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初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形教学设计
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这是一份初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形教学设计，共9页。教案主要包含了课程解读，知识梳理，典型例题，提分技巧，预习导学，同步练习，试题答案等内容，欢迎下载使用。
12.1全等三角形
年 级
八年级
学 科
数学
版 本
人教版
课程标题
12.1全等三角形
【课程解读】
一、学习目标：
1. 通过实例理解全等图形的概念和特征，并能找出全等图形。
2. 能叙述全等三角形的定义及相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角。
3. 掌握全等三角形的性质，会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。
二、重点难点：
重点是全等三角形的概念，难点是全等三角形的对应顶点要对应写，对应关系要明确。
【知识梳理】
1. 全等三角形的基本概念:
(1) 全等形的定义: 能够完全重合的两个图形叫做全等形。
(2) 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。
(3)全等三角形的表示方法：△ABC ≌ △A’B’C
2. 全等三角形的性质：
(1) 全等三角形的对应边相等；
(2) 全等三角形的对应角相等。
【典型例题】
知识点一：全等三角形的基本概念
例1：下列说法正确的有（ ）
① 用一张底片冲洗出来的10张一寸相片是全等形
② 我国国旗上的4颗小五星是全等形
③ 所有的正方形是全等形
④ 全等形的面积一定相等
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路分析：
1）题意分析：本题主要考查全等三角形定义中对“能够重合”的理解。
2）解题思路：根据全等三角形的定义：“能够完全重合的两个图形叫做全等形。”来判断题目中每一句话中所谈到的图形是否能完全重合。
解答过程： 用一张底片冲洗出来的10张一寸照片的形状和大小完全相同，它们是全等形，所以①正确；我国国旗上的四颗小五星的形状和大小也完全相同，它们也是全等形；所以②正确；所有的正方形只是形状相同，但大小不一定相同，所以它们不是全等形，所以③不正确；全等形的形状和大小完全相同，所以面积一定相等，所以④正确。因此，①②和④是正确的，故选C。
解题后的思考：在判断全等形或全等三角形时，一定要个根据定义，看我们所要判断的图形是否能够重合。
例2： 已知：如图2，△ABD ≌ △CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（ ）
A．DB B．BC C．CD D．AD
图2
B
思路分析：
题意分析：本题一方面考查全等三角形的概念，另一方
面考查全等三角形的对应顶点、对应边、对应角是否对应。本题通过给出条件AB∥CD，得出∠ADB=∠CBD，从而得出点D和点B是对应点。
解题思路：由于AB和DB、BC、AD都不可能相等，所以不可能是对应边。
解答过程：由于对应边一定是全等三角形能够重合的边，所以对应边一定相等才可能重合，而DB、BC、AD都不等于AB，所以都不是AB的对应边，所以，AB的对应边是CD。答案选(C)。
解题后的思考：本题主要考查全等三角形的定义及全等三角形各顶点的对应关系。
例3：观察图3中的个各个图形，其中的全等图形为（图形用编号表示）： 。
思路分析：
图3
题意分析： 全等形是指能够完全重合的两个图形，目前要判断两个图形是否全等，一般是通过观察法，看它们经过平移、翻折、旋转之后能不能完全重合。
解题思路：判断图形是否全等，一般要通过平移、旋转、翻折后看其是否完全重合，在解答本题时，首先找出同类图形，然后看其能否通过平移、旋转、翻折后完全重合。
解答过程：(1)和(6)通过平移能够重合，所以 (1)和(6)是全等形；(2)和(5)通过翻折、平移后能够重合，所以(2)和(5)是全等形；(3)和(8)是通过旋转、平移后能够重合，所以(3)和(8)是全等形。因此，本题中的全等形为(1)和(6)，(2)和(5)，(3)和(8)。
解题后的思考：本题一方面考虑到全等形的定义：“能够完全重合的两个图形叫全等形。”另一方面，应考虑到网格图、简笔画图的全等图形，一般都是通过对图形的平移、旋转、翻折得到的。
