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初中数学5.6二次函数的图像与一元二次方程课后复习题
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这是一份初中数学5.6二次函数的图像与一元二次方程课后复习题，共25页。试卷主要包含了0分），其中正确结论的个数是，关于下列结论，其中所有正确结论的序号是，【答案】C，【答案】D等内容，欢迎下载使用。
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5.6二次函数的图象与一元二元方程同步练习
青岛版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3−t=0(t为实数)在−1−1时，y>0.其中正确结论的个数是( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴是直线x=−2.关于下列结论：①ab<0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c>0；④b−4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=−4，其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
4. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，与y轴交于(0,2)，抛物线的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①a+c=b；②方程ax2+bx+c=0的解为−1和3；③2a+b=0；④c−a>2，其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8.设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1>4，则a的取值范围是( )
A. −3
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线与x轴有两个交点
C. 抛物线是对称轴x=34 D. 抛物线经过(2,3)
7. 关于x的函数y=ax2+(2a+1)x+a−1与坐标轴有两个交点，则a的取值有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如表给出了二次函数y=x2+2x−10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x−10=0的一个近似解为( )
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
−1.39
−0.76
−0.11
0.56
1.25
…
A. 2.2 B. 2.3 C. 2.4 D. 2.5
9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B(4,0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE//AB，并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论：①a>0；②b>0；③4a+2b+c<0；④AD+CE=4.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
10. 如图，抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(1,3)，且与x轴有一个交点为B(4,0)，直线y2=mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是(−1,0)；⑤当1
11. 抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 已知二次函数y=−23x2−43x+2的图象与x轴分别交于A，B两点(如图所示)，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的纵坐标与横坐标之和为( )
A. 0 B. 13 C. 23 D. 43
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0)、B(n,0)，与y轴交于点C(0,c)，则称△ABC为“抛物三角线”.特别地，当mnc<0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc>0时，称△ABC为“倒抛物三角形”.那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件______．
14. 若函数y=(a+1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______．
15. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(−3,0)，对称轴为x=−1.给出四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④5a
16. 如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0). 在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM−MC|的值最大，求出点M的坐标______．
17. 如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点为(−5,0)，则不等式ax2+bx+c>0的解集为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
18. 已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m−1)x+m+1的图象与x轴总有交点，求m的取值范围．
19. 已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如下表：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y1
…
0
1
2
3
4
…
y2
…
0
−1
0
3
8
…
(1)求y2的表达式；
(2)关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是______．
20. 小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而______，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而______，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而______．
(2)当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
12
1
32
2
52
3
…
y
0
116
16
716
1
9548
72
…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，则m的最大值是______．
21. 如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(−1,0)、B(0,3)两点，其顶点为D．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为E.求△ODE的面积．
22. 设二次函数y=mx2+nx−(m−n)(m、n是常数，m≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由；
