数学必修 第二册12.1 复数的概念精品同步训练题

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知识点01 复数的基本概念
1、虚数单位
数叫倣虚数单位，它的平方等于，即．
知䢔点诠释：
（1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
2、复数的摡念
形如的数叫复数，记作：；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．
知识点诠释：
复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．
3、复数的分类
对于复数
若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数．
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4、复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．）
【即学即练1】（2024·高一·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【答案】B
【解析】对于A中，若，那么，所以A错误；
对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；
对于C中，若且时，复数，所以C不正确；
对于D中，由虚数单位，可得D错误.
故选：B.
知识点02 复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：
如果，那么
特别地：．
知识点诠释：
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．
根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．
【即学即练2】（2024·高一·全国·课时练习）方程的实数解 .
【答案】
【解析】由得：，解得：.
故答案为：.
题型一：复数的概念
【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】复数，但，所以，选项A错误；
复数，但，所以，选项B错误；
，选项C错误，
，选项D正确；
故选：D.
【典例1-2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．实部为零的复数是纯虚数
C．可能是实数D．复数的虚部是
【答案】C
【解析】A.，说法不正确；
B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当时，是实数，说法正确；
D.复数的虚部是1，说法不正确.
故选：.
【变式1-1】（2024·高一·全国·课时练习）复数i的虚部为（ ）
A．2B．
C．D．0
【答案】C
【解析】由复数定义知，复数i的虚部为.
故选：C
【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知z1，z2为复数．若命题p：z1·z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设，，若，则，，若，则，，满足，若，则不能比较大小；
若，则，，故，综上：p是q成立的必要不充分条件.
故选：B
【变式1-3】（2024·高二·上海徐汇·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意两个复数都能比较大小B．任意两个复数都不能比较大小
C．设，如果，那么D．设，如果，那么
【答案】C
【解析】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；
当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；
因为，且，所以是实数，故，所以C正确；
因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.
故选:C.
【方法技巧与总结】
复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
题型二：复数的分类
【典例2-1】（22·23高一·全国·课堂例题）实数m取什么值时，复数是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【解析】（1）当，即时，复数z是实数．
（2）当，即时，复数z是虚数．
（3）当且，即时，复数z是纯虚数．
【典例2-2】（21·22高一·全国·课时练习）符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为的虚数；
(2)虚部为的虚数；
(3)虚部为的纯虚数；
(4)实部为的纯虚数．
【解析】（1）依题意只需要实部为，虚部为任意不为的实数即可，
存在且不唯一，如（只要符合题意即可）；
（2）依题意只需要虚部为，实部为任意实数即可，
存在且不唯一，如（只要符合题意即可）；
（3）依题意，纯虚数实部为，虚部只能是，
存在且唯一，即；
（4）不存在，因为纯虚数的实部为0.
【变式2-1】（2024·高一·安徽池州·阶段练习）已知复数.
(1)若复数是虚数，求实数的值；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
【解析】（1）因为是虚数，
所以，解得，
（2）因为是纯虚数，
所以，解得.
【变式2-2】（2024·高一·上海·课时练习）若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？
【解析】因为为实数，所以或m=2.
时，，是虚数，且是纯虚数；
时，，是实数.
【变式2-3】（2024·高二·吉林辽源·期末）已知复数.
（1）取什么值时，为实数；
（2）取什么值时，为纯虚数.
【解析】（1）复数，
若为实数，则，即
（2）若为纯虚数，则，
解得
【变式2-4】（2024·高二·河南周口·期中）已知，复数，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
（4）z在复平面内对应的点在第四象限？
【解析】，
（1）由得或，
即当或时，z为实数；
（2）由得且，
即当且时，z为虚数；
（3）由得，
即当时，z为纯虚数；
（4）由解得，
即当时，z在复平面内对应的点在第四象限.
【变式2-5】（2024·高二·上海浦东新·期末）已知复数（是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值.
【解析】（1）复数是实数，则，
解得；
（2）复数是虚数，则，
解得且；
（3）复数是纯虚数，则，
解得或．
【方法技巧与总结】
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部．
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．
（3）下结论：设所给复数为，
①z为实数⇔．
②z为虚数⇔．
③z为纯虚数⇔且．
题型三：复数相等的充要条件
【典例3-1】（2024·高一·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则 .
【答案】0
【解析】因为，则，
故答案为：0.
【典例3-2】（2024·高一·河南·阶段练习）若复数，，为虚数单位，则 ．
【答案】5
【解析】因为，由复数相等可得.
故答案为：.