小结：本题组主要考查了全等形的基本概念，在判断图形是否能够重合时，一般要通过平移、翻折、旋转后看其是否能够重合。初步给学生渗透初中平面几何中的三种全等变换的意识。
知识点二：全等三角形的性质
例1：如图4，已知⊿ABD≌⊿ACE，AB=AC，写出这对全等三角形的对应边和对应角。
思路分析：
1）题意分析：要写出全等三角形的对应边和对应角，首先要判断出两个三角形能够重合的边和能够重合的角。另外，要注意在全等三角形中，对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。
2）解题思路：在⊿ABD与⊿ACE中，AB=AC，所以AB与AC是对应边，它们所对的角是对应角，即∠ADB与∠AEC是对应角，∠A是公共角，所以∠A与∠A是对应角，剩下的∠B与∠C对应，这些对应角所对应的边是对应边，所以，AD与AE对应，BD与CE对应。
解答过程： 因为AB=AC，所以∠ADB与∠AEC是对应角，因为∠A=∠A，所以∠A与∠A是公共角，根据三角形的内角和定理1800-∠A-∠ADB =1800-∠A-∠AEC，可得∠B=∠C，所以∠B与∠C是对应角；根据对应角所对的边是对应边，可以知道，AD与AE是对应边，BD与CE对应边。综上可得，∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C是对应角，AB与AC，BD与CE，AD与AE是对应边。
解题后的思考：本题除了运用前面介绍的方法外，也可用简便的方法来找。对照图4发现条件中的⊿ABD≌⊿ACE是按照对应顶点的顺序写的，所以可按顺序⊿ABD≌⊿ACE写出它们的对应边：AB与AC，BD与CE，AD与AE；对应角：∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C。
例2：如图5，
已知⊿ABE≌⊿ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。
思路分析：
1）题意分析： 已知两个三角形⊿ABE和⊿ACD全等，同时知道了两对角∠1与∠2，∠B与∠C等，要找出其他的对应边和对应角。
2）解题思路：先将两个全等的三角形分离出来，通过观察，找出能够重合的边和角。
解答过程： 将两个全等的三角形⊿ABE和⊿ACD分离出来，如图5，因为∠1=∠2，∠B=∠C，所以另一组对应角为∠BAE=∠CAD；又因为∠B和∠C的对边分别是AE，AD，∠1和∠2的对边分别是AB和AC，所以它们的对应边为AB与AC，AE与AD，BE与CD。
解题后的思考：在复杂图形中找全等三角形的对应边，对应角时，首先要把两个全等的三角形从图形中分离出来，再通过平移、翻折、旋转后找出对应顶点，从而找出对应边，对应角。
(变式)如图6，⊿ABD≌⊿ACE，
试说明∠EBD与∠DCE的关系。
思路分析：
1）题意分析： 已知两个三角形⊿ABD和⊿ACE全等，要求∠EBD与∠DCE的关系，注意找出这两个角与已知全等三角形对应角的关系。
2）解题思路：利用全等三角形的对应角相等得到∠D与∠E，再利用对顶角相等得到∠DOC=∠BOE，再利用三角形的内角和等于1800及等式性质得到∠EBD=∠DCE。
解答过程： 因为⊿ABD≌⊿ACE，所以∠D=∠E。又因为∠DOC=∠BOE，所以1800-∠D-∠DOC=1800-∠E-∠BOE。即∠EBD=∠DCE。
解题后的思考：在解决这类问题时，一定要仔细辨析图形，找准全等三角形中的对应元素，并应用全等三角形的性质解决相关问题。
例3：如图7，⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于M、N，有如下结论：
① ⊿ACE≌⊿DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
思路分析：
1） 题意分析：已知两个等边三角形，用学过的方法，即全等三角形的定义判断两个三角形
⊿ACE≌⊿DCB ，同理可以判断另外两个三角形⊿MCE≌⊿NCB，从而得出CM=CN。
2）解题思路：由⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，得到CA=CD，CB=CE，且∠ACD=∠ECB=600，从而想到把⊿ACE绕点C旋转600后与⊿DCB重合，把⊿MCE绕点C旋转600后与⊿NCB重合。进一步得到⊿ACE≌⊿DCB，⊿MCE≌NCB。进而得出结论①和②正确；由于CM=CN，∠MCN=600，所以，⊿CMN是等边三角形，所以，⊿CDN不是等边三角形，所以CD≠DN，所以AC≠DN。
解答过程： ∵⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=600，