(2)若该二次函数图象经过点A(2,3)，B(1,4)，求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,6)，对称轴为直线x=2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．
24. 已知二次函数y=−2x2+4x+6．
(1)求出该函数的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标，
(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？当x在什么范围内时，y>0？
25. 已知：抛物线y=x2−2px+p2−1
(1)判断抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；
(2)把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为y=x2−2x+3，将一元二次方程x2+bx+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的有交点，再由−1
解：∵y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，
∴b=−2，
∴y=x2−2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的有交点，
∵方程在−1
当x=4时，y=11；
函数y=x2−2x+3在x=1时有最小值2；
∴2≤t<11．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于中档题．
利用抛物线开口方向得a<0，利用对称轴在y轴的右侧得b>0，则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=1，a−b+c=0，则b=a+c=a+1，所以00，由此可对③进行判断；观察函数图象得到x>−1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，则可对⑤进行判断．
【解答】
解：∵由抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b>0，
∴ab<0，所以①正确；
∵点(0,1)和(−1,0)都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=1，a−b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
而a<0，
∴0
而a<0，
∴2a+2<2，即a+b+c<2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，而抛物线的对称轴在y轴右侧，在直线x=1的左侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(1,0)和(2,0)之间，
∴x=1时，y>0，即a+b+c>0，
∴0
∴y>0或y=0或y<0，所以⑤错误．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵−b2a=−2，
∴b=4a，ab>0，
∴b−4a=0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于−4，0处两点，
∴b2−4ac>0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=−4，
∴②⑤正确，
∵当x=−3时y>0，即9a−3b+c>0，
∴③正确，
故正确的有②③④⑤．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a+c=b，故本选项正确；
②由对称轴为x=1，一个交点为(−1,0)，
∴另一个交点为(3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的解为−1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，则2a+b=0，故本选项正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于(0,2)，
∴c=2，
∵a<0，
∴c−a>2，故本选项正确；
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b与偶的关系，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
5.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8，
∴a<0，该函数解析式可以写成y=a(x−2)2+8，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，
∴当x=4时，y>0，
即a(4−2)2+8>0，解得，a>−2，
∴a的取值范围时−2
根据二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8，可以写出该函数的顶点式，得到a<0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，可知，当x=4时，y>0，即可得到a的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】B
【解析】解：A、a=2，则抛物线y=2x2−3的开口向上，故本选项不符合题意；
B、当y=0时，2x2−3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，故本选项符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，故本选项不符合题意；
D、当x=2时，y=2×4−3=5，则抛物线不经过点(2,3)，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对D进行判断；利用方程2x2−3=0解的情况对B进行判断．
本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵关于x的函数y=ax2+(2a+1)x+a−1的图象与坐标轴有两个交点，
∴可分如下三种情况：
①当函数为一次函数时，有a=0，
∴a=0，此时y=x−1，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时(a≠0)，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，
∵函数与x轴有一个交点，
∴△=0，
∴(2a+1)2−4a(a−1)=0，
解得a=−18；
③函数为二次函数时(a≠0)，与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，
∴a−1=0，
∴a=1．
当a=1，此时y=x2+3x，与坐标轴有两个交点．
综上所述，a的取值为0，−18，1，
故选：C．
由题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；③函数为二次函数，与y轴的交点也在x轴上，即图象经过原点．针对每一种情况，分别求出a的值．
此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
8.【答案】B
【解析】解：如图：
x=2.3，y=−0.11，x=2.4，y=0.56，x2+2x−10=0的一个近似根是2.32．
故选：B．
根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解．
9.【答案】D
【解析】解：①观察图象开口向下，a<0，
所以①错误；
②对称轴在y轴右侧，b>0，
所以②正确；
