数学必修 第一册1.3 集合的基本运算两课时教案

这是一份数学必修 第一册1.3 集合的基本运算两课时教案，共18页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解并集、交集的概念；2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集；3.会求简单集合的并集和交集．
知识点一 并集
思考 某次校运动会上，高一(一)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(一)班参赛人数吗？
答案 19人．参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．
(1)定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)图形语言：、阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.
知识点二 交集
思考 一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
答案 1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
(1)定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)图形语言：阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
类型一 求并集、交集
例1 (1)集合A＝{x|－1(2)集合A＝{x|2k(3)集合A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝3}，求A∪B，A∩B，并说明其几何意义．
解 (1)可以借助数轴求，A∪B如图．
A∪B＝{x|－1＝{x|－1A∩B＝{x|1(2)集合A由数轴上的无限多段组成．但我们只需取与B有公共元素的，如下图．
A∩B＝{x|2(3)A∪B＝{(x，y)|x＝2，或y＝3}，几何意义是两条直线x＝2，和y＝3上所有点组成的集合．
A∩B＝{(2,3)}，几何意义是两条直线x＝2，和y＝3的交点组成的集合．
反思与感悟 在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B⊆A，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B＝∅的情况，切记不可漏掉．
跟踪训练1 (1)集合A＝{x|－13}，求A∪B，A∩B；
(2)集合A＝{x|2k(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∪B，A∩B.
解 (1)A∪B＝{x|x<2或x>3}，A∩B＝{x|－1(2)A∩B＝{x|2(3)A∪B＝{(x，y)|y＝x＋2或y＝x＋3}，A∩B＝∅.
类型二 翻译集合语言
例2 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．
解 A∪B＝B⇔A⊆B.
当2a>a＋3，即a>3时，A＝∅，满足A⊆B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A⊆B.
当2a需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<3，,a＋3<－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<3，,2a>5，))
解得a<－4，或eq \f(5,2)综上，a的取值范围是{a|a>3}∪{a|a＝3}∪{a|a<－4，或eq \f(5,2)eq \f(5,2)}．
反思与感悟 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
跟踪训练2 设集合A＝{x|－1答案 a>－1
解析 如图，利用数轴分析可知，a>－1.
类型三 并集、交集的性质
例3 设想集合A、B、C的各种情形，A∩(B∩C)等于(A∩B)∩C吗？试证明你的结论．
解 可设想A、B、C相等，适合空集等各种情形．
若x0∈A∩(B∩C)，依交集定义有x0∈A，且x0∈B∩C，
∴x0∈A，且x0∈B，且x0∈C.
∴x0∈A∩B，且x0∈C，∴x0∈(A∩B)∩C.
即A∩(B∩C)⊆(A∩B)∩C.
同理可证A∩(B∩C)⊇(A∩B)∩C.
∴A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C.
反思与感悟 证明要紧扣定义，这是以后我们做证明题的共性．
跟踪训练3 猜想A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)吗？试证明你的结论．
解 若x0∈A∩(B∪C)，依并集，交集定义有x0∈A，且x0∈B∪C，
∴x0∈A，且x0∈B，或x0∈C.
若x0∈B，则x0∈A∩B，
若x0∈C，则x0∈A∩C，
∴x0∈(A∩B)∪(A∩C)，
即A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C)．
同理可证A∩(B∪C)⊇(A∩B)∪(A∩C)．
∴A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)．
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于( )
A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2} D．{0,1}
答案 B
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于( )
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
答案 C
3．设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x∈R|2≤x≤5}，那么下列结论正确的是( )
A．P∩Q＝P B．P∩QQ
C．P∩QP D．P∩Q＝Q
答案 C
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于( )
A．∅ B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0答案 A
5．已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或eq \r(3) B．0或3
C．1或eq \r(3) D．1或3
答案 B
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
一、选择题
1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( )
A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
答案 D
解析 M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，则M∪N＝{－2,0,2}．
2．已知集合A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|－eq \r(5)A．A∩B＝ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
答案 B
解析 ∵eq \r(5)>2，集合A，B在数轴上表示如图，
易知A∪B＝R.
3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于( )
A．{y|0B．{y|0≤y≤1}
C．{y|y>0}
D．{(0,1)，(1,0)}
答案 B
解析 ∵B＝{y|y＝x2}，
∴B＝{y|y≥0}，A∩B＝{y|0≤y≤1}．
4．点集A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，则A∪B中的元素不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}，表示的区域是平面直角坐标系中第一、二、四象限和x，y轴的正半轴，故不可能在第三象限．
5．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于( )
A．{x|1≤x<3}
B．{x|1≤x≤3}
C．{x|0≤x<1或x>3}
D．{x|0≤x≤1或x≥3}
答案 C
解析 由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，
A∩B＝{x|1≤x≤3}，
∴A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．
6．若集合P＝{x|3A．{a|1C．{a|6≤a<9} D．{a|6答案 D
解析 依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1<3a－5，,2a＋1>3，,3a－5≤22，))
解得6二、填空题
7．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有________个．
答案 2
解析 ∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，
∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，
解得x＝0或eq \r(2)或－eq \r(2)或1.
