初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试教案设计

这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试教案设计，共20页。教案主要包含了解后反思，问题2变式等内容，欢迎下载使用。

课程基本信息
课题
三角形全章复习
教科书
书名：义务教育教科书 数学八年级上册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2013 年6 月
教学目标
教学目标：结合具体问题的解决，复习本章的主要内容，理解三角形的有关线段和角，三角形三边之间的关系，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，多边形内、外角和公式，建立这些知识之间的联系，整理本章知识，形成知识体系.
教学重点：本章基础知识的复习以及知识体系的建构
教学难点：把握本章知识之间的联系，加强知识和方法的系统化
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
10分钟
（一）
与三角形有关的线段
同学们，本章学习了“与三角形有关的线段”、“与三角形有关的角”、“多边形及其内角和”.
下面我们结合一些问题，复习本章的基础知识.
图1
问题1 如图1，在△中，
（1）若，，则的取值范围是 .
教师提问：在三角形的边这部分涉及的主要内容有什么？三边关系；
教师追问：由什么得出两边之和大于第三边？两点之间，线段最短；
教师提出，那两边之差小于第三边是前面结论的变形.
（2）如图2，若，则线段是△的 .
图3
图2
教师提出：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；直角三角形三条高线交于直角顶点；钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点.
（3）如图3，若，则线段是△的 .
教师提出：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.
教师追问：△和△的面积有什么关系？相等.
教师提出：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.三角形的三条中线交于三角形内部一点，这个交点叫做三角形的重心.
图4
（4）如图4，若，则线段是△的 .
教师提出：三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.
教师追问：这三条线段为我们以后寻找什么提供了方法？找直角、找线段相等还有角相等提供了方法.
下面我们来看一个与三角形的边有关的例题.
【例1】已知等腰三角形的两边长分别为5和3，则三角形的周长是____.
分析：首先分析条件：等腰三角形，两条边长分别为5和3.因为等腰三角形有两条边是相等的，所以5和3必定一个是腰长，一个是底边长，因此需要进行分类讨论.
解：若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，此时周长为；
若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，满足三边关系，能构成三角形，此时周长为；
所以三角形的周长为11或13.
【解后反思】
（1）在求等腰三角形边长时，要注意使用分类讨论思想分析和解决问题，同时三边关系是判断三角形是否存在的关键，也不能忽略.
（2）对于等腰三角形，由于有两条边相等，在验证是否满足三边关系时，只需要验证两腰之和是否大于底边即可.对于此题，如果两边长分别为5和2，则当腰长为2，底边长为5时就不能构成三角形，因为，不满足三边关系.
设计意图：加强对于三角形的边的认识，尤其是在等腰三角形中，对于给出的边长，要讨论是腰长还是底边长，体会分类讨论的思想方法.
10分钟
（二）
与三角形有关的角
图5
问题2 如图5，在△中，，，，，相交于点，若，，则= ，= ，= ， = .
教师提出:在学完与三角形有关的线段后，我们又学习了三角形内角和定理，即三角形的内角和为.我们用几种方法研究的三角形内角和定理?测量、裁剪、翻折、理论证明的方法.
教师提问：直角三角形的两个锐角是什么关系？互余.
教师提出：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.
教师提问：关于三角形的外角，你还记得什么？三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
下面我们通过一个变式来进一步回顾三角形中的如何求角的大小.
图6
【问题2变式】由问题2的结论可得，， ，，如图6所示，那么，
（1）= .
（2）根据（1）的计算结果，你发现，，，之间有什么关系吗？你能说明为什么吗？
（3）根据（1）的计算结果，你发现与有什么关系吗？你能说明为什么吗？
分析：对于求角的度数的问题，一般把角放在三角形中考虑，利用三角形的内角和定理、外角性质或者借助对顶角解决.
对于（1）的分析：已知条件：，， ，.结合图形，可以与已知的通过外角建立联系，也可以转化为它的对顶角，借助四边形的内角和求解，也可以在△中，借助三角形的内角和解决.但结合此题的条件，后两种方法相对繁琐.
解：（1）是△的外角，，
即.
（2）.通过（1）的思考过程可以发现，不管，，，的大小如何，结合图形，利用外角的性质，始终有，，即.
（3）结合图形不难发现，是还是△的外角，所以，从而.（也可以从三角形内角和的角度来理解）
【解后反思】三角形中求角的度数问题，要把角放在三角形中考虑，利用三角形的内角和定理或外角性质解决.
设计意图：研究三角形中的角度问题，引导学生从特殊到一般，发现一些特殊图形中的结论.
问题3 如图7，
图7
（1）三角形的内角和为 ，外角和为 ；
（2）四边形的内角和为 ，外角和为 ，对角线的条数为 ；
（3）五边形的内角和为 ，外角和为 ；对角线的条数为 。
教师提出：三角形内角和的学习为三角形的外角和与多边形的内角和做好了铺垫.你还记得多边形的内角和是怎么研究的吗？利用多边形由一顶点引对角线，进而对角线分多边形为若干个三角形,利用三角形内角和研究多边形内角和.
