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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.1 复数的概念精品课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.1 复数的概念精品课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，虚数单位，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.复数的概念(1)复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作_________,满足i2=____;复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a与b分别叫作复数z的_____与_____.(2)本质:虚数单位i与实数a,b运算得到的一类数,实数基础上的提升.(3)应用:解决实系数方程的求解问题.
【思考】如何理解虚数单位i?提示:(1)i2=-1.(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.(3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.
2.复数的分类(1)复数a+bi(a,b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.
3.复数相等的充要条件在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当____且____.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( )(2)复数z1=3i,z2=2i,则z1>z2.( )(3)复数z=bi是纯虚数.( )(4)实数集与复数集的交集是实数集.( )
提示:(1)×.当b=0时,z=a+bi为实数.(2)×.两个虚数不能比较大小,只能比较是否相等.(3)×.当b=0时,z=bi为实数.(4)√.实数集是复数集的子集,所以实数集与复数集的交集是实数集.
2.复数i-2的虚部是( ) A.iB.-2C.1D.2【解析】选C.i-2=-2+i,因此虚部是1.
3.(教材二次开发:例题改编)如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为( )A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】选A.因为(x+y)i=x-1,所以 所以x=1,y=-1.
类型一 复数的概念(数学抽象)【题组训练】1.(2020·哈尔滨高二检测)复数z=3-2i的虚部为( ) A.2 B.-2 C.-2i D.2i2.以3i- 的虚部为实部,以3i2+ i的实部为虚部的复数是( )A.3-3iB.3+iC.- + iD. + i
3.给出下列几个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;③2i的实部是0;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集的元素一一对应;⑤实数集的补集是虚数集.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3
【解析】1.选B.因为z=3-2i,所以其虚部为-2.2.选A.3i- 的虚部为3,3i2+ i的实部为-3,所以所求复数为3-3i.3.选C.令z=i∈C,则i2=-1<0,故①不正确.2i-1的虚部应是2,故②不正确.当a=0时,ai=0为实数,故④不正确,所以只有③,⑤正确.
【解题策略】利用复数的概念时的注意点(1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
【补偿训练】 (2020·潍坊高二检测)已知命题:“若x2+y2=0,则x=y=0”.当x,y∈R时,该命题成立.当x,y∈C时,该结论是否成立?【解析】当x,y∈C时,若x=1,y=i,x2+y2=0成立,所以此命题在复数范围内是假命题,该结论不成立.
类型二 复数的分类(数学抽象、逻辑推理)【典例】实数x分别取什么值时,复数z= +(x2-2x-15)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
【解题策略】复数分类的关键(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式z=a+bi(a,b∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z=a+bi(a,b∈R),则①若z为实数⇔b=0,②若z为虚数⇔b≠0,③ 若z为纯虚数⇔a=0,b≠0,④ 若z=0⇔a=0,且b=0.
【跟踪训练】实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是①实数;②虚数;③纯虚数;④零.【解析】①当k2-5k-6=0,k∈R,即k=6或k=-1时,z是实数.②当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时, z是虚数.③当 时,z是纯虚数,解得k=4.④当 时,z =0,解得k=-1.
类型三 复数相等及应用(逻辑推理、数学运算) 角度1 复数的相等 【典例】若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y的值.【思路导引】复数相等,则复数的实部与实部相等,虚部与虚部相等.
【解析】因为(x+y)+yi=(x+1)i,所以 解得
【变式探究】本例的条件若改为“(1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0”,求实数m的取值范围.【解析】把原式整理得(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,所以 解得m=-2.
角度2 复数相等的应用 【典例】(2020·北京高二检测)关于x的方程3x2- x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值和这个实数根.【思路导引】设实数根为m,代入方程,根据复数相等可构造方程组求得a和m,从而得到结果.
【解析】设方程的实数根为x=m,则3m2- m-1= ,根据复数相等的充要条件得: 解得 或 所以当实数a=11时实数根为2;当实数a= 时实数根为 .
【解题策略】两个复数相等的判断如果两个复数a+bi(a,b∈R)与c+di(c,d∈R)相等,则它们的实部与虚部对应相等,即a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地,a+bi=0⇔a=b=0.利用复数的代数形式和复数相等,可以化“虚”为“实”,实现化归和转化,从而利用列方程(组)的方法解决复数问题.
【题组训练】1.(2020·海原高二检测)若1+xi=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=( ) A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.因为1+xi=y+2i,所以y=1,x=2,所以x+yi=2+i.
2.(2020·定远高二检测)z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,m为实数,若z1-z2=0,则m的值为( )A.4 B.-1 C.6 D.0【解析】选B.由题意得z1=z2,则 解得m=-1.
3.若复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( )A.1B.1或-4C.-4D.0或-4【解析】选C.由复数相等的条件得 解得a=-4.
1.(2020·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )A.1B.-1C.2D.-2【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是( )A. ,1B. ,5C.± ,5D.± ,1【解析】选C.由题意得 得a=± ,b=5.
3.(教材二次开发:练习改编)如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则x=________,y=________. 【解析】由复数相等可知 所以 答案: 1
4.(2020·石家庄高二检测)已知x2+ix+6=2i+5x,若x∈R,则x=________;若x∈C,则x=________. 【解析】当x∈R时,由复数相等的充要条件得 解得x=2;当x∈C时,令x=a+bi(a,b∈R),则有 解得 或 所以x=2或x=3-i.答案:2 3-i或2
1.复数的概念(1)复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作_________,满足i2=____;复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a与b分别叫作复数z的_____与_____.(2)本质:虚数单位i与实数a,b运算得到的一类数,实数基础上的提升.(3)应用:解决实系数方程的求解问题.
