初中数学青岛版八年级上册5.6 几何证明举例课后测评

5.6  几何证明举例

基础过关

1、已知：如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，BC=ED，∠ACD=∠ADC．求证：AB=AE．

2、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD．求证：AB=AC．

3、已知：如图，AC⊥CD，BD⊥CD，AB的垂直平分线EF交AB于E，交CD于F，且AC=FD．求证：△ABF是等腰直角三角形．

能力提升

4、已知：在△ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：△RDQ是等腰直角三角形.

5、已知：在△ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC.

6、已知：在△ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA.

应用拓展

7、如图,△ABC中,∠A=80°,∠B、∠C的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,求∠DOB的度数.

8、如图,△ABC中,∠A=90°,∠C的平分线交AB于D,已知∠DCB=2∠B.求∠ADC的度数.

9、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．

10、（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD为∠BAC的平分线．求证：D在AB的垂直平分线上．

（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线，交AB于D,交AC于E,∠EBC=30°求∠A的度数.

创新突破

11、如图所示，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求∠A的度数．

12、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，

连结EC、ED，求证：CE=DE

13、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长.

答案

1、证明：由∠ACD=∠ADC，得AC=AD.再由△ABC≌△AED，得AB=AE.

2、证明：由已知，可得DE=DF.于是可证Rt△BDE≌Rt△CDF，∠B=∠C.故AB=AC.

3、证明：由EF垂直平分AB，可得FA=FB.再由Rt△BDE≌Rt△CDF，可得∠CAF=∠DFB.而∠CAF+∠CFA=90°，故∠DFB+∠CFA=90°，∠AFB=90°，即△AFB为等腰直角三角形.

4、连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,
又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP,
△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR
由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,
∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,
所以△RDQ是等腰RT△.

5、作AG平分∠BAC交BD于G
∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°
∵∠BAC=90°  AC=AB  ∴∠C=∠ABC=45°
∴∠C=∠BAG  ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° 
∵∠CAF+∠BAE=90°  ∴∠CAF=∠ABE
∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG
∴CF=AG     ∵∠C=∠DAG =45°   CD=AD
∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB

6、易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°

­7、∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB

­  ∴∠ABO=∠CBO  ∠BCD=∠ACD=30°

­  又∵∠A=80°

­  ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=180°-80°-30°-30°=40°

­  ∴∠CBO =∠ABC=×40°=20°

­  ∴∠DOB=∠CBO+∠BCD=20°+30°=50°

­8、∵CD平分∠ACB

­    ∴∠ACD=∠DCB=2∠B

­   又∵∠A=90°

­    ∴∠B+∠ACB=90°

­    ∴∠B+∠ACD+∠DCB=90°

­    ∴∠B+2∠B+2∠B=90°

­    ∴∠B=18°

­    ∴∠ADC=∠B+∠DCB=∠B+2∠B=3∠B=3×18°=54°略

10、（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，∴∠BAC=60°，∠ABC=30°.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°.∴∠BAD=∠ABC.∴BD=AD.

∴D在AB的垂直平分线上.

（2）解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE.

∴∠A=∠EBD.∵∠ABC=∠A+30°，又∵AB=AC，∴∠C=∠A+30°.

∴∠A+30°+∠A+30°+∠A=180°（三角形的内角和定理）.∴∠A=40°.

11、解法一：∵AB=AC.∴∠C=∠ABC.同理∠C=∠BDC，∠A=∠AED，∠EBD=∠EDB.∵∠A=180°-2∠C=180°-2∠BDC，∠BDC=∠EBD+∠A=∠EBD+∠AED，∠AED=∠DBA+∠EDB=2∠DBA.，

∴∠A=180°-2∠BDC=180°-2∠A-2∠DBA=180°-2∠A-∠A.∴A=45°.

解法二：设∠A=x.

依题意，有∠AED=∠A=x，∠DBA=∠AED=x，

∠C=∠BDC=∠A+∠DBA=x，∠ABC=∠C=x.

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+x+x=180°.∴x=45°.∴∠A=45°.

12、 延长CD到F，使DF=BC，连结EF
    ∵AE=BD  ∴AE=CF
    ∵△ABC为正三角形 ∴BE=BF    ∠B=60°
    ∴△EBF为等边三角形  ∴角F=60°   EF=EB
    在△EBC和△EFD中
      EB=EF（已证） ∠B=∠F（已证）  BC=DF（已作）
     ∴△EBC≌△EFD（SAS） ∴EC=ED

13、周长为10.