教师提出：从边形的一个顶点出发可以得到条对角线，可以得到个三角形，所以边形的内角和为.
教师提问：三角形的外角和是用几种方法得出的?两种，教师引领回忆，再次提问：那多边形外角和研究方法是什么？类比三角形外角和研究的.教师提出，多边形的外角和为，与边数无关.
下面我们来看一个求多边形边数的问题.
【例2】一个多边形的内角和等于它的外角和的3 倍，它是几边形？
分析：由于多边形的内角和多边形的边数有关系，所以可结合题目条件，通过设未知数列方程的方法解决.
解：设多边形的边数为，则多边形的内角和为，外角和为，根据题意可得：
.
解得：.
答：这个多边形是八边形.
【解后反思】多边形问题有一些隐含的条件，比如多边形的内角和与边数有关，为，即为的整数倍，外角和为，与边数无关。每个内角和外角都在到之间，多边形的边数是大于或等于3的正整数。求多边形的边数，一般可通过设未知数列方程的方法解决.
设计意图：多边形中与角度有关的问题，可通过方程求解，将几何问题转化为代数问题，方便、便捷.
2分钟
（三）
建构体系
结合前面的梳理和例题，你能发现本章主要知识之间的联系吗？三
角
形
与三角形有关的线段
三角形的内角和
三角形的外角和
高
中线
角平分线
多边形的内角和
多边形的外角和
三角形的边
你能画出一个本章的知识结构图吗？
2分钟
（四）
课堂小结
本节课在回顾基础知识的过程中，建立了本章的知识框架图，进一步理解了知识之间的联系.在典型问题的解决过程中，提高了识图能力，体会了分类讨论思想和方程思想的应用.
2分钟
备用例题
图8
【例3】如图8，△中，平分，，，求的度数.
分析：由题意可知，，，而是△的外角，与（或）有关，即。又平分，所以也与（或）有关，即，进而，从而△三个内角都与建立了联系，借助三角形内角和列出方程即可求解。
解：设，则.
因为平分，所以，
又因为是△的外角，所以，即.
又因为，所以.
在△中，根据三角形内角和定理，得，即，
解得，所以.
解后反思：在三角形中角的求值问题中，还可以利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
设计意图：体会方程思想在三角形中求角问题中的应用.
课后作业
1.小明用一条长20 cm的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形的一边是另一边的2倍，那么这个三角形的各边分别是多少？
2.在△中，，为△的中线，且将△周长分为12 cm与15 cm两部分，求三角形各边长.
3.已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的，求这个多边形的边数.
课程基本信息
课题
三角形全章复习（第二课时）
教科书
书名：义务教育教科书 数学 八年级上册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2013 年6 月
教学目标
教学目标：
（1）通过复习本章的主要内容，进一步认识知识之间的联系，体会研究几何问题的思路和方法．
（2）结合典型问题的解决，体会由特殊到一般的思想方法应用，提升有条理地思考、解决问题的能力．
教学重点：由特殊到一般的思想方法应用.
教学难点：灵活应用基础知识和基本方法解决问题．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
4分钟
（一）
课前热身
上一节课中，我们复习了本章的基础知识，并且结合与三角形有关的边，线段，角的典型例题，体会了分类讨论和方程思想的应用，同学们的识图能力得到了提升.今天这节课我们继续复习三角形，看看今天这节课后，你又有什么新的收获？
图1
【例1】如图1，在△中，平分，平分，与相交于点． 若，，则 ．
分析：对题目的已知条件进行梳理：
条件①：；
条件②：平分；
条件③：；
条件④：平分，
还有一个隐含条件⑤：三角形的内角和为.
问题：求的大小.
思路：要求角的大小，可以把角放在三角形中，利用三角形的内角和为解决问题.
的大小
条件①②
条件③④
在△中
条件⑤
解：是的平分线，．
.
是的平分线，，
.
在△中，，
【解后反思】
（1）三角形中的求角的度数问题，往往把所求的角放在一个三角形中，借助三角形内角和定理求解.
（2）同时，本题也可以利用外角，结合三角形的内角和定理求解.
分析思路如下：
的大小
△（或△）的外角
条件①②
条件③④
在△中
条件①
条件⑤
解：是的平分线，．
.同理可得， .
△中，
，，，
.
是△的外角，
.
（3）事实上，利用三角形内角和定理或外角的性质，图1中的所有角都可以求出度数。同时，在求时，还可以转化为求其对顶角，而求，可以利用四边形的内角和为求解。
设计意图：复习三角形内角和与外角和，巩固上节课内容，同时为下一步变式练习做好铺垫.
