北师大版九年级上册第三章 概率的进一步认识2 用频率估计概率练习

3.2《用频率估计概率》习题2

一、解答题

1.已知，投掷一枚均匀的硬币，落地时正面或反面向上的可能性相同．有甲、乙两人做投硬币实验，他们分别投硬币100次，结果“正面向上”的次数为：甲60次、乙40次．

(1)求甲、乙做投硬币实验“正面向上”的频率各是多少？

(2)若甲、乙同时做第101次投硬币实验，求“正面都向上”的概率．

2.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：

(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．

(2)小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”，小颖和小红的说法正确吗？为什么？

(3)小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．

3.某批乒乓球的质量检验结果如下：

(1)求的值；

(2)在图中画出这批乒乓球优等品频率的折线统计图；

(3)根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？

4.某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购买元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品．如表所示是活动进行中的一组数据：

(1)计算并完成表格：

(2)请估计很大时，频率将会接近多少？

(3)假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？

(4)在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？(精确到)

5.疫情之后，各大商家为吸引顾客，纷纷采用多种促销手段．其中一个商场设立了一个购物满50元，可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在那个区域就可以得到相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：

(1)完成上表；

(2)请估计，当很大时，频率是多少？

(3)假如你去转动转盘一次，你获得“抽纸”的概率是多少？

6.一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从定高度下掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：

(1)表中数据a＝　   　；b＝　   　；

(2)画出“帅”字面朝上的频率分布折线图；

(3)如图实验数据，实验继续进行下去，根据上表的这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？

7.小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

(1)小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

(2)若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

8.王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据．

(1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是　   　；(精确到0.01)

(2)估算袋中白球的个数．

9.在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40只，这些球除颜色外其余完全相同，为了估计红球和黑球的个数，七(4)班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：

(1)求数据表中             ，            

(2)请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近              (精确到0．1)

(3)试估算盒子里红球的数量为             个．

10.在一个不透明的袋子中有1个红球，2个白球和若干个黑球．小明将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中并摇匀，在多次重复以上操作后，小明统计了摸到红球的频率，并绘制了如下折线统计图：

(1)袋子中一共有       个球；

(2)若从该袋中同时摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率．

11.为了能够帮助武汉疫情，某公司通过武汉市慈善总会二维码给武汉捐款，根据捐款情况制成不完整的扇形统计图(图1)、条形统计图(图2)．

          图1                               图2               

(1)根据以上信息可知参加捐款总人数为______，______，捐款金额中位数为______，请补全条形统计图；

(2)若从捐款的人中，随机选一人代表公司去其它公司做捐款宣传，求选中捐款不低于元的人的概率；

(3)若其它公司有几人参与了捐款活动，把新捐款数与原捐款数合并成一组新数据，发现众数发生改变，请求出至少有几人参与捐款．

12.随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯．由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关(该平台只给5千米范围内配送)，为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：

(1)从这80名点外卖的用户中任取一名用户，该用户的送餐距离不超过3千米的概率为    ；

(2)以这80名用户送餐距离为样本，同一组数据取该小组数据的中间值(例如第二小组(1＜x ≤2)的中间值是1.5)，试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；

(3)若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，不超过2千米时，每份3元；超过2千米但不超4千米时，每份5元；超过4千米时，每份9元． 以给这80名用户所需送餐费用的平均数为依据，若送餐员一天的目标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？

13.在一个不透明的盒中有m个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．

(1)若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.75左右，则m的值应是_______________；

(2)在(1)的条件下，用m个黑球和1个白球进行摸球游戏．先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球，求事件“先摸到黑球，再摸到白球”的概率(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)．

14.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元，

(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；

(2)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图、若记甲公司该推销员的日工资为y1，乙公司该推销员的日工资为y2(单位：元)，将该频率视为概率，请回答下面问题：

某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

15.如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD ，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似看成点)，记录如下：

(1)当投掷的次数很大时，m：n的值越来越接近_________；

(2)若以小石子所落的有效区域里的次数为总数(即m＋n )，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在_________附近；

(3)如果你掷一次小石子(小石子投进封闭图形ABCD内)，那么小石子落在圆内(含圆上)的概率约为_______；

(4)请你利用(2)中所得频率，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米(结果保留π)．

16.新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上购物”受追捧．某电商平台在地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上购物”消费总金额(单位：元)，整理得到如图所示频率统计表．

(1)求的值，并求从“线上购物”消费总金额不低于500元的被调研居民的概率；

(2)若地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不超过平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴．假设每组中的数据用该组区间的2中点值代替，试根据上述频率统计表，估计该平台在地区拟投放的电子补贴总金额．

17.在不透明箱里放有红、白、黄、蓝四种颜色球共16个，除颜色外都相同，其中白球5个，黄球4个．

(1)小军和小颖为争一个竞赛的名额，决定用摸球的方式来确定，从不透明箱里随机摸出1个球，是白球就小军去，是黄球，就小颖去．请问这个规则是否公平？并通过计算概率说明理由．

(2)现每次从箱中任意摸出一个球记下颜色，再放回箱中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到蓝球的频率稳定在25%，那么箱里大约有多少个红球？

