高中人教B版 (2019)5.3.4 频率与概率同步测试题

第五章 统计概率

5.3.4 频率与概率

一、基础巩固

1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是(    )

A．频率就是概率 B．频率是随机的，与试验次数无关

C．概率是稳定的，与试验次数无关 D．概率是随机的，与试验次数有关

【答案】C

【详解】

频率指的是：在相同条件下重复试验下，

事件A出现的次数除以总数，是变化的

概率指的是： 在大量重复进行同一个实验时，

事件A发生的频率总接近于某个常数，

这个常数就是事件A的概率，是不变的

2．下列说法正确的是(　　)

A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场

B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈

C．随机试验的频率与概率相等

D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%

【答案】D

【详解】

A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；

B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；

C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；

D选项，概率为90%，即可能性为90%.

3．下列叙述正确的是（    ）

A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

B．若事件发生的概率为，则

C．频率是稳定的，概率是随机的

D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小

【答案】B

【详解】

解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；

对于B，事件发生的概率为，则，即B正确；

对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；

对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为，即D错误，

即叙述正确的是选项B，

4．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（    ）

A．频率就是概率

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．概率是随机的，在试验前不能确定

D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

【答案】D

【详解】

解：因为随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

频率在试验前是不定的，概率是确定的．频率是概率的近似值，选：D

5．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取出一张卡片并记下号码，统计结果如下：

则取到的号码为奇数的频率是（    ）

A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37

【答案】A

【详解】

由题意知：本题是一个古典概型，
∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，
∴事件总数是100，
由表可以看出取到号码为奇数有10+8+6+18+11=53种结果，
∴ ，故选A．

6．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：

如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由表中数据得：

估计这个人体重减轻的概率约为

7．今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如表：

则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，

故该医院生男婴的出生频率为.

8．某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：

现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（    ）

A．该教职工具有本科学历的概率低于60％

B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％

C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％

D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％

【答案】D

【详解】

A.该教职工具有本科学历的概率 ，故错误；

B.该教职工具有研究生学历的概率，故错误；

C.该教职工的年龄在50岁以上的概率，故错误；

D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率，故正确.

9．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．

10．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

每一次出现正面朝上的概率相等都是，故选D.

11．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（    ）.

A．69人 B．84人 C．108人 D．115人

【答案】C

【详解】

在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，

设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，

则，解得人.

12．下列说法正确的是（    ）

A．由生物学知道生男生女的概率均为，一对夫妇生两个孩子，则一定生一男一女

B．一次摸奖活动中中奖概率为，则摸5张票，一定有一张中奖

C．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是

D．在同一年出生的367人中，至少有两人生日为同一天

【答案】D

【详解】

A. 一对夫妇生两个孩子，则不一定生一男一女，错误；

B. 一次摸奖活动中中奖概率为，则摸5张票，中奖的概率为，错误；

C. 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的频率是，错误；

D. 在同一年出生的367人中，根据抽屉原理知至少有两人生日为同一天，正确.

13．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件总数n=5×5=25，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），

共有m=10个基本事件，

∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=

14．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：）：根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是（    ）

A．厨余垃圾投放正确的概率为

B．居民生活垃圾投放错误的概率为

C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱

D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000

【答案】D

【详解】

由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率；可回收物投放正确的概率；其他垃圾投放正确的概率．

对A，厨余垃圾投放正确的概率为，故A正确；

对B，生活垃圾投放错误有，故生活垃圾投放错误的概率为，故B正确；

对，该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，故C正确．

对D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数，可得方差

，故D错误；

15．下列命题正确的是（    ）

A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确.

B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立.

C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小.

D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.

