初中数学北师大版九年级上册2 用配方法求解一元二次方程课时训练

§23.2.2 配方法及公式法

◆回顾归纳

1．通过配方，把方程的一边化为______，另一边化为_____，然后利用开平方法解方程，这种方法叫配方法，如ax2+bx+c=0（a≠0），配方得a（x+_____）2=．

2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），运用公式法求解的方法叫做公式法，求根公式x=_______．

◆课堂测控

测试点1  配方法

1．（1）x2－2x+_____=（x－1）2；   （2）x2+x+=（x+_______）2．

2．（1）x2+4x+_____=（x+_____）2； （2）y2－_______+9=（y－_____）2．

3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（  ）

    A．3        B．9        C．±3       D．±9

 4．已知方程x2－6x+q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x+q=2可以配方成下列的（  ）

    A．（x－p）2=5      B．（x－p）2=9    C．（x－p+2）2=9    D．（x－p+2）2=5

5．用配方法解下列方程:

（1）x2+6x+7=0；                   （2）2x2－4x=－5；

（3）3x2+2x－3=0；                （4）x2－3x+3=0．

6．阅读下列解题过程，并解答后面的问题．

    用配方法解方程2x2－5x－8=0．

    解：2x2－5x－8=0．

    ∴x2－5x－8=0．                      ①

    ∴x2－5x+（－）2=8+（－）2．        ②

    ∴（x－）2=．                     ③

    ∴x1=，x2=            ④

    （1）指出每一步的解题根据：①______；②______；③_______；④_______．

    （2）上述解题过程有无错误，如有错在第______步，原因是_________．

（3）写出正确的解答过程．

测试点2  公式法

7．方程（x+2）（x+3）=20的解是______．

8．方程3x2+2x+4=0中，b2－4ac=_______，则该一元二次方程_______实数根．

9．方程x2+4x=2的正根为（  ）

    A．2－       B．2+      C．－2－      D．－2+

10．用求根公式解下列方程．

（1）3x2－x－2=0；            （2）x2+=－x；

（3）（x+2）（x－2）=2x；       （4）3x2+2x=2．

11．用公式法解方程x2+x+=0．

    解：4x2+4x+1=0     ①

    ∵a=4，b=4，c=1，   ②

    ∴b2－4ac=42－4×4×1=0．  ③

    ∴x==．             ④

    ∴x1=x2=－．

    （1）以上①步______，②步______，③步_______，④步_______．

（2）体验以上解题过程，用公式法解方程:x2+x－=0．

◆课后测控

1．若关于x的方程2x2+3ax－2a=0有一根为x=2，则关于y的方程y2+a=7的解是______．

2．设x，x是方程x2－4x－2=0的两根，那么x=______，x=_____．

3．如果（2a+2b+1）（2a+2b－1）=63，那么a+b的值是______．

4．将二次三项式2x2－3x－5进行配方，其结果为______．

5．若方程ax2+bx+c=0的一个根为－1，则a－b+c=_____；若一根为0，则c=______．

6．若│x2－x－2│+│2x2－3x－2│=0，则x=_______．

7．一元二次方程x2－2x=0的解是（  ）

 　A．0                B．0或2         C．2              D．此方程无实数根

8．不论x，y为任何实数，代数式x2+y2+2x－4y+7的值（  ）

    A．总不小于2       B．总不小于7    C．可以为任何实数  D．可能为负数

9．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2－16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（  ）

    A．24              B．24或8      C．48             D．8

10．在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a+b2，根据这个规则，方程x*（x+1）=5的解是（  ）

    A．x=5            B．x=1              C．x1=－4或x2=1   D．x1=4或x2=－1

11．用适当的方法解下列方程．

（1）4x2－7x+2=0；                    （2）x2－x－1=0；

（3）x2－7x+6=0；                     （4）3（x+1）2－5（x+1）=2．

12．用“△”定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=a2+ab+b2，已知

（x+1）△x=10，请求出x的值．

13．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2－m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围，并利用你所得到的结论，任取一个m的值代入方程，并用配方法求出此时方程的两个实数根．