经检验当x＝eq \r(2)或－eq \r(2)时满足题意．
8．设集合A＝{x|－1答案 {x|－1解析 在数轴上分别表示出集合A，B，
易知A∪B＝{x|－19．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤1
解析 A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，要使A∪B＝R，只需a≤1.如图．
10．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
答案 {(0,1)，(－1,2)}
解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
三、解答题
11．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，求实数a的值．
解 若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求；若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A∪B)，∴a＝2.
12．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)若A∩B＝{x|1≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩B＝，求实数m的取值范围．
解 A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2＝1，,m＋2≥3，))得m＝3.
(2)A∩B＝∅，A⊆{x|x∴m－2＞3或m＋2<－1.
∴实数m的取值范围是{m|m＞5或m<－3}．
13．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
解 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A、B、C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．
第2课时 补集及综合应用
学习目标 1.理解全集、补集的概念；2.准确翻译和使用补集符号和Venn图；3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
知识点一 全集
思考 老和尚问小和尚：如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？小和尚说：“我从旁边绕过去．”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？
答案 老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退．小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向.
知识点二 补集
思考 实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}.
类型一 求补集
例1 (1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁UA，∁UB；
(2)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．
解 (1)根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}．
(2)根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
反思与感悟 研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，全集常用U来表示．
跟踪训练1 设全集U＝{1,3,5,6,8}，A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则(∁UA)∩B等于( )
A．{6} B．{5,8}
C．{6,8} D．{3,5,6,8}
答案 B
解析 依据补集和交集的定义，用Venn图表示或观察U，A，B中的元素，可得∁UA＝{3,5,8}，则(∁UA)∩B＝{5,8}．
类型二 准确翻译和使用补集符号和Venn图
例2 已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
解 ∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而∁UB＝{－1,0,2}，
∴B＝∁U(∁UB)＝{－3,1,3,4,6}．
反思与感悟 在解决问题时，从正面解决有时很复杂，这时就可用补集思想从反面考虑．而要用补集，就要能准确翻译和使用补集符号与Venn图．
跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
答案 {x|0≤x≤1或x＞2}
解析 A∩B＝{x|1由图可得A*B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
类型三 集合的综合运算
例3 设全集U＝R，A＝{x|eq \f(1,x)<0}．
(1)求∁UA；
(2)若B＝{x|2a解 (1)A＝{x|eq \f(1,x)<0}＝{x|x<0}，
∴∁UA＝{x|x≥0}．
(2)若2a≥a＋3，即a≥3，则B＝∅⊆∁UA.
若2a需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<3，,2a≥0，))解得0≤a<3.
综上，a的取值范围是{a|0≤a<3}∪{a|a≥3}＝{a|a≥0}．
反思与感悟 求补集的前提是先确定全集，像本例全集为R，而非“使eq \f(1,x)有意义的实数”，故∁UA≠{x|eq \f(1,x)≥0}．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥2
解析 ∵∁RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
答案 C
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
答案 D
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
答案 C
4．设全集U＝R，下列集合运算结果为R的是( )
A．Z∪∁UN B．N∩∁UN
C．∁U(∁U∅) D．∁UQ
答案 A
5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁UN)＝{2,4}，则N等于( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
答案 B
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.
一、选择题
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
答案 C
解析 ∁UA＝{0,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}，选C.
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于( )
A．{x|－2C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}
答案 C
解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴∁UM＝{x|x<－2或x>2}．
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
答案 D
解析 由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))则a＝2.
4．图中的阴影部分表示的集合是( )
A．A∩(∁UB) B．B∩(∁UA)
C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)
答案 B
解析 阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．
因此，阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA)．
5．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则( )
A．∁UN⊆∁UM B．M⊆∁UN
C．∁UM⊆∁UN D．∁UN⊆M
答案 C
解析 由M∩N＝N知N⊆M.∴∁UM⊆∁UN.
6．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|0Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于( )
A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}
答案 B
解析 由|x－2|<1，得1由题意，得P－Q＝{x|0二、填空题
7．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______.
答案 {x|0解析 A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|08．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁UA.(填“∈”或“∉”)
答案 ∈
解析 显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，
∴(－1,1)∈∁UA.
9．已知集合M，N，I的关系如图，则N∩(∁IM)＝________.
答案
解析 ∁IM对应的区域在大椭圆外，故与小椭圆没有公共部分．
10．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
答案 m－n
解析 ∵(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．
三、解答题
11．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
解 将集合U，A，B表示在数轴上，如图所示，
因为A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，
所以∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
∁UB＝{x|x＜－3或2＜x≤4}．
所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}．
12．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，求实数m的值．
解 A＝{－1,2}，B∩(∁UA)＝∅等价于B⊆A.
当m＝0时，B＝∅⊆A；
当m≠0时，B＝{－eq \f(1,m)}．
∴－eq \f(1,m)＝－1，或－eq \f(1,m)＝2，即m＝1或m＝－eq \f(1,2).
综上，m的值为0,1，－eq \f(1,2).
13．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁UA)＝R，B∩(∁UA)＝{x|0解 ∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴∁UA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪(∁UA)＝R，A∪(∁UA)＝R，
可得A⊆B.
而B∩(∁UA)＝{x|0∴{x|0借助于数轴
可得B＝A∪{x|0定义
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集
记法
全集通常记作U
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言