③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为(4,0)，
对称轴在y轴右侧，
所以当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，
所以>③错误；
④∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，
∴AD=BD，
∵CE//AB，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD，
∴AD+CE=BD+OD=OB=4，
所以④正确．
综上：②④正确．
故选：D．
①根据抛物线开口方向即可判断；
②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；
③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；
④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE//AB，即可得结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点进行计算．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标A(1,3)
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3)，B点(4,0)
∴当1
根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程−x2+4x−4=0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：当x=0时，y=−x2+4x−4=−4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,−4)，
当y=0时，−x2+4x−4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选：C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及轴对称最短路径问题，确定P的位置是本题的关键．首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得AC的解析式，AC与二次函数的对称轴的交点就是P，求得P的坐标即可求得结果．
【解答】
解：连接AC，交抛物线的对称轴于P点，
∵A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴此时PB+PC取得最小值．
在y=−23x2−43x+2中，令y=0，则−23x2−43x+2=0，
解得：x=−3或1．
则A的坐标是(−3,0)，B的坐标是(1,0)，
则对称轴是x=−1．
令x=0，解得y=2，则C的坐标是(0,2)．
设经过A和C的直线的解析式是y=kx+b．
根据题意得：−3k+b=0 b=2,
解得：k=2 3b=2,
则AC的解析式是y=23x+2，
令x=−1，则y=43．
x+y=−1+43=13．
故选：B．
13.【答案】a>0，c<0
【解析】解：∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴，
∴A(m,0)、B(n,0)关于y轴对称，
∴mn<0，
又∵mnc>0，
∴c<0，即抛物线与y轴的负半轴相交，
又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0)、B(n,0)，
∴函数开口向上，
∴a>0．
故答案是：a>0，c<0．
根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．
本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键．
14.【答案】−1或−2或1
【解析】解：当a+1=0，即a=−1时，函数解析式为y=−4x−2，与x轴只有一个交点；
当a+1≠0，即a≠−1时，根据题意知，(−4)2−4×(a+1)×2a=0，
整理，得：a2+a−2=0，
解得：a=1或a=−2；
综上，a的值为−1或−2或1．
故答案为：−1或−2或1．
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac=0，据此求解可得．
本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
15.【答案】①③④
【解析】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=−b2a=−1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∵对称轴为x=−b2a=−1，
∴2a=b，
∴2a+b=4a，a≠0，故②错误；
③根据A(−3,0)，对称轴为x=−1，
可知当x=1时，y=0，即a+b+c=0，故③正确；
④把x=1，x=−3代入解析式得a+b+c=0，9a−3b+c=0，
两边相加整理得5a−b=−c<0，即5a
①由图象与x轴有交点，对称轴为x=−b2a=−1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2−4ac>0，可对①进行判断；
②由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0，由对称轴为x=−b2a=−1，可以②进行分析判断；
③根据A(−3,0)，对称轴为x=−1，可知当x=1时，y=0，可对③进行分析判断；
④把x=1，x=−3代入解析式得a+b+c=0，9a−3b+c=0，两边相加整理得5a−b=−c<0，即5a
16.【答案】(32,−12)
【解析】
【分析】
本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等.根据直线的解析式求得点A(0,1)，那么把A，B坐标代入y=12x2+bx+c即可求得函数解析式，据此知抛物线的对称轴，点C关于对称轴的对称点为点B.易得当|AM−MC|的值最大时，连接AB交对称轴的一点就是M.令过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．
【解答】
解：∵直线y=12x+1与y轴交于点A，
∴点A坐标为(0,1)，
将A(0,1)、B(1,0)坐标代入y=12x2+bx+c，
得c=112+b+c=0,
解得：b=−32c=1．
∴抛物线的解折式为y=12x2−32x+1=12(x−32)2−18；
则抛物线的对称轴为x=32，B、C关于x=32对称，
∴MC=MB，
要使|AM−MC|最大，即是使|AM−MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM−MB|的值最大．
易知直线AB的解析式为y=−x+1，
∴y=−x+1x=32，
解得：x=32y=−12．
则M(32,−12)，
故答案为(32,−12).
17.【答案】−5
【解析】解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点坐标为(−5,0)，
根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=−1对称，即
抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与(−5,0)关于直线x=−1对称，
∴另一个交点的坐标为(3,0)，
∵不等式ax2+bx+c>0，即y=ax2+bx+c>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c>0的解集是−5
此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y>0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