【变式3-1】（21·22高一·湖南·课时练习）已知，，则“”是“”的 条件．
【答案】充分不必要
【解析】当时，必有且，解得或，
显然“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要.
【变式3-2】（2024·高一·山西运城·期中）已知，则 .
【答案】1
【解析】因为，，
所以 解得.
所以
故答案为：
【变式3-3】（2024·高一·黑龙江鸡西·期中）若其中是虚数单位，则
【答案】5
【解析】，
，，
．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
（3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
一、单选题
1．（2024·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A．且B．
C．D．或
【答案】C
【解析】由复数是纯虚数，
得
解得:.
故选:C.
2．（2024·高一·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题，所以为实数，即，
则有，解得，即a的取值范围为.
故选：A
3．（2024·高一·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由复数是虚数，
所以，所以实数取值的集合是，
故选：C.
4．（2024·辽宁沈阳·三模）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，复数和是实数，成立，
当时，例如，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【解析】由题意，
故为实数
或
故选：A
6．（2024·高二·江西宜春·阶段练习）若复数为纯虚数，则实数=（ ）
A．或2B．或1C．D．1
【答案】C
【解析】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，
所以，
由，得或，
由，得且，
所以，
故选：C
7．（20·21高一·江苏·课时练习）复数z＝a3﹣2a+（m+a）i（a≥0，m∈R）的实部大于虚部，则m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）
【答案】A
【解析】∵复数z＝a3﹣2a+（m+a）i（a≥0，m∈R）的实部大于虚部，
∴a3﹣2a＞m+a，a≥0，
即m＜a3﹣3a在[0，+∞）上恒成立，
令f（x）＝x3﹣3x，故f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），
故f（x）在[0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
故fmin（x）＝f（1）＝1﹣3＝﹣2，
故m＜﹣2，
故选：A．
8．（17·18高二·全国·课时练习）下列命题中为假命题的是( )．
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|
【答案】D
【解析】A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0⇔ ⇔|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
选D.
二、多选题
9．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
【答案】AB
【解析】对于A：当，，当时为实数，A错误；
对于B：若，则，B错误；
对于C：若，则为实数，C正确；
对于D：，D正确.
故选：AB.
10．（19·20高一·全国·课后作业）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由题意得：，，
解得：或，，或或，
故选：ACD.
11．（2024·高一·黑龙江绥化·阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（ ）
A．存在x使得小于0B．存在x使得
C．不是实数D．实部和虚部均为1
【答案】AB
【解析】由复数x＋i，取x＝－2－i，可知A正确；
当x＝时，，故B正确；
当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故C不正确；
由于x的取值未知，故D错误．
故选：.
三、填空题
12．（2024·高一·河南·期中）设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 .
【答案】
【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得.
故答案为：.
13．（2024·高一·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 .
【答案】
【解析】由复数为纯虚数，可知，
，得.
故答案为：
14．（2024·高一·上海宝山·阶段练习）已知复数，，若，求实数的取值范围 .
【答案】
【解析】，
，令，
根据对勾函数单调性可知函数在上严格单调递减，
，
所以的范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？
（2）若，且，则实数的值分别为多少？
【解析】（1）由已知得，
解得；
（2）由已知得，
解得或.
16．（2024·高三·青海玉树·阶段练习）已知复数．当实数取什么值时，复数是：
(1)虚数；
(2)纯虚数；
【解析】（1）
整理得
当复数是虚数时，，此时，
即实数取任意值，复数都是虚数；
（2）当复数是纯虚数时，，得，
即实数时，复数是纯虚数.
17．（22·23高一·全国·随堂练习）求适合下列各方程的实数，的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）因为，为实数，且，
则，解得或；
（2）因为且，为实数，
所以，解得或，
解得或，
所以或或或；
（3）因为且，为实数，
所以，解得.
18．（22·23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式；
（2）原式，
.
19．（2024·高一·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）由z1为纯虚数，
则，解得m＝－2.
（2）由，得
∴
∵，
∴当时，，当时，，
∴实数的取值范围是.
课程标准
学习目标
（1）通过方程的解体会引人复数的必要性，能类比自然数系扩充到实数系的过程，归纳出数系扩充的基本思想；能用自己的语言说明虚数单位i的意义，体会现实需求与数学内部的矛盾在促进数系扩充过程中所起的作用．
（2）能说明复数代数表示的基本结构并能运用Venn图对复数进行分类；能说出复数相等的含义，并会用于解决简单的实际问题．
（3）能类比实数的几何意义，用自己的语言解释复数的几何意义，从数与形两个角度，理解复数相等的条件．
（1）通过方程的解，认识复数.
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．