∴到把⊿ACE绕点C旋转600后与⊿DCB重合
∴⊿ACE≌⊿DCB
∴∠AEC=∠DBC
∵∠DCN=600，∠BCN=∠ECM=600，
∴1800-∠AEC-∠DCE=1800-∠DBC-∠ECB
∴∠CME=∠CNB
又因为CE=CB
∴把⊿MCE绕点C旋转600后与⊿NCB重合
∴ ⊿MCE≌⊿NCB
∴CM=CN
∴选B。
解题后的思考：在没有学习全等三角形的判定方法之前，要会运用全等三角形的定义判定三角形全等，从而根据全等三角形的性质得到全等三角形的对应边等，对应角等，在运用定义判断三角形全等时，会灵活运用平移、旋转、轴对称这三种几何变换，注意经过平移、旋转、轴对称后的图形与原图形是全等形。
例4：如图8，⊿ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B=200，∠C=500。
(1) 顺时针旋转多少度时，旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上；
(2) 在继续旋转多少度时，C，A，C’在同一直线上（原⊿ABC是指开始位置）。
思路分析：
1）题意分析：已知在⊿ABC中，∠B=200，∠C=500，
要求⊿ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时，使得点C’落在线段AB上。第二问要使得C，A，C’在同一直线上，即
AC’落在CA的延长线上。
2）解题思路：要求⊿ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时，使得点C’落在线段AB上，则关键应抓住三角形中的重要线段AC绕A点顺时针旋转多少度时，使得AC’落在AB上，即∠CAC’,根据三角形的内角和求出∠CAC’的度数即可。第二问，要使得C，A，C’在同一直线上，即使得∠CAC’成为一个平角。如图10所示。
解答过程：
(1)如图9所示：
∵∠B=200，∠C=500，且∠B+∠C+∠CAB=1800
∴∠CAB=1800-200-500=1100
∴⊿ABC绕顶点A顺时针旋转1100时，旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上。
(2)如图10所示：
∵C，A，C’在同一直线上
∴∠CAC’=1800
1800-1100=700
∴⊿ABC绕顶点A继续旋转700时，C，A，C’在同一直线上。
解题后的思考：在运用旋转变换时，注意对应线段的夹角即为旋转的角度。
例5：如图11，若⊿ABC≌⊿DCB，且A与D，B与C是对应点，进行怎样的图形变换可使这两个三角形重合呢？
思路分析：
1）题意分析：已知两个全等三角形的边角对应关系，判断怎样运用几何变换的方法，使得这两个三角形重合。
2）解题思路：根据两个全等三角形的边角对应关系，首先将⊿ABC沿BC翻折1800，再把⊿ABC绕点C旋转1800，最后将⊿ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位就可使得两个三角形重合。
解答过程：先将⊿ABC沿BC翻折1800，如图12，再将⊿ABC绕点C旋转1800，如图13，最后将⊿ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位长度，如图14，⊿ABC和⊿DCB重合。
解题后的思考：根据两个全等三角形边、角的对应关系，根据两个三角形的位置关系，正确地选择适当的变换，将两个三角形变换到如图14所示的重合位置。
小结：本题组主要考查了全等三角形的基本性质，在运用全等三角形的基本性质时，其关键是找对应边，对应角，找对应边和对应角通常有以下几种方法：
① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
③ 有公共边的，公共边是对应边；
④ 有公共角的，公共角是对应角；
⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角；
⑥ 两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。
【提分技巧】
本节课在讲述全等三角形概念时，充分强调了能够重合；在讲述全等三角形的性质时，充分强调对应。注意：对应边，对应角，对边，对角，夹边，夹角容易混淆。对应边或对应角是对对应的两个三角形说的，是两条边之间或两个角之间的关系，而对边、对角是对同一个三角形中的边和角说的，对边是对某个角说的，对角是对某条边说的，夹边是已知两个角的公共边，夹角是已知两条边所形成的角。
【预习导学】
一、预习新知
1. 如果△ABC≌△A'B'C'，A与A'是对应顶点，AB与A'B'是对应边.
