初中数学第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案设计

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系  教案

年级：九年级　    学科：数 学　  课型：新授课     编写：

课堂笔记

【励志语录】别驻足，梦想要不停追逐；别认输，熬过黑夜才有日出；要记住，成功就在下一步；路很苦，汗水是最美的书；尽情欢舞，相约颠峰！

【学习目标】（学法指导：仔细阅读，做到有的放矢。）

1、掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养解决问题能力，渗透整体的数学思想。

【重点】理解并掌握根的判别式及根与系数关系.。

一、情景导入：（包含激趣、复习等）

1、用公式法解方程：

解：

      =9、b=10、c=-4

      △=﹥0

      方程有两个不想等的实数根

2、一元二次方程（a≠0）的求根公式是：                  

          ﹤0）

二、教材预习（学法指导：课前独学教材预习内容，总结本节课的重点、难点、注意点。课堂再以小组为单位交流，找出还存在的问题，并在小黑板上扼要展示本节重点内容和存在的问题。注意双色笔的使用，书写工整。）

1、预习内容：自学课本P15--16。

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

由上述表格得：   

2、预习检测：（我坚信通过接下来的合作学习，一定能解决这些问题）

一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知x1=，x2=，　能得出以下结果：

x1＋x2=，即：两根之和等于 一次项系数与二次项系数的比的相反数     

x1•x2=，即：两根之积等于 常数项与二次项系数的比 

特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则：

x1＋x2==  -p                   x1•x2=  q 

如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为

x2＋x＋＝0(a≠0)，

则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

x2- （x1＋x2）    x＋  x1x2   ＝0(a≠0)

三、合作探究（学法指导：小组交流，形成共识，进行课堂大展示。展示时要讲清所用知识点、易错点。展示到小黑板的题要标清所用知识点、易错点；注意双色笔的使用，字体工整。）

  探究点一 ：利用一元二次方程的跟与系数的关系，求特殊代数式的值。

已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值

（1）    （2）    （3）

解：由已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根，得α+β=3，αβ=-5；

（1）

（2）

（3）

探究点二  ：一元二次方程根与系数的关系的应用

1、若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为  2    。

2、若实数a、b满足a2-7a+2=0和b2-7b+2=0,则式子的值是。

中考链接：

在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=  -2  ，q=  -3  .

四．小结提升（学法指导： 1、对照学习目标找差补缺。2、画出知识树。

     通过本节课的学习，你有什么收获？你还有什么困惑？）

五．达标测试

1. 基础达标

根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：

（1）x2-3x-1=0             （2）2x2+3x-5=0            （3）

解：（1）（    ）

（2）（    ）

（3）（    ）

B.能力测试

1、已知方程2x2+kx-9=0的一个根是 -3 ，求另一根及k的值。

解：由题意得：方程的一个根；

代入方程得：k=3；

所以原方程为

       即

C、拓展与提高

已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0。

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根。

解：（1）由方程得△=  恒大于0；

        所以无论m取何值，方程总有两个不想等的实数根。

   （2）由题意得：

        即

        又知   

        所以

        得

        则当时，方程为  

      当时，方程为