18.【答案】解：关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m−1)x+m+1的图象与x轴总有交点，
所以4(m−1)2−4(m+6)(m+1)≥0，
解得m≤−59，
又因为该函数是关于x的二次函数，
所以m+6≠0，所以m≠−6，
所以m的取值范围是：m≤−59且m≠−6．
【解析】因为题中条件要求该函数为关于x的二次函数，所以只用根据二次函数与x轴交点的个数的判定，即b2−4ac与0的等量关系即可．
本题主要考查对于二次函数与x轴交点的个数的判定，即b2−4ac与0的等量关系来求出m的取值范围，同时要注意题中条件是关于x的二次函数．
19.【答案】x<−2或x>1
【解析】解：(1)根据题意设y2的表达式为：
y2=a(x+1)2−1，
把(0,0)代入得a=1，
∴y2=x2+2x；
(2)当x=−2时，y1=y2=0；当x=1时，y1=y2=3；
∴直线与抛物线的交点为(−2,0)和(1,3)，
而x<−2或x>1时，y2>y1，
∴不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是x<−2或x>1．
故答案为：x<−2或x>1．
(1)根据题意设出y2的表达式，再把(0,0)代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；
(2)利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−2,0)和(1,3)，x<−2或x>1时，y2>y1，从而得出不等式ax2+bx+c>kx+m的解集．
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
20.【答案】(1)减小 减小 减小
(2)函数图象如图所示：
(3)73
【解析】解：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而减小，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而减小，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．
(2)函数图象如图所示：
(3)∵直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，
观察图象可知，x=−2时，m的值最大，最大值m=16×2×(4+2+1)=73，
故答案为73
(1)利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
(2)利用描点法画出函数图象即可．
(3)观察图象可知，x=−2时，m的值最大．
本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)由题意得：c=3−1−b+c=0，
解得c=3，b=2，
故抛物线的线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)令y=0，得−x2+2x+3=0，
解得x=−1或3，
∴E(3,0)，
∵y=−x2+2x+3=−x−12+4
∴顶点D坐标为(1,4)，
S△DOE=12×4×EO
=12×3×4
=6．
【解析】(1)由于抛物线的解析式中只有两个未知数，因此可根据A，B两点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
(2)令y=0，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再求出抛物线的顶点坐标，顶点纵坐标即为三角形ODE边OE上的高，根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线和x轴的交点问题，以及二次函数的性质，是基础知识要熟练掌握．
22.【答案】解：(1)该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由如下：
∵△=b2−4ac=n2+4m(m−n)=n2+4m2−4mn=(n−2m)2≥0，
∴该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个．
(2)把点A(2,3)，B(1,4)代入，y=mx2+nx−(m−n)中，
得4m+2n−(m−n)=3m+n−(m−n)=4．
解得m=−1n=2．
故该二次函数解析式是：y=−x2+2x+3．
当y=0时，−x2+2x+3=0．
解得x1=−1，x2=3．
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标是(−1,0)，(3,0)．
【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
(1)首先求出△=b2−4ac的值，进而得出答案；
(2)利用待定系数法确定二次函数解析式，然后由一元二次方程与二次函数解析式的转化关系求得抛物线与x轴的交点坐标．
23.【答案】解：(1)设二次函数解析式为y=a(x−2)2+k，
把A(1,0)，C(0,6)代入得：a+k=04a+k=6，
解得：a=2k=−2，
则二次函数解析式为y=2(x−2)2−2=2x2−8x+6；
(2)∵y=2(x−2)2−2，
∴顶点D的坐标为(2,−2)，
由A(1,0)，对称轴为直线x=2可知另一个与x轴的交点B(3,0)，
∴AB=2，
∴S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC=12×2×2+12×2×6=8．
【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
(1)根据二次函数的对称轴为直线x=2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；
(2)找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC求得即可．
24.【答案】解：(1)y=−2x2+4x+6=−2(x−1)2+8，
∴顶点坐标为(1,8)，
令y=0，则−2x2+4x+6=0，
整理得：2x2−4x−6=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)；
(2)y=−2x2+4x+6=−2(x−1)2+8，
∵−2<0，抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而增大，
当x>1时，y随x的增大而减小，
∵函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，
∴当−10．
【解析】(1)把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标和对称轴即可，然后令y=0解方程求出x的值，即可得到与x轴的坐标即可；
(2)根据函数的对称轴，开口方向，与x轴的交点得出结论．
本题考查了二次函数图象以及二次函数的性质，主要考查了顶点坐标的求解和与x轴的交点的求解方法，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
25.【答案】解：(1)抛物线与x轴有两个交点，理由如下：
∵△=(−2p)2−4×1×(p2−1)=4>0，
∴抛物线y=x2−2px+p2−1与x轴有两个交点；
(2)设该抛物线沿y轴向上平移b个单位长度，
由于y=x2−2px+p2−1=(x−p)2−1，
所以该抛物线沿y轴向上平移b个单位长度后的解析式为：y=(x−p)2−1+b=x2−2px+p2−1+b．
所以△=(−2p)2−4×1×(p2−1+b)=0．
解得b=1．
即把该抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【解析】(1)根据根的判别式符号进行判断；