请找出其它的对应顶点、对应边和对应角.
2． 由第一题可以知道，若两个三角形全等，则有三对对应边相等，三对对应角相等。
即AB=A'B' ， BC=B'C' ， AC=A'C' ，
∠A=∠A' ， ∠B=∠B' ， ∠C=∠C'
请问: 如果两个三角形满足上述条件中的部分相等关系，能保证两个三角形全等吗？
三条边， 两边一角， 两角一边， 三个角
二、预习点拨
探究与反思
探究任务一：
(1) 如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的一个相等关系，是否能保证两个三角形全等？
(2) 如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的两个相等关系，是否能保证两个三角形全等？
【反思】（1）两个三角形只有一条边等或一个角等，两个三角形全等吗？
（2）两个三角形只有两条边等、两个角等或一边一角等，两个三角形全等吗？
探究任务二：(3) 如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的三个相等关系呢？
三条边， 两边一角， 两角一边， 三个角
【反思】（1）三边对应相等的两个三角形全等吗？
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等吗？
（3）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？
（4）三角对应相等的两个三角形全等吗？
探究任务三：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
【反思】任意画出一个Rt△ABC，使∠C=900，再画一个Rt△A’B’C’，使∠C’=900， B’C’ =BC， A’B’=AB。把画好的Rt△A’B’C’剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
【同步练习】
一、选择题
1．下列命题：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等；④经过平移得到的图形与原图形是全等形，其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法：①全等三角形的周长相等；②全等三角形的面积相等；③全等三角形中的公共边是对应边；④全等三角形中对应角所对的边是对应边、对应边所对的角是对应角．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
3．若△ABC与△DEF全等，A和E，B和D分别是对应点，则下列结论错误的是（ ）
A．BC=EF B．∠B=∠D C．∠C=∠F D．AC=EF
4．如图1，△ABC≌△CDA，AB=5，BC=7，AC=6，则AD边的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．不确定
(1) (2) (3)
5．如图2，△ABC≌△AED，AD与AC是对应边，∠B和∠E是对应角，则与∠DAC相等的角是（ ）
A．∠ACB B．∠CAE C．∠BAE D．∠BAC
二、填空题
6．如图3，把△ABD沿BD翻折到△CBD的位置，使A与C重合，则△ABD_______△CBD，其对应角为__________，对应边为_____________．
7．如图4，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=________cm．
(4) (5) (6)
8．如图5，若△ABC≌△EBD，且BD=4cm，∠D=60°，则∠ACE=_______°，BC=________cm．
三、解答题
9．如图6，△ABC与△DFE是全等三角形，其中A和D、B和E是对应点．
（1）用符号“≌”表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）．
（2）写出图中相等的线段和相等的角．
（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．
10．如图，△ABC和△CDA相等，AB与CD、BC与DA分别是对应边，
（1）请说出对应角和另外的一组对应边．
（2）由对应边找对应角，由对应角找对应边有什么规律？
（3）如果知道两对对应顶点，怎样确定对应边和对应角？
【试题答案】
1．B 2．A 3．A 4．C 5．C
6．≌；∠A与∠C、∠ABD与∠CBD、∠ADB与∠CDB；AB与CB、AD与CD、BD与BD
7．5 8．120；4
