高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较课堂检测

第四章 指数函数、对数函数与幂函数

4.5 增长速度的比较

一、基础巩固

1．（2019·全国高一课时练习）下面对函数、和在区间上的说法正确的是（    ）

A．的递减速度越来越慢，的递减速度越来越快，的递减速度越来越慢

B．的递减速度越来越快，的递减速度越来越慢，的递减速度越来越快

C．的递减速度越来越慢，的递减速度越来越慢，的递减速度越来越慢

D．的递减速度越来越快，的递减速度越来越快，的递减速度越来越快

【答案】C

【解析】观察函数、和在区间上的图像，由图可知：函数的图像在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间上递减较慢，且越来越慢．同样，函数的图像在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数的图像在区间上递减较快，但递减速度变慢；在区间上递减较慢，且越来越慢．

2．（2019·全国高一课时练习）某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是，假设恒成立，且，，则这些数据说明后10天与前10天比较（    ）

A．公司已经亏损

B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大

C．公司在亏损且亏损幅度变小

D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小

【答案】D

【解析】平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的，故选D．

3．（2019·全国高一课时练习）三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：

则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　)

A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2

【答案】C

【解析】由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，是幂函数，是指数函数，是对数函数，故选C．

4．（2019·北京市第二十五中学高一期中）某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了，休息了一段时间，又沿原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A；又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D；C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B故选C．

5．（2019·全国高一课时练习）函数y＝x2在区间[x0, x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（　 ）

A．k1＞k2

B．k1＜k2

C．k1＝k2

D．k1与k2的大小关系不确定

【答案】A

【解析】由题意结合函数的解析式有：

，

，

则，因为Δx可大于零，所以k1>k2.

6．（2021·三门峡市第一高级中学高一月考）在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以其对应图象为B,

故选：B

7．（2019·全国高一课时练习）在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④中，平均变化率最大的是(　　)

A．④ B．③

C．② D．①

【答案】B

【解析】Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.

8．（2019·全国高一课时练习）甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是(   )

A．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域 B．丙在Ⅰ区域，丁在Ⅲ区域

C．丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域 D．丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域

【答案】A

【解析】由图可得：丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，∴丙车速度最大，丁车速度最小，由几何意义可得丙车所在直线的倾斜角最大，丁车所在直线的倾斜角最小，故选A.

9．（2019·全国高一课时练习）若函数，，在上的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数在的平均变化率为：；

函数在的平均变化率为：；

函数在的平均变化率为：；

∴

故选A.

10．（2019·全国高一课时练习）如图，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是图中的(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可知，是，是减函数，故A、B错；

由图形阴影面积的变化趋势来看，函数减小的趋势是变慢的，故选C。

点睛：观察函数的单调性和变化趋势来解决问题，本题观察阴影部分的变化情况，首先可知是减函数，再根据等长递减观察，可知递减的趋势是由快变慢的，故得到图象为C选项。

11．（2019·全国高一课时练习）已知汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图所示,在时间段上的平均速度分别为,则三者的大小关系为_________. (由大到小排列)

【答案】

【解析】∵ ，，

又∵由图象得

∴

故答案为

12．（2019·全国高一课时练习）函数与在区间上增长较快的是________．

【答案】

【解析】在上取，，

，

因为，所以，，

所以，所以函数在区间上的增长速度慢于函数的增长速度，故增长较快的为．

故答案为．

13．（2019·全国高一课时练习）婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．

【答案】一

【解析】解析，，，

故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快．

14．（2019·全国高一课时练习）如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．

①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；

③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．

【答案】③

【解析】在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故①②错误；

在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.

因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误．

二、拓展提升

1．（2020·全国高一课时练习）已知函数，判断与的相对大小，并求出使得成立的的取值范围.

【解析】，

.

而，

.

使，

即成立的的取值范围为，即.

2．（2020·全国高一课时练习）已知函数，分别计算这两个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小.

【解析】在区间上的平均变化率为.

在区间上的平均变化率为.

由于，故在区间上的平均变化率比的小.

3．（2019·全国高一课时练习）某河流在一段时间内流过的水量为，已知y是x的函数，且．当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

【解析】当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为，它表示时间从1min增加到8min的过程中，每增加1min，水流量平均增加．

4．（2020·全国高一课时练习）已知函数的定义域为R，分别判断下列条件下的单调性：

（1）在任意区间内的平均变化率均为正数；

（2）在任意区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小.

【解析】（1）是增函数，理由如下：

取且，则，

由题意知在任意区间内的平均变化率

.

是增函数

（2）是减函数，理由如下：

取任意区间，则在该区间上的平均变化率为

在该区间上的平均变化率为.

由题意，.

，

是减函数.

5．（2020·全国高一课时练习）已知函数.

（1）求在区间与上的平均变化率；

（2）记，判断直线AB与直线BC斜率的相对大小.

【解析】（1）在区间上的平均变化率为：

.

在区间上的平均变化率为：

（2）

6．（2019·全国高一课时练习）每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：

方案一：每年植树1万平方米；

方案二：每年树木面积比上一年增加9%.

哪个方案较好？

【解析】方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．

方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，

因为15.386>15，所以方案二较好．