数学必修 第一册3.2 函数的基本性质教学课件ppt

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画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共同的特征？
可以发现，这两个函数都关于y轴对称.也就是说，当自变量取互为相反数的两个数时，函数值是相等的，即
对于 ，有
对于 ，有
常见的偶函数有 ， 等等
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ， 且 ，即 的图像关于y轴对称，那么就称 为偶函数.
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个函数 是偶函数吗？
【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ，所 以不一定是偶函数.
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A； ②任取一个自变量x，都满足f(-x)=f(x)
【总结】一般地，一个函数是偶函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
定义中， 的常见变形有：
画出函数 和函数 的图像并观察，你能发现什么共同的特征？
可以发现，这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说，当自变量取互为相反数的两个数时，函数值也互为相反数，即
【定义】一般地，设函数 的定义域为A，如果对于 ，都有 ， 且 ，即 的图像关于原点成中心对称，那么就称 为奇函数.
常见的偶函数有 ， , 等等
【思考】对于定义在R上的函数 ，若 ，那么这个 函数是奇函数吗？
【答】不一定.因为 并不能保证所有的 ， 所以不一定是奇函数.
要证明某个函数不是奇函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠-f(x0)即可
【1】①该函数的定义域关于y轴对称，即任意x∈A(A为定义域)，-x∈A； ②任取一个自变量x，都满足f(-x)=-f(x)
【总结】一般地，一个函数是奇函数的两个判断方式：
【2】几何法，函数的图像关于原点成中心对称，那么函数就是偶函数
定义中， 的常见变形有：
如果奇函数在 处有定义，则：
【例题】判断下列函数的奇偶性.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
【解】(3)首先判断定义域为 ，关于y轴对称，再判断：
判断函数奇偶性，首先要看定义域.
④ 既是奇函数，又是偶函数.
利用定义判断函数奇偶性的方法：
【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定 义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下 去的必要.
【2】二看等式：满足第一点之后，判断 与 的关系：
函数既是奇函数，又是偶函数
① 是偶函数；
② 是奇函数；
③ 是非奇非偶函数；
奇(偶)函数的性质及应用
【探究】（1）如何判断函数 的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数 的定义域为R，且有 所以此 函数是奇函数.
（2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在 y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的 图像如图所示.
【拓展】（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果 奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调增函数.
②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果 偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调减函数.
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性： 设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
【注】上表中不考虑 和 的情况； 中需 ， .
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称； 把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.