人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试教案及反思

在整式的运算中，幂的运算是基础，有着至关重要的作用,下面我们通过具体的例题来看一下.

【例1】判断下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？

（1）a2·a3=a6；    （2）(b4)3=b7；

（3）a10÷a2=a5；   （4）(-2ab2)3=-8a3b6.

【分析】

（1）明确运算法则；（2）法则具体内容.

【答案】解：（1）a2·a3=a6，×，改正：a2·a3=a5；

（2）(b4)3=b7，×，改正：(b4)3=b12；

（3）a10÷a2=a5，×，改正：a10÷a2=a8；

（4）(-2ab2)3=-8a3b6，√，(-2ab2)3=(-2)3a3(b2)3=-8a3b6.

【小结】

1.幂的运算法则：

（1）am·an=am+n(m,n都是正整数)；

（2）(am)n=amn(m,n都是正整数)；

（3）am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)；

（4）(ab)n=anbn(n都是正整数).

2.使用法则时，要明确法则和具体内容.

【例2】已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.

【分析】

要想求102m+3n的值，可以先求m，n的值，10的多少次方等于5呢？10的多少次方等于3呢？就我们现在来说是求不出来的.观察题目中已知条件与所求值的代数式的特点，都是幂的形式，并且底数相同都是10，指数不同，用10m，10n如何表示102m+3n呢，102m+3n是指数相加的形式，我们不难想到同底数幂相乘，逆用就得到am+n=am·an，所以102m+3n=102m·103n，而102m与103n是指数相乘的形式，我们想到幂的乘方，逆用得到amn=(am)n=(an)m，102m=(10m)2，103n=(10n)3，这道题就可以解决了.

【答案】解：102m+3n=102m·103n=(10m)2·(10n)3.

将10m=5，10n=3代入，原式=52×33=675.

【巩固练习】

计算：

【分析】

运算中有乘、乘方，按照运算顺序，先算乘方，但是计算比较复杂，观察式子的特点，底数虽然不同，但是0.125与-8乘积等于-1，逆用anbn=(ab)n，但是指数需要相同，所以逆用am+n=am·an后就解决问题.

【答案】解：原式

【小结】

幂的运算算法则不仅可以正用，也可以逆用.

（1）am+n=am·an(m,n都是正整数)；

（2）amn=(am)n(m,n都是正整数)；

（3）am-n=am÷an(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)；

（4）anbn=(ab)n(n都是正整数).

在复习了幂的运算的基础上，我们来看一道例题.

【例3】若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，求x*(x+2y).

【分析】

这道题定义了一种新运算，两数*运算，它的法则是什么？=2ab-b2，也就是这两数乘积的2倍与后一个数的平方的差，转化为我们已经学过的整式的运算,关键是确定这两数.

【答案】解：（1）∵a*b=2ab-b2，

法一：

∴x*(x+2y)=2x(x+2y)-(x+2y)2 （单×多）（完全平方公式）

=2x2+4xy-(x2+4xy+4y2)

=2x2+4xy-x2-4xy-4y2

=x2-4y2；

此题是化简，结果应为一个整式，注意和因式分解结果的区别.同学们，这道题还有其他的方法化简吗？

法二：∴x*(x+2y)=2x(x+2y)-(x+2y)2

=(x+2y)[2x-(x+2y)]

=(x+2y)(2x-x-2y)

=(x+2y)(x-2y)（平方差公式）

=x2-4y2；

我们不仅可以利用整式乘法化简，也可以利用分解因式达到化简的目的.

【巩固练习】

先化简再求值：(ab+2)(ab-2)-(a2b2-4ab)÷ab，其中a=-3，b=.

分析：明确运算顺序，运算法则.按照要求对代数式先化简，运算有加、减、乘、除，按照运算顺序，先算乘除，后算加减.

解：原式=a2b2-4-(ab-4)（平方差公式）（多÷单）

=a2b2-4-ab+4

=a2b2-ab

将a=-3，b=代入，原式=(ab)2-ab=.

【小结】

1.明确运算顺序：

（1）有括号要先算括号里的；

（2）先乘方，再乘除，最后加减.

2.明确运算法则：

（1）整式的运算法则，单项式的乘除法是关键；

（2）新定义的运算法则，一般转化为学过的运算法则.

3.运算中正确使用乘法公式：

平方差公式：  (a+b)(a-b)=a2-b2；

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.

【例4】如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）.
(1)观察图2，请写出(a+b)2，(a-b)2，ab之间的数量关系；
(2)应用：根据(1)中的结论，若x+y=5，，求x-y的值.
 

【分析】

(1)结合图2，(a+b)2表示的是大正方形的面积，ab是一个小长方形的面积，而(a-b)2呢？观察图2发现，中间阴影部分的图形是正方形，边长是a-b，所以(a-b)2是中间阴影小正方形的面积.由图2发现，大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积；

(2)由(1)得到，a+b，a-b，ab的关系，整体代入，可以解决.

【答案】解：(1)(a+b)2=(a-b)2+4ab；

(2)由(1)得：(a+b)2=(a-b)2+4ab，

∵x+y=5，，

∴52=(x-y)2+4×.

∴(x-y)2=16.

对于(a+b)2=(a-b)2+4ab这个关系，我们不仅可以通过图形之间的面积关系得到，也可以通过完全平方公式变形得到.

【小结】

完全平方公式既可以直接使用，也可以变形使用，通过这些关系式，a+b，a-b，ab，a2+b2，知二求二.

【巩固练习】

已知长方形ABCD的周长为20，面积为28，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？

【分析】

我们一起画一下示意图，为了使条件更加直观，设长为x，宽为y，则2(x+y)=20，xy=28，要求的是x2+y2的值.直接求x，y的值，就现在的知识还不能解决，那么x2+y2，x+y，xy之间有什么关系呢？利用完全平方公式的变形，解决问题.

【答案】解：设这个长方形的长为x，宽为y，则

    ，

   .

∴x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×28=44.

∴分别以长方形的长和宽为边长的

正方形面积之和是44.