高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念导学案及答案

【新教材】7.1.1 数系的扩充和复数的概念

（人教A版）

1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．

2.理解复数的概念、表示法及相关概念．

3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．

1.数学抽象：复数及相关概念；

2.逻辑推理：复数的分类；

3.数学运算：复数相等求参.

重点：复数的分类及复数相等的充要条件．

难点：复数的概念.

一、    预习导入

阅读课本68-69页，填写。

1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．

2．复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔_____________________.

3．复数的分类

z＝a＋bi(a，b∈R)

思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？

_______________________________________________________.

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．                    (　　)

(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．                 (　　)

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．      (　　)

2．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为 (　　)

A．0　　　B．1      C．2     D．3

3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.

4．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i.

(1)若z为实数，则m＝________；

(2)若z为纯虚数，则m＝________.

题型一  复数的概念

例1下列命题中，正确命题的个数是                 (　　)

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；

④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；

⑤－1没有平方根；

⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．

A．0           B．1           C．2           D．3

跟踪训练一

1．下列命题正确的是________．

①复数－i＋1的虚部为－1.

②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.

③任意两个复数都不能比较大小．

题型二  复数的分类

例2实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

跟踪训练二

1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

题型三  复数相等的充要条件

例3 根据下列条件，分别求实数x，y的值．

(1)x2－y2＋2xyi＝2i；

(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.

跟踪训练三

1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．

1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)

A．，1　　　　　　 B．，5

C．±，5  D．±，1

2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．0

3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________.

4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为________．

5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i

(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.

答案

小试牛刀

1. (1)×(2) √(3)√

2．C.

3．5.

4.(1)　(2)－1

自主探究

例1【答案】A

【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．

②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．

③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．

④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．

⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．

⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.

跟踪训练一

1．【答案】①．

【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．

例2【答案】(1) x＝5时，z是实数．(2) x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

【解析】(1)当x满足即x＝5时，z是实数．

(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．

(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

跟踪训练二

1．【答案】(1)m＝－2时，z为实数．(2)m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)m＝0时，z为纯虚数．

【解析】　(1)若z为实数，则即

解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．

(2)若z是虚数，则即

解得m≠－2且m≠－1. ∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．

(3)若z为纯虚数，则即即

解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．

例3 【答案】　(1)或(2)

【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，

∴解得或

(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，

∴解得

跟踪训练三

1．【答案】1或2.

【解析】因为M∪N＝N，所以M⊆N，

所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.

由复数相等的充要条件得

或

解得m＝1或m＝2.

所以实数m的值是1或2.

当堂检测 

1-2.CA　

3. -1  -1

4. 2

5. 【答案】(1) m＝5或－3；(2)m≠5且m≠－3.(3)m＝－2.(4)m＝－3.

【解析】　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.

(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，

∴m＝5或－3；

(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，

∴m≠5且m≠－3.

(3)当时，复数z是纯虚数，

∴m＝－2.

(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.