【思考】如何理解虚数单位i?提示:(1)i2=-1.(2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律.(3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.
2.复数的分类(1)复数a+bi(a,b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.
3.复数相等的充要条件在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当____且____.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( )(2)复数z1=3i,z2=2i,则z1>z2.( )(3)复数z=bi是纯虚数.( )(4)实数集与复数集的交集是实数集.( )
提示:(1)×.当b=0时,z=a+bi为实数.(2)×.两个虚数不能比较大小,只能比较是否相等.(3)×.当b=0时,z=bi为实数.(4)√.实数集是复数集的子集,所以实数集与复数集的交集是实数集.
2.复数i-2的虚部是( ) A.iB.-2C.1D.2【解析】选C.i-2=-2+i,因此虚部是1.
3.(教材二次开发:例题改编)如果(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别为( )A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】选A.因为(x+y)i=x-1,所以 所以x=1,y=-1.
类型一 复数的概念(数学抽象)【题组训练】1.(2020·哈尔滨高二检测)复数z=3-2i的虚部为( ) A.2 B.-2 C.-2i D.2i2.以3i- 的虚部为实部,以3i2+ i的实部为虚部的复数是( )A.3-3iB.3+iC.- + iD. + i
3.给出下列几个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;③2i的实部是0;④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集的元素一一对应;⑤实数集的补集是虚数集.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3
【解析】1.选B.因为z=3-2i,所以其虚部为-2.2.选A.3i- 的虚部为3,3i2+ i的实部为-3,所以所求复数为3-3i.3.选C.令z=i∈C,则i2=-1<0,故①不正确.2i-1的虚部应是2,故②不正确.当a=0时,ai=0为实数,故④不正确,所以只有③,⑤正确.
【解题策略】利用复数的概念时的注意点(1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
【补偿训练】 (2020·潍坊高二检测)已知命题:“若x2+y2=0,则x=y=0”.当x,y∈R时,该命题成立.当x,y∈C时,该结论是否成立?【解析】当x,y∈C时,若x=1,y=i,x2+y2=0成立,所以此命题在复数范围内是假命题,该结论不成立.
类型二 复数的分类(数学抽象、逻辑推理)【典例】实数x分别取什么值时,复数z= +(x2-2x-15)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
【解题策略】复数分类的关键(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式z=a+bi(a,b∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z=a+bi(a,b∈R),则①若z为实数⇔b=0,②若z为虚数⇔b≠0,③ 若z为纯虚数⇔a=0,b≠0,④ 若z=0⇔a=0,且b=0.
【跟踪训练】实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是①实数;②虚数;③纯虚数;④零.【解析】①当k2-5k-6=0,k∈R,即k=6或k=-1时,z是实数.②当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时, z是虚数.③当 时,z是纯虚数,解得k=4.④当 时,z =0,解得k=-1.
类型三 复数相等及应用(逻辑推理、数学运算) 角度1 复数的相等 【典例】若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y的值.【思路导引】复数相等,则复数的实部与实部相等,虚部与虚部相等.
【解析】因为(x+y)+yi=(x+1)i,所以 解得
【变式探究】本例的条件若改为“(1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0”,求实数m的取值范围.【解析】把原式整理得(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,所以 解得m=-2.
角度2 复数相等的应用 【典例】(2020·北京高二检测)关于x的方程3x2- x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值和这个实数根.【思路导引】设实数根为m,代入方程,根据复数相等可构造方程组求得a和m,从而得到结果.
【解析】设方程的实数根为x=m,则3m2- m-1= ,根据复数相等的充要条件得: 解得 或 所以当实数a=11时实数根为2;当实数a= 时实数根为 .
【解题策略】两个复数相等的判断如果两个复数a+bi(a,b∈R)与c+di(c,d∈R)相等,则它们的实部与虚部对应相等,即a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地,a+bi=0⇔a=b=0.利用复数的代数形式和复数相等,可以化“虚”为“实”,实现化归和转化,从而利用列方程(组)的方法解决复数问题.
【题组训练】1.(2020·海原高二检测)若1+xi=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=( ) A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.因为1+xi=y+2i,所以y=1,x=2,所以x+yi=2+i.
2.(2020·定远高二检测)z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,m为实数,若z1-z2=0,则m的值为( )A.4 B.-1 C.6 D.0【解析】选B.由题意得z1=z2,则 解得m=-1.
3.若复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( )A.1B.1或-4C.-4D.0或-4【解析】选C.由复数相等的条件得 解得a=-4.
1.(2020·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )A.1B.-1C.2D.-2【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是( )A. ,1B. ,5C.± ,5D.± ,1【解析】选C.由题意得 得a=± ,b=5.
3.(教材二次开发:练习改编)如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则x=________,y=________. 【解析】由复数相等可知 所以 答案: 1
4.(2020·石家庄高二检测)已知x2+ix+6=2i+5x,若x∈R,则x=________;若x∈C,则x=________. 【解析】当x∈R时,由复数相等的充要条件得 解得x=2;当x∈C时,令x=a+bi(a,b∈R),则有 解得 或 所以x=2或x=3-i.答案:2 3-i或2