(2)由“左加右减，上加下减”的规律写出变换后的函数解析式，并利用△=0求得平移的长度单位．
考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换．
绝密★启用前
5.6二次函数的图象与一元二元方程同步练习
青岛版初中数学九年级下册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3−t=0(t为实数)在−1
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴是直线x=−2.关于下列结论：①ab<0；②b2−4ac>0；③9a−3b+c>0；④b−4a=0；⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=−4，其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
4. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，与y轴交于(0,2)，抛物线的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①a+c=b；②方程ax2+bx+c=0的解为−1和3；③2a+b=0；④c−a>2，其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8.设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1>4，则a的取值范围是( )
A. −3
A. 抛物线开口向下 B. 抛物线与x轴有两个交点
C. 抛物线是对称轴x=34 D. 抛物线经过(2,3)
7. 关于x的函数y=ax2+(2a+1)x+a−1与坐标轴有两个交点，则a的取值有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如表给出了二次函数y=x2+2x−10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x−10=0的一个近似解为( )
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
−1.39
−0.76
−0.11
0.56
1.25
…
A. 2.2 B. 2.3 C. 2.4 D. 2.5
9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B(4,0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE//AB，并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论：①a>0；②b>0；③4a+2b+c<0；④AD+CE=4.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
10. 如图，抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(1,3)，且与x轴有一个交点为B(4,0)，直线y2=mx+n与抛物线交于A、B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是(−1,0)；⑤当1
11. 抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 已知二次函数y=−23x2−43x+2的图象与x轴分别交于A，B两点(如图所示)，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的纵坐标与横坐标之和为( )
A. 0 B. 13 C. 23 D. 43
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0)、B(n,0)，与y轴交于点C(0,c)，则称△ABC为“抛物三角线”.特别地，当mnc<0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc>0时，称△ABC为“倒抛物三角形”.那么，当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件______．
14. 若函数y=(a+1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______．
15. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(−3,0)，对称轴为x=−1.给出四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④5a
16. 如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1,0). 在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM−MC|的值最大，求出点M的坐标______．
17. 如图抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点为(−5,0)，则不等式ax2+bx+c>0的解集为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
18. 已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m−1)x+m+1的图象与x轴总有交点，求m的取值范围．
19. 已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如下表：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y1
…
0
1
2
3
4
…
y2
…
0
−1
0
3
8
…
(1)求y2的表达式；
(2)关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是______．
20. 小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而______，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而______，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而______．
(2)当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
12
1
32
2
52
3
…
y
0
116
16
716
1
9548
72
…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，则m的最大值是______．
21. 如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(−1,0)、B(0,3)两点，其顶点为D．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为E.求△ODE的面积．
22. 设二次函数y=mx2+nx−(m−n)(m、n是常数，m≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由；
(2)若该二次函数图象经过点A(2,3)，B(1,4)，求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,6)，对称轴为直线x=2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．
24. 已知二次函数y=−2x2+4x+6．
(1)求出该函数的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标，