【答案】B

【详解】

在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数之比,称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时,频率将稳定在一个常数附近. 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说越大，估计的精度越精确，A错；

事件与事件相互独立，即是否发生与是否发生无关，∴事件是否发生与事件是否发生也无关，它们相互独立，B正确；

抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件，出现的点为不小于2记为事件，则事件与事件同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为，而事件与中恰有一个发生是指点为1或6，概率为．C错；

抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D错．

16．下列说法正确的有(　　)

①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；

②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；

③任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<1；

④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【详解】

频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误
∴说法正确的有两个，故选C．

17．（江西省南昌市2018届二模）在《周易》中，长横“  ”表示阳爻，两个短横“   ”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：基本事件总数n=23=8，这六爻恰好有两个阳爻一个阴爻包含的基本事件m=3，由此能求出这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率．

详解：

在一次所谓“算卦”中得到六爻，

基本事件总数n=23=8，

这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m=3，

∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是p=．

18．下列结论正确的是(　　)

A．对事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1

B．若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件

C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效可能性为76%

D．某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖

【答案】C

【解析】

由概率的基本性质,事件A的概率P(A)的值满足0⩽P(A)⩽1，故A错误；

必然事件概率为1，故B错误；

某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误．

19．(多选题)下列说法正确的是（    ）

A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6

B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报

C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同

D．大量试验后，可以用频率近似估计概率.

【答案】CD

【详解】

解：、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误；

、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；

、根据古典概型的概率公式可知C正确；

、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确．

20．（多选）以下对各事件发生的概率判断正确的是（    ）.

A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是

B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为

C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是

D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是

【答案】BCD

【详解】

对于A，画树形图如下：

从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜），P（乙获胜），故玩一局甲不输的概率是，故A错误；

对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；

对于C，基本事件总共有种情况，其中点数之和是6的有，，，，，共5种情况，则所求概率是，故C正确；

对于D，记三件正品为，，，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为，，，，，，共6种，其中两件都是正品的有，，，共3种，则所求概率为，故D正确.故选BCD.

二、拓展提升

1．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;

（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.

【详解】

（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，

∴由频率最大区间为，则众数为；

（2）由图知：不少于30小时的区间有、，

∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.

2．健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：

现随机抽取了100位会员统计它们的消费次数，得到数据如下：

假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：

（1）估计1位会员至少消费两次的概率

（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；

【详解】

(1)根据消费次数表,估计1位会员至少消费两次的概率;

(2)第1次消费利润;

第2次消费利润;

第3次消费利润;

第4次消费利润;

这4次消费获得的平均利润:.

3．某地为了整顿电动车道路交通秩序，考虑对电动车闯红灯等违章行为进行处罚，为了更好地了解情况，在某路口骑车人中随机选取了100人进行调查，得到如下数据，其中．

（1）用表中数据所得频率代替概率，求对骑车人处罚10元与20元的概率的差；

（2）用分层抽样的方法在处罚金额为10元和20元的抽样人群中抽取5人，再从这5人中选取2人参与路口执勤，求这两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率．

【详解】

（1）由条件可得，解得，所以处罚10元的有30人，处罚20元的有20人．              

所以对骑车人处罚10元与20元的概率的差为．        

（2）用分层抽样的方法在受处罚的人中抽取5人，则受处罚10元的人中应抽取3人，分别记为a，b，c，

受处罚20元的人中应抽取2人，分别记为A，B，若再从这5人中选2人参与路口执勤，共有10种情况：

，，，，，，，，，，

其中两种受处罚的人中各有一人的情况有6种：，，，，，，               

所以两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率为．

4．2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：

（Ⅰ）求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.

【详解】

（Ⅰ）由题意知，

∴，

年龄平均数.

（Ⅱ）1000人中年龄不小于60岁的人有380人，

所以年龄不小于60岁的频率为，

用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.

5．某校为庆祝中华人民共和国建国周年，以“不忘初心，牢记使命”为主题开展了“唱红歌”比赛，工作人员根据参赛选手的成绩绘制了如下不完整的统计图表：

请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

（1）求上表中的数据、的值；

（2）通过计算，补全频数分布直方图；

（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？

（4）如果比赛成绩在分以上（含分）的选手为获奖选手，那么我们随机的从本次参赛的所有选手中抽取出一个人，求恰好抽中获奖选手的概率？

【详解】

（1）总人数（人），，；

（2）由（1）的计算知至分段的人数为人，

至分段的人数为人，

补全条形图如下图所示：

（3）比赛成绩在的人数为，比赛成绩在的人数为，

因此，比赛成绩的中位数落在分；

（4）恰好抽中获奖选手的概率为：.