必修 第二册7.1 复数的概念学案

7.1.1  数系的扩充和复数的概念

1.了解数系的扩展过程以及i的引入；

2、理解复数的概念、表示法及相关概念；

3、掌握复数的分类及复数相等的条件。

1.教学重点：对i的规定以及复数的有关概念。

2.教学难点：复数概念的理解。

1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)

全体复数所构成的集合C＝           ，叫做复数集．

2．复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔                  .

3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R），

当                     时，复数z＝a＋bi(a，b∈R）为虚数；

当                     时，复数z＝a＋bi(a，b∈R）为纯虚数；

当                     时，复数z＝a＋bi(a，b∈R）为实数；

当                     时，复数z＝a＋bi(a，b∈R）为0.

一、探索新知

思考：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

  【分析】 引入新数，并规定：

    （1）；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

叫做虚数单位。

 （一）复数的概念

    形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 。

（二）复数的代数形式

复数通常用字母 z 表示，即z=a+bi（a、bR）

其中a叫复数z的        ，b叫复数z的        。

练一练：

把下列式子化为 a+bi（a、bR）的形式，并分别指出它们的实部和虚部

（1）2 -i =            ；（2）-2i =             ；

（3）5=               ；（4）0=               。

思考：根据上述几个例子，复数z= a+bi可以是实数吗？满足什么条件？

（三）、复数的分类

试一试：

1、下列数中，                       

实数有                                   ；

虚数有                                     ；

其中纯虚数是                                 。

2、判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数。

（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数。

（3）若a为实数，则Z=a 一定不是虚数。

例1、实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。

练习：当m为何实数时，复数                

是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 ；（4）零。

（四）、复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．

若a、b、c、d∈R，a+bi=c+di                     。

注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。

例2  已知，其中x、yR，求x与y的值。

1．判断正误

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(  )

(2)复数i的实部不存在，虚部为0.(  )

(3)bi是纯虚数．(  )

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(  )

2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(  )

A.，1         B.，5

C．±，5   D．±，1

3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为        ．

4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是0？

这节课你的收获是什么？

参考答案：

（二）  实部    虚部 

练一练 （1）2 -i =2+（ -i ），实部2，虚部-1；

（2）-2i =0+（-2）i ，实部0，虚部-2；

（3）5=5+0i ，实部5，虚部0；

（4）0=0+0i ，实部0，虚部0。

思考：b=0时，复数为实数。

试一试：1.实数：，0，；虚数：；纯虚数：

2.   （1）错   （2）  错   （3）对

例1.【解析】

练习：（1）当时，复数Z为实数；

（2）当时，复数Z为虚数；

（3）当即时，复数Z为纯虚数；

（4）当即时，复数Z为零。

例2.由已知得，解得。

达标检测

1.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.【答案】C

【解析】 令得a＝±，b＝5.

3.【答案】或

【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，

∴解得或

4.【解析】 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.

(1)当m2－2m－15＝0时，

复数z为实数，

∴m＝5或－3.

(2)当m2－2m－15≠0时，

复数z为虚数，

∴m≠5且m≠－3.

(3)当时，复数z是纯虚数，

∴m＝－2.

(4)当时，

复数z是0，∴m＝－3.