初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程同步练习题，共15页。

2021年新初三数学人教新版新课预习《21.2解一元二次方程》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
2．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
3．（2021春•鼓楼区校级月考）方程x（x﹣5）＝0的根是（　　）
A．5 B．﹣5，5 C．0，﹣5 D．0，5
4．（2020秋•云南期末）将代数式3x2+6x+2配方成a（x+k）2+h形式为（　　）
A． B．3（x+1）2+1 C．3（x+1）2﹣1 D．
5．（2021•邵阳县模拟）已知关于x的方程x2+nx+1+2n＝0的一个解为﹣1，则它的另一个解是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•渝中区校级期中）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　 　．
7．（2021春•江阴市期中）已知m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m+n＝　 　．
8．（2021•无锡模拟）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝　 　．
9．（2021春•东城区期中）方程x2﹣2x﹣5＝0配方后可化为　 　．
10．（2021•南关区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值　 　．（写出一个即可）
三．解答题（共5小题）
11．（2021•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
12．（2021春•东台市月考）（1）计算：．
（2）．
（3）解方程：．
（4）解方程：x（x﹣6）＝6．
13．（2021•鼓楼区二模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　 　，方程的另一个根为　 　；
（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．
14．（2021•天河区二模）解方程：（x﹣1）2﹣16＝0．
15．（2021春•渝中区校级期中）解方程：
（1）；
（2）3（x﹣2）2﹣27＝0；
（3）2x2﹣4x﹣12＝0．

2021年新初三数学人教新版新课预习《21.2解一元二次方程》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】常规题型；数感．
【分析】先根据方程的根的判别式，再根据a的范围进行判断判别式的情况即可得出方程根的情况．
【解答】解：方程根的判别式△＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
∵a＞2，
∴（a﹣2）2＞0，即△＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的情况是解题关键．
2．（2021•怀化）对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】判别式法；运算能力．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
3．（2021春•鼓楼区校级月考）方程x（x﹣5）＝0的根是（　　）
A．5 B．﹣5，5 C．0，﹣5 D．0，5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，
∴x＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝0，x2＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
4．（2020秋•云南期末）将代数式3x2+6x+2配方成a（x+k）2+h形式为（　　）
A． B．3（x+1）2+1 C．3（x+1）2﹣1 D．
【考点】配方法的应用．菁优网版权所有
【专题】配方法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】前两项先提出系数3，然后进行配方即可．
【解答】解：3x2+6x+2
＝3（x2+2x+1﹣1）+2
＝3（x+1）2﹣3+2
＝3（x+1）2﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，前两项先提出系数3，然后进行配方是解题的关键．
5．（2021•邵阳县模拟）已知关于x的方程x2+nx+1+2n＝0的一个解为﹣1，则它的另一个解是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出n值，再结合两根之和等于，即可求出方程的另一个解．
【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得：（﹣1）2+（﹣1）n+1+2n＝0，
∴n＝﹣2，
∴原方程的另一个解为﹣n﹣（﹣1）＝2+1＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•渝中区校级期中）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】解一元二次方程求得直角三角形的两直角边长，利用勾股定理求得即可．
【解答】解：∴x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝3，x2＝2，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
∵斜边长＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确运用因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．（2021春•江阴市期中）已知m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m+n＝　﹣1　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】由根与系数的关系：m+n＝﹣即可．
【解答】解：∵已知m、n是关于x的方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，直接代入公式即可．
8．（2021•无锡模拟）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝　﹣2　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和等于﹣，即可求出m+n的值．
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
9．（2021春•东城区期中）方程x2﹣2x﹣5＝0配方后可化为　（x﹣1）2＝6　．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x+1＝6，
∴（x﹣1）2＝6，
故答案为：（x﹣1）2＝6．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
10．（2021•南关区校级二模）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值　0　．（写出一个即可）
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜，
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
三．解答题（共5小题）
11．（2021•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出k的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
【解答】解：（1）△＝4﹣4（k﹣2）＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
（2）由（1）可知：k＝2，
∴此时方程为：x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
∴x＝0或x＝﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
12．（2021春•东台市月考）（1）计算：．
（2）．
（3）解方程：．
（4）解方程：x（x﹣6）＝6．
【考点】二次根式的混合运算；解一元二次方程﹣配方法；解分式方程．菁优网版权所有
【专题】二次根式；一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
（3）根据分式的运算法则即可求出答案．
（4）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4÷2﹣4×÷2+3÷2
＝2﹣1+3
＝．
（2）原式＝
＝
＝．
（3）+＝1，
，
4﹣x＝x﹣4，
x＝4，
检验：x＝4代入x﹣4＝0，
∴原分式方程无解．
（4）x2﹣6x＝6，
x2﹣6x+9＝15，
（x﹣3）2＝15，
x﹣3＝±，
．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则、分式的运算法则、分式的方程的解法、一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
13．（2021•鼓楼区二模）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　1　，方程的另一个根为　x＝0　；
（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．
【考点】一元一次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力．
【分析】（1）两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中求m即可；
（2）两个方程里面含有两个未知数，解决方法是消元；
（3）利用题干和（3）中的两个方程消去里面的x，得到m和n的关系式，从而构造出新的函数关系，求最小值．
【解答】解：（1）解2（x﹣1）﹣4＝0得：x＝3，
将x＝3代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：m＝1，
将m＝1代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：x＝3或x＝0，
∴另一个解为x＝0，
故答案为1；x＝0．

（2）由2（x﹣m）﹣4＝0得：x＝2+m，
将x＝2+m代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+m﹣1）（2+m﹣2）＝m+1，
解得：m＝1或m＝﹣1，
答：m的值为1或﹣1．

（3）由2（x﹣n）﹣4＝0得：x＝2+n，
将x＝2+n代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+n﹣1）（2+n﹣2）＝m+1，
整理得：m＝n2+n﹣1，
∴m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2≥﹣2，
当n＝﹣1时，m+n有最小值﹣2，
答：m+n的最小值为﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程含参及二次函数最值问题，可将m或n视为新的未知数，利用消元思想，将问题转化为学过的一元问题，属于基础题．
14．（2021•天河区二模）解方程：（x﹣1）2﹣16＝0．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）2﹣16＝0，
∴（x﹣1）2＝16，
∴x﹣1＝±4，
∴x1＝5，x2＝﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
15．（2021春•渝中区校级期中）解方程：
（1）；
（2）3（x﹣2）2﹣27＝0；
（3）2x2﹣4x﹣12＝0．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）两边同时乘（x+2）（x﹣2）化为整式方程可得x的值，注意要检验；
（2）先移项用直接开平方法即可；
（3）先化简，再采用配方法即可．
【解答】解：（1）两边同时乘（x+2）（x﹣2）得：
x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x＝2是原方程的增根，原方程无解；
（2）3（x﹣2）2＝27，
（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
∴x1＝5，x2＝﹣1．
（3）化简得：x2﹣2x＝6，
x2﹣2x+1＝6+1，
（x﹣1）2＝7，
x﹣1＝±，
x1＝+1，x2＝﹣+1．
【点评】本题考查一元二次方程和分式方程的解法，熟练的掌握方程的解法是解题关键．

考点卡片
1．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
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日期：2021/7/2 9:35:32；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867