答案

一、解答题

1.解：(1)甲的频率=，

乙的频率=．

(2)两人同时投硬币实验一次，结果向上的有正正，正反，反正，反反4种，其中正面都向上的1种，所以P(正面都向上)．

2.解：(1)“3点朝上”的频率：6÷60=0.1

“5点朝上”的频率：20÷60=．

(2)小颖的说法是错误的，因为“5点朝上”的频率最大并不能说明5点朝上的概率最大，频率不等于概率；

小红的说法是错误的，因为事件发生具有随机性，故“点朝上”的次数不一定是100次．

(3)列表如下：

共有36种情况，点数之和为3的倍数的情况有12种．

故P(点数之和为3的倍数)==．

3.解：(1)，，；

(2)如图所示：

(3)由图知，当抽取的数量逐渐增多时，优等品的频率越稳定在0.9左右，

因此在这批乒乓球中任取一个，它是优等品的概率大约为0.9．

4.解：(1)

故答案为：；；；；；；

(2)由实验可得：当很大时，频率将会接近；

(3)由很大时，获得铅笔的频率将会接近；所以实验获得“洗衣粉”的概率约是；

(4)铅笔区域的扇形的圆心角的度数约为．

5.解：(1)表格中的数据，从左到右依次为51÷100=0.51，99÷200=0.495，251÷500=0.502，502÷1000=0.502，750÷1500=0.5，1002÷2000=0.501.

(2)当转动转盘的次数很大时，指针停止时指向“抽纸”的频率为0.5；

(3)由(2)可知，获得“抽纸”的概率为0.5.

6.(1)a＝20×0.7＝14；b＝＝0.55；

故答案为：14，0.55；

(2)根据图表给出的数据画折线统计图如下：

(3)随着试验次数的增加“帅”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55左右，利用这个频率来估计概率，得P(“帅”字朝上)＝0.55．

7.解：(1)小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；

(2)画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，

∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝.

8.解：(1)251÷1000＝0.251；

∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，

∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；

(2)设袋中白球为x个，

＝0.25，解得x＝3．

答：估计袋中有3个白球，

故答案为：(1)0.25；(2)3个．

9.解：(1)a=100×0.33=33，b=298÷1000=0.298；
故答案为：33，0.298；
(2)当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，
故答案为：0.3；
(3)40×0.3=12(个)，
答：盒子里红球的数量为12个；
故答案为：12．

10.解：(1)设袋子中黑球的个数有个，则

将检验x=2是原方程的解

∴1+2+2=5

袋子里一共有个球，

故答案为：

(2)画树状图如下：

所有的等可能的结果有种，其中两次摸到白球的有种，

所有从该袋中同时摸出2个球，摸出的2个球都是白球的概率为：

11.解：(1)捐款总人数为；

捐款为100元人数为所占百分比为，

∴m=32；

本次捐款共50人参加，按捐款数从低到高排序，第25、26个数为150,150，

故中位数为，

补全条形统计图如下：

；

(2)；

(3)至少人参与捐款．

原数据众数为元，

若至少增加人，每人捐款元，

则新众数为元和元，

至少增加人．

12.(1)由表中数据，计算所求的概率为P=；

故答案为：；

 (2)估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为：

×(12×0.5+20×1.5+24×2.5+16×3.5+8×4.5)=2.35(千米)；

(3)送一份外卖的平均收入为：3×+5+9×=(元)，

由150÷≈32.6，

所以估计一天至少要送33份外卖．

13.解：(1)：根据题意得=0.75，解得：m=3

经检验：m=3是分式方程的解m=3

故答案为3； 

(2)画树状图如下：

从树状图可知，“先从盒子中随机取出一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球”共12种可能的结果，其中“先摸到黑球，再摸到白球”的结果有3种

∴P(先摸到黑球，再摸到白球)=．

14.解：(1)由题意得，甲公司一名推销员的日工资y(单位：元)与销售件数n的关系式为：

y＝80＋n；

乙公司一名推销员的日工资y(单位：元)与销售件数n的关系式为：y=

即y＝；

(2)由频数分布直方图和甲公司日工资的函数关系式得

y1=(80+42)×＋(80+44)×＋(80+46)×＋(80+48)×＋(80+50)×

=122×＋124×＋126×＋128×＋130×

＝125(元)

由频数分布直方和乙公司日工资的函数关系式得

y2=120×+120×＋(8×46-240)×＋(8×48-240)×＋(8×50-240)×

=120×+120×＋128×＋144×＋160×

＝136(元)，

∴仅从日均收入的角度考虑，选择去乙公司．

15.解：(1)∵

∴m：n的值越来越接近；

(2)观察表格得：随着投随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在；

(3)由(1)m：n的值越来越接近可得：m：n=1：2

∴

∴小石子落在圆内(含圆上)的概率约为；

(4)∵

∴

∴

∴封闭图形面积为．

16.解：(1)由，得，

从“线上购物”消费总金额不低于500元的概率为

(2)根据题意，消费总金额平均水平：

(元)，

估计不超过平均水平一半的概率为

所以估计投放电子补贴总金额为万元．

17.(1)∵有白球5个，黄球4个，总球数共16个，

∴摸到白球和黄球的概率分别为：P(白球)=，P(黄球)=， 

∵＞，

∴这个规则不公平；

(2)16×(1---25%)=16×=3(个)，

故箱里大约有3个红球．