9．①△ABC≌△DEF；
②AB=DE、AC=DF、BC=EF、BF=EC，∠A=∠D、∠B=∠E、∠ACB=∠DFE、∠ACE=∠DFB；
③AC∥DF、AB∥DE
10．①∠BAC与∠DCA、∠ACB与∠CAD、∠B与∠D，AC与CA；
②对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边；
③以对应顶点为顶点的角是对应角，对应顶点所对的边是对应边。
12.1全等三角形
年 级
八年级
学 科
数学
版 本
人教版
课程标题
12.1全等三角形
【课程解读】
一、学习目标：
1. 通过实例理解全等图形的概念和特征，并能找出全等图形。
2. 能叙述全等三角形的定义及相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角。
3. 掌握全等三角形的性质，会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。
二、重点难点：
重点是全等三角形的概念，难点是全等三角形的对应顶点要对应写，对应关系要明确。
【知识梳理】
1. 全等三角形的基本概念:
(1) 全等形的定义: 能够完全重合的两个图形叫做全等形。
(2) 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。
(3)全等三角形的表示方法：△ABC ≌ △A’B’C
2. 全等三角形的性质：
(1) 全等三角形的对应边相等；
(2) 全等三角形的对应角相等。
【典型例题】
知识点一：全等三角形的基本概念
例1：下列说法正确的有（ ）
① 用一张底片冲洗出来的10张一寸相片是全等形
② 我国国旗上的4颗小五星是全等形
③ 所有的正方形是全等形
④ 全等形的面积一定相等
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路分析：
1）题意分析：本题主要考查全等三角形定义中对“能够重合”的理解。
2）解题思路：根据全等三角形的定义：“能够完全重合的两个图形叫做全等形。”来判断题目中每一句话中所谈到的图形是否能完全重合。
解答过程： 用一张底片冲洗出来的10张一寸照片的形状和大小完全相同，它们是全等形，所以①正确；我国国旗上的四颗小五星的形状和大小也完全相同，它们也是全等形；所以②正确；所有的正方形只是形状相同，但大小不一定相同，所以它们不是全等形，所以③不正确；全等形的形状和大小完全相同，所以面积一定相等，所以④正确。因此，①②和④是正确的，故选C。
解题后的思考：在判断全等形或全等三角形时，一定要个根据定义，看我们所要判断的图形是否能够重合。
例2： 已知：如图2，△ABD ≌ △CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（ ）
A．DB B．BC C．CD D．AD
图2
B
思路分析：
题意分析：本题一方面考查全等三角形的概念，另一方
面考查全等三角形的对应顶点、对应边、对应角是否对应。本题通过给出条件AB∥CD，得出∠ADB=∠CBD，从而得出点D和点B是对应点。
解题思路：由于AB和DB、BC、AD都不可能相等，所以不可能是对应边。
解答过程：由于对应边一定是全等三角形能够重合的边，所以对应边一定相等才可能重合，而DB、BC、AD都不等于AB，所以都不是AB的对应边，所以，AB的对应边是CD。答案选(C)。
解题后的思考：本题主要考查全等三角形的定义及全等三角形各顶点的对应关系。
例3：观察图3中的个各个图形，其中的全等图形为（图形用编号表示）： 。
思路分析：
图3
题意分析： 全等形是指能够完全重合的两个图形，目前要判断两个图形是否全等，一般是通过观察法，看它们经过平移、翻折、旋转之后能不能完全重合。
解题思路：判断图形是否全等，一般要通过平移、旋转、翻折后看其是否完全重合，在解答本题时，首先找出同类图形，然后看其能否通过平移、旋转、翻折后完全重合。
解答过程：(1)和(6)通过平移能够重合，所以 (1)和(6)是全等形；(2)和(5)通过翻折、平移后能够重合，所以(2)和(5)是全等形；(3)和(8)是通过旋转、平移后能够重合，所以(3)和(8)是全等形。因此，本题中的全等形为(1)和(6)，(2)和(5)，(3)和(8)。
解题后的思考：本题一方面考虑到全等形的定义：“能够完全重合的两个图形叫全等形。”另一方面，应考虑到网格图、简笔画图的全等图形，一般都是通过对图形的平移、旋转、翻折得到的。
小结：本题组主要考查了全等形的基本概念，在判断图形是否能够重合时，一般要通过平移、翻折、旋转后看其是否能够重合。初步给学生渗透初中平面几何中的三种全等变换的意识。
知识点二：全等三角形的性质