14．某百货超市饮料专柜在销售中发现“佳宝”牌纯牛奶平均每天可售出20箱，每箱盈利4元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每箱牛奶每降价0.4元，那么平均每天就可多售出8箱，要想平均每天在销售这种牛奶上盈利120元，那么每箱牛奶应降价多少元？

◆拓展创新

    如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）．

参考答案

回顾归纳

1．完全平方式  非负数 

2．（b－4ac≥0）

课堂测控

1．（1）1  （2）  2．（1）4  2  （2）6y  3  3．C  4．B

5．（1）x1=－3+，x2=－3－  （2）无解

  （3）x1=，x2=

  （4）x1=3+，x2=3－

6．（1）①把二次项系数化为1  ②移项，方程的两边加上一次项系数一半的平方 

③方程左边化为完全平方式  ④直接用开平方法解方程

  （2）①  常数项和一次项系数未同时除以2

  （3）正确解答：x2－x－4=0，

    ∴x2－x+（－）2=4+（－）2，

    ∴（x－）2=，∴x1=，x2=．

7．x1=－7，x2=2

8．－44  没有  9．D

10．（1）x1=1，x2=－  （2）x1=x2=－

  （3）x1=+，x2=－

  （4）x1=，x2=

11．（1）①把系数化为整数  ②确定二次项系数，一次项系数，常数项  ③求出b2－4ac的值  ④求出方程的根

    （2）2x2+2x－1=0，∵a=2，b=2，c=－1，

    ∴b2－4ac=4－4×2×（－1）=12．

    ∴x=．

    ∴x1=，x2=．

课后测控

1．y=±3

2．2+  2－（点拨：x==2±）

3．±4（点拨：令2a+2b=x，则（x+1）（x－1）=63，

    ∴x=±8，∴a+b=±4）

4．2[（x－）2－]

（点拨：2x2－3x－5=2（x2－x－）

=2[x2－x+（－）2－－]=2[（x－）2－]）

5．0  0

6．2（点拨：要使等式成立，则必有x2－x－2=0，且2x2－3x－2=0，∴x=2）

7．B

8．A（点拨：x2+y2+2x－4y+7=（x+1）2+（y－2）2+2，

    ∵（x+1）2≥0，（y－2）2≥0，∴x2+y2+2x－4y+7≥2）

9．B（点拨：x2－16x+60=0的两根为x1=10，x2=6，根据三角形三边关系，则10和6都可为第三边长，∴当第三边长为10，则此三角形为直角三角形，则S=24，当第三边长为6时，S=8）

10．C（点拨：∵x*（x+1）=5，∴x+（x+1）2=5，即x2+3x－4=0，∴x1=1，x2=－4）

11．（1）这里a=4，b=－7，c=2．

       ∴△=49－4×4×2=17，∴x=．

       ∴x1=+，x2=－．

  （2）x1=，x2=．

  （3）（x－1）（x－6）=0，∴x－1=0或x－6=0．

       ∴x1=1，x2=6．

  （4）令x+1=y，则原方程变为3y2－5y－2=0，

    ∴y1=－，y2=2．

    当y1=－，x1=－；y2=2时，x2=1．

12．∵（x+1）△x=10，∴（x+1）2+（x+1）x+x2=10，

    整理得x2+x－3=0．

    解得x1=，x2=．

13．∵△=4－2（2－m）=4m－4>0，∴m>1．

    将m=2代入方程得x2+2x=0，∴x2+2x+1=1，

    即（x+1）2=1，∴1+x=±1，∴x1=0，x2=－2．

14．设平均每箱应降价x元，根据题意得

    （4－x）·（20+×8）=120．

    整理得x2－3x+2=0，即（x－2）（x－1）=0．

    ∴x=2，x=1．

    因为要扩大销售量，减少库存，所以应取x=2，将x=1舍去，∴每箱牛奶应降价2元．

拓展创新

设道路宽为x米，列方程为20×32－（20+32）x+x2=540，

∴x1=2，x2=50（舍去），∴道路宽为2米．