(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？当x在什么范围内时，y>0？
25. 已知：抛物线y=x2−2px+p2−1
(1)判断抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；
(2)把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为y=x2−2x+3，将一元二次方程x2+bx+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的有交点，再由−1
解：∵y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，
∴b=−2，
∴y=x2−2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3−t=0的实数根可以看做y=x2−2x+3与函数y=t的有交点，
∵方程在−1
当x=4时，y=11；
函数y=x2−2x+3在x=1时有最小值2；
∴2≤t<11．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于中档题．
利用抛物线开口方向得a<0，利用对称轴在y轴的右侧得b>0，则可对①进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征得c=1，a−b+c=0，则b=a+c=a+1，所以0
【解答】
解：∵由抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b>0，
∴ab<0，所以①正确；
∵点(0,1)和(−1,0)都在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=1，a−b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
而a<0，
∴0
而a<0，
∴2a+2<2，即a+b+c<2，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，而抛物线的对称轴在y轴右侧，在直线x=1的左侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(1,0)和(2,0)之间，
∴x=1时，y>0，即a+b+c>0，
∴0
∴y>0或y=0或y<0，所以⑤错误．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵−b2a=−2，
∴b=4a，ab>0，
∴b−4a=0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于−4，0处两点，
∴b2−4ac>0，方程ax2+bx=0的两个根为x1=0，x2=−4，
∴②⑤正确，
∵当x=−3时y>0，即9a−3b+c>0，
∴③正确，
故正确的有②③④⑤．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a+c=b，故本选项正确；
②由对称轴为x=1，一个交点为(−1,0)，
∴另一个交点为(3,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的解为−1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，则2a+b=0，故本选项正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于(0,2)，
∴c=2，
∵a<0，
∴c−a>2，故本选项正确；
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b与偶的关系，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
5.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8，
∴a<0，该函数解析式可以写成y=a(x−2)2+8，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，
∴当x=4时，y>0，
即a(4−2)2+8>0，解得，a>−2，
∴a的取值范围时−2
根据二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，该函数取最大值8，可以写出该函数的顶点式，得到a<0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，可知，当x=4时，y>0，即可得到a的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】B
【解析】解：A、a=2，则抛物线y=2x2−3的开口向上，故本选项不符合题意；
B、当y=0时，2x2−3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，故本选项符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，故本选项不符合题意；
D、当x=2时，y=2×4−3=5，则抛物线不经过点(2,3)，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对D进行判断；利用方程2x2−3=0解的情况对B进行判断．
本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵关于x的函数y=ax2+(2a+1)x+a−1的图象与坐标轴有两个交点，
∴可分如下三种情况：
①当函数为一次函数时，有a=0，
∴a=0，此时y=x−1，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时(a≠0)，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，
∵函数与x轴有一个交点，
∴△=0，
∴(2a+1)2−4a(a−1)=0，
解得a=−18；
③函数为二次函数时(a≠0)，与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，
∴a−1=0，
∴a=1．
当a=1，此时y=x2+3x，与坐标轴有两个交点．
综上所述，a的取值为0，−18，1，
故选：C．
由题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；③函数为二次函数，与y轴的交点也在x轴上，即图象经过原点．针对每一种情况，分别求出a的值．
此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
8.【答案】B
【解析】解：如图：
x=2.3，y=−0.11，x=2.4，y=0.56，x2+2x−10=0的一个近似根是2.32．
故选：B．
根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解．
9.【答案】D
【解析】解：①观察图象开口向下，a<0，
所以①错误；
②对称轴在y轴右侧，b>0，
所以②正确；
③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为(4,0)，
对称轴在y轴右侧，
所以当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，
所以>③错误；
④∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，
∴AD=BD，
∵CE//AB，
∴四边形ODEC为矩形，
∴CE=OD，
∴AD+CE=BD+OD=OB=4，
所以④正确．
综上：②④正确．
故选：D．
①根据抛物线开口方向即可判断；
