [由互斥事件的定义知，A，B互斥．]
知识点2 概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：[0，1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
[拓展] 一般地，若A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(4)若A与eq \(A,\s\up7(－))为对立事件，则P(eq \(A,\s\up7(－)))＝1－P(A)．
P(A∪eq \(A,\s\up7(－)))＝1，P(A∩eq \(A,\s\up7(－)))＝0．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)互斥事件一定是对立事件．( )
(2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率．( )
(3)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B一定是对立事件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
4．若A与B是互斥事件，则有( )
A．P(A)＋P(B)＜1 B．P(A)＋P(B)＞1
C．P(A)＋P(B)＝1D．P(A)＋P(B)≤1
D [A、B可能对立，因此P(A)＋P(B)≤1．]
类型1 互斥事件与对立事件的判定
【例1】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E．
[思路探究] eq \x(\a\al(是否可能,同时发生))→eq \x(\a\al(判断是,否互斥))→eq \x(\a\al(是否必有,一个发生))→eq \x(\a\al(判断是,否对立))
[解] (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
互斥事件和对立事件有怎样的判定方法？
[提示] (1)利用基本概念
要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响．
(2)利用集合观点
设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B．
①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅．
②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω．
[跟进训练]
1．一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6．则( )
A．A与D是互斥事件 B．C与D是对立事件
C．B与D是互斥事件D．以上都不对
A [由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确．]
类型2 事件的关系及运算
【例2】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
[解] (1)对于事件D，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．
(2)对于事件C，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A．
[母题探究]
(变条件、变设问)在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
[解] 由事件C包括的可能结果有1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C．
而事件F包括的可能结果有1个白球，2个红球或2个白球，1个红球或3个白球，所以CF＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D．
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用维恩图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
[跟进训练]
2．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为奇数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A⊆B
B．A∩B＝{出现的点数为1或3}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
B [由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是1或3或5．故A∩B＝{出现的点数为1或3}．]
类型3 互斥事件与对立事件的概率公式及应用
1．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
[提示] 不一定，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．
2．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B是否一定对立？试举例说明．
[提示] A与B不一定对立．例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P(A)＋P(B)＝1，但A、B不对立．
【例3】 在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；
(2)小明数学考试及格的概率(60分及60分以上为及格)．
[思路探究] 小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．
[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69．
(2)法一：小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93．
法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93．
[母题探究]
1．(变结论)本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．
[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”在“60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥．
∴小明成绩在80分以下的概率是：
P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31．
2．(变条件、变结论)一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
[解] 法一：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝eq \f(5,12)，P(A2)＝eq \f(4,12)，
P(A3)＝eq \f(2,12)，P(A4)＝eq \f(1,12)．
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq \f(5,12)＋eq \f(4,12)＝eq \f(3,4)．
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(5,12)＋eq \f(4,12)＋eq \f(2,12)＝eq \f(11,12)．
法二：(利用对立事件求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq \f(2,12)－eq \f(1,12)＝eq \f(9,12)＝eq \f(3,4)．
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4．
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)
＝1－eq \f(1,12)
＝eq \f(11,12)．
1．只有当A、B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A、B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立．
2．复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))求解．
1．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1}，B＝{向上的点数为2}，则( )
A．A⊆B B．A＝B
C．A与B互斥D．A与B对立
C [由于事件A与B不可能同时发生，故A与B互斥．]
2．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项，已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为( )
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.7
B [由于中一等奖，中二等奖为互斥事件，
故中奖的概率为0.1＋0.1＝0.2．
故选B．]
3．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
B [因为支付方式只有现金和非现金两种，所以群体中的成员有三类：只用现金、只用非现金和既用现金又用非现金，所以不用现金支付的概率为用非现金支付的概率，即1减去另外两类概率的和，所以不用现金支付的概率为1－(0.45＋0.15)＝0.4．故选B．]
4．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是( )
A．A与B互斥且为对立事件
B．B与C互斥且为对立事件
C．A与C存在有包含关系
D．A与C不是对立事件
A [取出的三件产品分类为M＝ “三件产品全是正品”，N＝ “两件正品，一件次品”，P＝“一件正品，两件次品”，Q＝“三件产品全是次品”，它们之间两两互斥．
于是A＝M，B＝Q，C＝M∪N∪P，
所以A与B互斥但不对立，A错误；B，C，D正确．故选A．]
5．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为eq \f(4,9)，则5点或6点至少出现一个的概率是________．
eq \f(5,9) [因为同时抛掷两枚骰子，“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件，所以5点或6点至少出现一个的概率是P＝1－eq \f(4,9)＝eq \f(5,9)．]
回顾本节内容，自主完成以下问题：
1．如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？
[提示] 如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同．即：A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点．
2．事件的互斥与对立有什么关系？
[提示] 如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件．
3．判断事件间关系有什么方法？
[提示] (1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用维恩图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
事件关系的判断与集合形式表示
2019年4月23日，作为全国第三批启动高考综合改革试点的8个省市，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆23日相继发布了本省份高考综合改革实施方案，明确从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施．
根据公布的实施方案，8个省市将采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．
1．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，请写出试验的样本空间，并说出样本点的个数；
[提示] 试验的样本点可用(x，y，z)表示，其中从物理、历史中选择1门，结果用x表示；从思想政治、地理、化学、生物中选择2门，结果用y，z表示．
该试验的样本空间Ω＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，化学)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}，样本点的个数为12．
2．小李从物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，若记事件A为“小李物理必选”；事件B为“小李生物必选”，用集合表示这两个事件，并判断事件A与事件B是不是互斥事件，是不是对立事件；
[提示] A＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)}．
B＝{(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}．
则事件A，B中含有相同的样本点(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，所以事件A与事件B不是互斥事件，也不是对立事件．
3．在第2小题的条件下，用集合的形式表示事件A∪B和事件eq \x\t(A)∩eq \x\t(B)，并说明事件A∪B和事件eq \x\t(A)∩eq \x\t(B)的关系．
[提示] 由第2问可知，事件A∪B＝{(物理，思想政治，地理)，(物理，思想政治，化学)，(物理，思想政治，生物)，(物理，地理，化学)，(物理，地理，生物)，(物理，化学，生物)，(历史，思想政治，生物)，(历史，地理，生物)，(历史，化学，生物)}．
事件eq \x\t(A)∩eq \x\t(B)＝{(历史，思想政治，地理)，(历史，思想政治，化学)，(历史，地理，化学)}，所以事件A∪B和事件eq \x\t(A)∩eq \x\t(B)既是互斥事件，也是对立事件．
1．了解事件间的包含关系和相等关系．
2．理解互斥事件与对立事件的概念与关系．(难点、易混点)
3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．(重点)
4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算．
1．通过互斥事件与对立事件关系的判定，培养逻辑推理的核心素养．
2．通过互斥与对立事件的概率计算，培养数据分析与数学运算的核心素养．
定义
表示法
图示
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，事件B一定发生，这时称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)
A⊆B
或(B⊇A)
相等关系
如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”
A＝B⇔
A⊆B且B⊆A
事件互斥
给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥
AB＝∅
或(A∩B＝∅)
事件对立
给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件
eq \(A,\s\up7(－))
定义
表示法
图示
事件的和(并)
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)
A＋B或
(A∪B)
事件的积(交)
给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)
AB或
(A∩B)