数学12.1 复数的概念背景图课件ppt

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通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
通过理解复数的基本概念及复数相等的有关知识，体会数学抽象及数学运算素养.
(1)定义：形如__________ (a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位，__________所组成的集合叫作复数集，记作C.(2)复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中____与____分别叫作复数z的实部与虚部.
(1)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当________时，z是实数；当________时，z叫作虚数；当________________时，z＝bi叫作纯虚数.这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：
(2)两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.
复数概念的说明：①复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式.②a＋bi(a，b∈R)中，虚部是i的实数系数，不含i.③复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是.　　　
1.思考辨析，判断正误(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )提示　当b≠0时，z＝a＋bi为虚数.(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数.( )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )(4)i4＝1.( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)
4.若(x＋y－2)＋(x－y－4)i＝0(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
【例1】　写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.
解　①的实部为2，虚部为3，是虚数；
⑥的实部为0，虚部为0，是实数.
复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数.
【训练1】　下列命题中，真命题的个数是(　　)①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0且x，y∈C，则x＝y＝0.A.0 B.1 C.2 D.3
解析　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
【迁移1】　(变设问)本例中条件不变，当m为何值时z为实数？
【迁移2】　(变设问)本例中条件不变，当m为何值时z≥0?
即m的取值范围为(－1，2)∪(2，3).
根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为什么；第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)；第四步，明确结论.
【训练2】　(1)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________； (2)若复数z＝sin 2α－(1－cs 2α)i是纯虚数，则α＝____________________.
解析　(1)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.(2)由题意知sin 2α＝0，1－cs 2α≠0，
【例3】　已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.解　∵x2－y2＋2xyi＝2i，
求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；(3)解方程组，求出相应的参数.
解　设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
一、牢记3个知识点1.复数的概念.2.复数的分类.3.复数相等的充要条件.二、掌握一种思想——方程思想三、注意2个易错点1.两个虚数不能比较大小.2.z是复数，z2≥0不一定成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)A.－i B.i C.－1 D.1解析　∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i.
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析　若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.
4.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)A.1 B.0 C.－1 D.－1或1
5.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是(　 　)A.若x是实数，则x可能不是复数B.若z是虚数，则z不是实数C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D.－1没有平方根解析　因实数是复数，故A错，B正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；因±i为－1的平方根，故D错.
二、填空题6.若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是________.
7.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
故a的取值集合为{0}.
8.已知关于x的方程x2＋x＋3m－i＝2xi有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________.
∴当m＝2时，z是实数.
∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数.
∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.
10.已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.解　∵M∪P＝P，∴M⊆P，∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
综上可知m＝1或m＝2.
11.下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若复数z满足z2∈R，则z∈R；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.其中真命题的个数是________.
解析　①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小.②若z＝i，则z2＝－1，满足z2∈R，但不满足z∈R.③若a＝0，则ai不是纯虚数.④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知此命题不正确.
13.已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b.解　依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③由①得a＝－3，b＝±2，由②得a＝±3，b＝－2.③中，a，b无整数解不符合题意.综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.
14.已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cs θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
∴λ＝4－cs2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.又∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1，λmin＝2，当sin θ＝－1，λmax＝6.∴2≤λ≤6，即λ的取值范围为[2，6].