高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.6 函数的应用(二)同步练习题

第四章 指数函数、对数函数与幂函数

 4.6 函数的应用（二）

一、基础巩固

1．（2020·南京师范大学附属实验学校月考）函数的零点是（    ）

A．（，0） B．（4，0） C．（，0）或（4，0） D．或4

【答案】D

【解析】函数的零点就是方程的根，

由可得，

解得或，故选：D.

2．（2020·湖南岳阳楼·岳阳一中高一月考）函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞)

【答案】B

【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，

∵，

∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，

故选B

3．（2020·江苏省江浦高级中学高一月考）若函数的零点是（），则函数的零点是（    ）

A． B．和 C． D．和

【答案】B

【解析】由条件知，∴，∴的零点为和.

4．（2019·广东广州·高一期末）已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，函数的图象与直线有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.

5．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（    ）

A．至少有一个实根 B．至多有一个实根

C．没有实根 D．有唯一实根

【答案】D

【解析】解：设，且，则

，

因为，所以，即

所以f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，

因为f(a)·f(b)＜0，

所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解.

6．（2020·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））方程的解所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，易知此函数为增函数，

由

.

所以在上有唯一零点，即方程的解所在的区间为.

7．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，

所以，即

解得，故选：B

8．（2020·云南保山·高一其他）函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解：因为函数在上均为减函数，

所以函数在上为减函数，

因为，

所以函数的零点所在的区间为，故选：B

9．（2019·绥德中学高一月考）函数的零点为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得，即

10．（2020·河南信阳·月考（文））已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则（    ）

A．4 B．5 C．2 D．3

【答案】C

【解析】函数在递增，

且，，

所以函数存在唯一的零点，

故，故选：C.

11．（2020·江苏南通·高二月考）已知二次函数，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：由题可知，，并且是方程的两根，

即有，，

由于抛物线开口向上，可得，在两根之外，

结合选项可知A，B，C均错，D正确，如下图.

故选：D.

12．（2020·江苏南通·高三月考）为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数为（    ）

A．5 B．6 C．11 D．12

【答案】C

【解析】因为为定义在上周期为2的奇函数，

所以，，

所以，，，，

所以，

所以，即，

所以，，，，.

所以函数在上零点的个数为11.

13．（2019·北京牛栏山一中实验学校高一期中）已知是函数的一个零点，且，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】解：∵在上单调递减，在上单调递减，

在上单调递减，

∵，，，

14．（2019·陕西新城·西安市第八十九中学高一期中）函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B．

15．（2020·天津滨海新·高三其他）已知函数，若函数（且）在区间上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题可知：函数（且）

在区间上有4个不同的零点

等价于函数与图象在有4个交点，

由

所以函数为偶函数

，

当时，，所以函数在单调递增,

且，如图

由图可知：当时，

所以，若，函数单调递减，不符合题意

当时，

所以要满足题意则，所以

16．（2020·中区·山东省实验中学高三月考）对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】是定义在上的“倒戈函数，

存在满足，

，

，

构造函数，，

令，，

在单调递增，

在单调递减，所以取得最大值，

或取得最小值，，

，，

17．（多选题）（2020·湖北武汉·高二期末）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（    ）

A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解

C．方程有且仅有一个解 D．方程有且仅有九个解

【答案】AC

【解析】解：根据函数的图象，函数的图象与轴有3个交点，

所以：方程有且仅有三个解；

函数在区间上单调递减，

所以：方程有且仅有一个解．

对于D：方程，即或，或，

因为有三个解，当时或只有一个解，故有5个解，故D错误；

对于B ：方程，即，当时只有一个解，故只有1个解，故B错误；

18．（多选题）（2019·全国高一课时练习）若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（    ）

A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点

B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点

C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点

D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点

【答案】ABD

【解析】由题知，

所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，

又，

因此无法判断在区间上是否有零点.

19．（多选题）（2020·陕西长安一中期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】令，则，

在同一直角坐标系中作出与的图像，

因为函数恰有个零点，

所以只需与有两个交点.

由图可知，为使与有两个交点，

只需或即可，

故当时，两函数均有两个交点，即ABC正确；当时，两函数有三个交点，不满足题意，故D错；

20．（多选题）（2020·邯郸市永年区第二中学高三月考）已知函数，则函数的零点个数可能为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】BCD

【解析】由可得，

则函数的零点即是函数与直线图像交点的横坐标，

画出的大致图像如下，

由得，所以曲线在点处的切线斜率为，

此时的切线方程为，即，恰好过点，

又直线也过点，

所以由图像可得，当时，直线与函数的图像有两个交点；即函数有两个零点；

当时，直线只与函数在的图像有一个交点，即函数有一个零点；

当时，直线与函数有三个不同的交点，即函数有三个零点；

综上，函数的零点个数可能为，，.

二、拓展提升

1．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知关于的方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值．

【解析】解：（1）依题意，得，解得，

∴的取值范围是；

（2）由韦达定理得，，，

由得，，

∴由得，，

即，即，

解得，或（舍），

∴．

2．（2020·全国高一）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝x2＋2x＋4；

【解析】（1）令＝0，解得x＝－3，所以函数f（x）＝的零点是x＝－3．

（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，

所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点．

3．（2020·全国高一专题练习）求函数的零点；

【解析】当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；

当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.

所以函数的零点为－3和e2.

4．（2020·广西南宁三中高二开学考试）已知二次函数.

（1）如果二次函数恒有两个不同的零点，求的取值范围；

（2）当时，讨论二次函数在区间上的最小值.

【解析】（1）由题，得，

，解得或，

∴；

（2）∵，所以对称轴，

当，即时，函数在上单调递减，

故当时，取最小值；

当，即时，函数在上先减后增，

故当时，取最小值.

5．（2020·南开大学附属中学高三月考）已知函数，满足，

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最大值和最小值.

（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.

【解析】（1）由得，

又，得

即，所以， ，解得： ， ，

所以，

（2）对称轴，

所以，，，

所以，，

（3），若有2个零点分别在区间和内，

则 ，即，解得：