（二）
典型例题
【变式1】将例1中的条件“若，”变成“若”，则 ．
分析：与例1相比，不变的是条件②、④以及问题，变化的是减少了条件①、③，变成了条件⑥：.那么变化的条件和原来的条件之间有什么关系吗？这恰好是我们思考的一个切入点.
对题目的已知条件进行梳理：
条件②：平分；
条件④：平分；
条件⑥：；
还有一个隐含条件⑤：三角形的内角和为.
条件⑥
条件⑤
△中
条件②
条件④
条件⑤
在△中
的大小
解：在△中，，，
.
是的平分线，.
是的平分线，.
.
在△中，，
.
【解后反思】在解决问题的过程中，如果不能求出需要的每一个量，可以考虑用整体思想考虑问题.
【变式2】将例1中的条件“若，”去掉，与有怎样的数量关系？
分析：与变式1相比，不变的依然是条件②、④，变化的是减少了条件⑥.我们发现，条件在不断减少，但研究的是同一个问题，是不是说明与之间存在某种数量关系呢？是不是依然可以通过刚才的方法进行研究呢？对题目的已知条件进行梳理：
条件②：平分；
条件④：平分；
条件⑤
△中
与的关系
条件②
条件④
与的关系
条件⑤
在△中
与的关系
还有一个隐含条件⑤：三角形的内角和为.
解：△中，，
，
是的平分线，.
是的平分线，.
.
在△中，，
.
【解后反思】从特殊到一般，得到一般结论.
设计意图：从具体角度出发，通过条件的不断变化，充分体会变化之中的不变性，也就是与的数量关系，在研究过程中体验从特殊到一般的思想方法；同时，利用上节课知识解决问题，温故知新的同时，体会知识之间的联系.
图2
【变式3】如图2，将例1中的“两条角平分线交于点”换成“两条高线相交于点”，将“若，”去掉，那么与又有怎样的数量关系？
分析：与变式2相比，条件②、④发生了变化，虽然由角平分线变成了高线，但研究的是同一个问题，是不是按照刚才的研究过程和方法来寻找这种数量关系呢？
（1）我们依然假设，，如何求的度数呢？
对题目的已知条件进行梳理：
条件①：；条件②：；条件③；条件④，还有一个隐含条件⑤：三角形的内角和为.
的大小
条件①④
条件②③
在△中
条件⑤
解：，，△为直角三角形，
与互余，
，.
同理可得，.
在△中，，
.
（2）我们依然假设，如何求的度数呢？
对题目的已知条件进行梳理：
条件②：；条件④：；条件⑥：，
条件⑥
条件⑤
△中
条件②
条件④
条件⑤
在△中
的大小
还有一个隐含条件⑤三角形的内角和为.
解：△中，，
，
，，△为直角三角形，
与互余，即.
同理可得，.
在△中，，
.
（3）回到本题所要研究的问题：与的数量关系.从（1）、（2）的解决中得到思路.
条件⑤
△中
与的关系
条件②
条件④
与的关系
条件⑤
在△中
与的关系
解：△中，，
，
，，△为直角三角形，
与互余，即.
同理可得，.
在△中，，
.
【解后反思】
（1）变式3的研究，可以从例1到变式2的研究过程中得到启发，虽然条件②、④发生了变化，从条件②、④中依然可以得到有关的信息，所以仍然可以按照同样的方法解决问题.
（2）变式3还有其他解决问题的方法.
与的关系
与的关系
条件②
△的外角
条件④
思路2：（利用外角）对于，还可以看成是三角形的外角，利用外角的性质来求解.
解：，，△为直角三角形，
与互余，即.
，.
是△的外角，
.
思路3：（利用对顶角）与互为对顶角，由对顶角相等，可以把问题转化为研究与的关系.显然，与是四边形的两个内角，而另外两个内角可以利用垂直得到度数，可以借助四边形的内角和来解决.
解：，，
，.
在四边形中，
，
，
=，
，即.
相比来说，本题用思路3求解是最简洁的.
（3）三角形中求角的大小问题，可以从三角形的内角和，三角形外角的性质以及对顶角的角度来考虑.
设计意图：在一题多变中，体会条件的增减变化对于问题的影响，感受变化之中的不变量；在一题多解中，进一步感受知识之间的联系，提高解题的灵活性.
2分钟
（三）
课堂小结
本节课主要是通过一题多变，体会转化和从特殊到一般的思想方法的应用.本章的转化问题主要是把求角问题转化到多边形中，利用多边形的内角和或外角性质解决；把不规则图形，通过添加辅助线，转化为规则图形，便于计算.如把不规则图形的内角求和通过作辅助线转化为三角形的外角进行计算等.
课后作业
1. 如图所示，在△中，于，平分，且，，求的度数. 答案：.
2. 探究一：已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．并说明理由．
探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．
探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系．
答案：探究一：；探究二：；
探究三：．