②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；
③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；
④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE//AB，即可得结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点进行计算．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标A(1,3)
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A(1,3)，
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0)
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−2,0)，所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3)，B点(4,0)
∴当1
根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0，由对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程−x2+4x−4=0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：当x=0时，y=−x2+4x−4=−4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,−4)，
当y=0时，−x2+4x−4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选：C．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及轴对称最短路径问题，确定P的位置是本题的关键．首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得AC的解析式，AC与二次函数的对称轴的交点就是P，求得P的坐标即可求得结果．
【解答】
解：连接AC，交抛物线的对称轴于P点，
∵A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴此时PB+PC取得最小值．
在y=−23x2−43x+2中，令y=0，则−23x2−43x+2=0，
解得：x=−3或1．
则A的坐标是(−3,0)，B的坐标是(1,0)，
则对称轴是x=−1．
令x=0，解得y=2，则C的坐标是(0,2)．
设经过A和C的直线的解析式是y=kx+b．
根据题意得：−3k+b=0 b=2,
解得：k=2 3b=2,
则AC的解析式是y=23x+2，
令x=−1，则y=43．
x+y=−1+43=13．
故选：B．
13.【答案】a>0，c<0
【解析】解：∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴，
∴A(m,0)、B(n,0)关于y轴对称，
∴mn<0，
又∵mnc>0，
∴c<0，即抛物线与y轴的负半轴相交，
又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0)、B(n,0)，
∴函数开口向上，
∴a>0．
故答案是：a>0，c<0．
根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号．
本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键．
14.【答案】−1或−2或1
【解析】解：当a+1=0，即a=−1时，函数解析式为y=−4x−2，与x轴只有一个交点；
当a+1≠0，即a≠−1时，根据题意知，(−4)2−4×(a+1)×2a=0，
整理，得：a2+a−2=0，
解得：a=1或a=−2；
综上，a的值为−1或−2或1．
故答案为：−1或−2或1．
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2−4ac=0，据此求解可得．
本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
15.【答案】①③④
【解析】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=−b2a=−1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∵对称轴为x=−b2a=−1，
∴2a=b，
∴2a+b=4a，a≠0，故②错误；
③根据A(−3,0)，对称轴为x=−1，
可知当x=1时，y=0，即a+b+c=0，故③正确；
④把x=1，x=−3代入解析式得a+b+c=0，9a−3b+c=0，
两边相加整理得5a−b=−c<0，即5a
①由图象与x轴有交点，对称轴为x=−b2a=−1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2−4ac>0，可对①进行判断；
②由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0，由对称轴为x=−b2a=−1，可以②进行分析判断；
③根据A(−3,0)，对称轴为x=−1，可知当x=1时，y=0，可对③进行分析判断；
④把x=1，x=−3代入解析式得a+b+c=0，9a−3b+c=0，两边相加整理得5a−b=−c<0，即5a
16.【答案】(32,−12)
【解析】
【分析】
本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等.根据直线的解析式求得点A(0,1)，那么把A，B坐标代入y=12x2+bx+c即可求得函数解析式，据此知抛物线的对称轴，点C关于对称轴的对称点为点B.易得当|AM−MC|的值最大时，连接AB交对称轴的一点就是M.令过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．
【解答】
解：∵直线y=12x+1与y轴交于点A，
∴点A坐标为(0,1)，
将A(0,1)、B(1,0)坐标代入y=12x2+bx+c，
得c=112+b+c=0,
解得：b=−32c=1．
∴抛物线的解折式为y=12x2−32x+1=12(x−32)2−18；
则抛物线的对称轴为x=32，B、C关于x=32对称，
∴MC=MB，
要使|AM−MC|最大，即是使|AM−MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM−MB|的值最大．
易知直线AB的解析式为y=−x+1，
∴y=−x+1x=32，
解得：x=32y=−12．
则M(32,−12)，
故答案为(32,−12).
17.【答案】−5
【解析】解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=−1，与x轴的一个交点坐标为(−5,0)，
根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=−1对称，即
抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与(−5,0)关于直线x=−1对称，
∴另一个交点的坐标为(3,0)，
∵不等式ax2+bx+c>0，即y=ax2+bx+c>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c>0的解集是−5
此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y>0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
18.【答案】解：关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m−1)x+m+1的图象与x轴总有交点，
所以4(m−1)2−4(m+6)(m+1)≥0，
解得m≤−59，
又因为该函数是关于x的二次函数，
所以m+6≠0，所以m≠−6，
所以m的取值范围是：m≤−59且m≠−6．
【解析】因为题中条件要求该函数为关于x的二次函数，所以只用根据二次函数与x轴交点的个数的判定，即b2−4ac与0的等量关系即可．
本题主要考查对于二次函数与x轴交点的个数的判定，即b2−4ac与0的等量关系来求出m的取值范围，同时要注意题中条件是关于x的二次函数．
19.【答案】x<−2或x>1
【解析】解：(1)根据题意设y2的表达式为：
y2=a(x+1)2−1，
把(0,0)代入得a=1，
∴y2=x2+2x；
(2)当x=−2时，y1=y2=0；当x=1时，y1=y2=3；
∴直线与抛物线的交点为(−2,0)和(1,3)，
而x<−2或x>1时，y2>y1，
∴不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是x<−2或x>1．
故答案为：x<−2或x>1．
(1)根据题意设出y2的表达式，再把(0,0)代入，求出a的值，即可得出y2的表达式；
(2)利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−2,0)和(1,3)，x<−2或x>1时，y2>y1，从而得出不等式ax2+bx+c>kx+m的解集．
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
20.【答案】(1)减小 减小 减小
(2)函数图象如图所示：
(3)73
【解析】解：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而减小，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而减小，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．
(2)函数图象如图所示：
(3)∵直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，
观察图象可知，x=−2时，m的值最大，最大值m=16×2×(4+2+1)=73，
故答案为73
(1)利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
(2)利用描点法画出函数图象即可．
(3)观察图象可知，x=−2时，m的值最大．
本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)由题意得：c=3−1−b+c=0，
解得c=3，b=2，
故抛物线的线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)令y=0，得−x2+2x+3=0，
解得x=−1或3，
∴E(3,0)，
∵y=−x2+2x+3=−x−12+4
∴顶点D坐标为(1,4)，
S△DOE=12×4×EO
=12×3×4
=6．
【解析】(1)由于抛物线的解析式中只有两个未知数，因此可根据A，B两点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
(2)令y=0，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再求出抛物线的顶点坐标，顶点纵坐标即为三角形ODE边OE上的高，根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线和x轴的交点问题，以及二次函数的性质，是基础知识要熟练掌握．
22.【答案】解：(1)该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个，理由如下：
∵△=b2−4ac=n2+4m(m−n)=n2+4m2−4mn=(n−2m)2≥0，
∴该二次函数图象与x轴交点的个数是1个或2个．
(2)把点A(2,3)，B(1,4)代入，y=mx2+nx−(m−n)中，
得4m+2n−(m−n)=3m+n−(m−n)=4．
解得m=−1n=2．
故该二次函数解析式是：y=−x2+2x+3．
当y=0时，−x2+2x+3=0．
解得x1=−1，x2=3．
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标是(−1,0)，(3,0)．
【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
(1)首先求出△=b2−4ac的值，进而得出答案；
(2)利用待定系数法确定二次函数解析式，然后由一元二次方程与二次函数解析式的转化关系求得抛物线与x轴的交点坐标．
23.【答案】解：(1)设二次函数解析式为y=a(x−2)2+k，
把A(1,0)，C(0,6)代入得：a+k=04a+k=6，
解得：a=2k=−2，
则二次函数解析式为y=2(x−2)2−2=2x2−8x+6；
(2)∵y=2(x−2)2−2，
∴顶点D的坐标为(2,−2)，
由A(1,0)，对称轴为直线x=2可知另一个与x轴的交点B(3,0)，
∴AB=2，
∴S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC=12×2×2+12×2×6=8．
【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
(1)根据二次函数的对称轴为直线x=2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；
(2)找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC求得即可．
24.【答案】解：(1)y=−2x2+4x+6=−2(x−1)2+8，
∴顶点坐标为(1,8)，
令y=0，则−2x2+4x+6=0，
整理得：2x2−4x−6=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)；
(2)y=−2x2+4x+6=−2(x−1)2+8，
∵−2<0，抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而增大，
当x>1时，y随x的增大而减小，
∵函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，
∴当−1
【解析】(1)把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标和对称轴即可，然后令y=0解方程求出x的值，即可得到与x轴的坐标即可；
(2)根据函数的对称轴，开口方向，与x轴的交点得出结论．
本题考查了二次函数图象以及二次函数的性质，主要考查了顶点坐标的求解和与x轴的交点的求解方法，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
25.【答案】解：(1)抛物线与x轴有两个交点，理由如下：
∵△=(−2p)2−4×1×(p2−1)=4>0，
∴抛物线y=x2−2px+p2−1与x轴有两个交点；
(2)设该抛物线沿y轴向上平移b个单位长度，
由于y=x2−2px+p2−1=(x−p)2−1，
所以该抛物线沿y轴向上平移b个单位长度后的解析式为：y=(x−p)2−1+b=x2−2px+p2−1+b．
所以△=(−2p)2−4×1×(p2−1+b)=0．
解得b=1．
即把该抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【解析】(1)根据根的判别式符号进行判断；
(2)由“左加右减，上加下减”的规律写出变换后的函数解析式，并利用△=0求得平移的长度单位．
考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换．
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