例1：如图4，已知⊿ABD≌⊿ACE，AB=AC，写出这对全等三角形的对应边和对应角。
思路分析：
1）题意分析：要写出全等三角形的对应边和对应角，首先要判断出两个三角形能够重合的边和能够重合的角。另外，要注意在全等三角形中，对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。
2）解题思路：在⊿ABD与⊿ACE中，AB=AC，所以AB与AC是对应边，它们所对的角是对应角，即∠ADB与∠AEC是对应角，∠A是公共角，所以∠A与∠A是对应角，剩下的∠B与∠C对应，这些对应角所对应的边是对应边，所以，AD与AE对应，BD与CE对应。
解答过程： 因为AB=AC，所以∠ADB与∠AEC是对应角，因为∠A=∠A，所以∠A与∠A是公共角，根据三角形的内角和定理1800-∠A-∠ADB =1800-∠A-∠AEC，可得∠B=∠C，所以∠B与∠C是对应角；根据对应角所对的边是对应边，可以知道，AD与AE是对应边，BD与CE对应边。综上可得，∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C是对应角，AB与AC，BD与CE，AD与AE是对应边。
解题后的思考：本题除了运用前面介绍的方法外，也可用简便的方法来找。对照图4发现条件中的⊿ABD≌⊿ACE是按照对应顶点的顺序写的，所以可按顺序⊿ABD≌⊿ACE写出它们的对应边：AB与AC，BD与CE，AD与AE；对应角：∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C。
例2：如图5，
已知⊿ABE≌⊿ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。
思路分析：
1）题意分析： 已知两个三角形⊿ABE和⊿ACD全等，同时知道了两对角∠1与∠2，∠B与∠C等，要找出其他的对应边和对应角。
2）解题思路：先将两个全等的三角形分离出来，通过观察，找出能够重合的边和角。
解答过程： 将两个全等的三角形⊿ABE和⊿ACD分离出来，如图5，因为∠1=∠2，∠B=∠C，所以另一组对应角为∠BAE=∠CAD；又因为∠B和∠C的对边分别是AE，AD，∠1和∠2的对边分别是AB和AC，所以它们的对应边为AB与AC，AE与AD，BE与CD。
解题后的思考：在复杂图形中找全等三角形的对应边，对应角时，首先要把两个全等的三角形从图形中分离出来，再通过平移、翻折、旋转后找出对应顶点，从而找出对应边，对应角。
(变式)如图6，⊿ABD≌⊿ACE，
试说明∠EBD与∠DCE的关系。
思路分析：
1）题意分析： 已知两个三角形⊿ABD和⊿ACE全等，要求∠EBD与∠DCE的关系，注意找出这两个角与已知全等三角形对应角的关系。
2）解题思路：利用全等三角形的对应角相等得到∠D与∠E，再利用对顶角相等得到∠DOC=∠BOE，再利用三角形的内角和等于1800及等式性质得到∠EBD=∠DCE。
解答过程： 因为⊿ABD≌⊿ACE，所以∠D=∠E。又因为∠DOC=∠BOE，所以1800-∠D-∠DOC=1800-∠E-∠BOE。即∠EBD=∠DCE。
解题后的思考：在解决这类问题时，一定要仔细辨析图形，找准全等三角形中的对应元素，并应用全等三角形的性质解决相关问题。
例3：如图7，⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于M、N，有如下结论：
① ⊿ACE≌⊿DCB；②CM=CN；③AC=DN，其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
思路分析：
1） 题意分析：已知两个等边三角形，用学过的方法，即全等三角形的定义判断两个三角形
⊿ACE≌⊿DCB ，同理可以判断另外两个三角形⊿MCE≌⊿NCB，从而得出CM=CN。
2）解题思路：由⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，得到CA=CD，CB=CE，且∠ACD=∠ECB=600，从而想到把⊿ACE绕点C旋转600后与⊿DCB重合，把⊿MCE绕点C旋转600后与⊿NCB重合。进一步得到⊿ACE≌⊿DCB，⊿MCE≌NCB。进而得出结论①和②正确；由于CM=CN，∠MCN=600，所以，⊿CMN是等边三角形，所以，⊿CDN不是等边三角形，所以CD≠DN，所以AC≠DN。
解答过程： ∵⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形，
∴CA=CD，CE=CB，∠ACD=∠ECB=600，
∴到把⊿ACE绕点C旋转600后与⊿DCB重合
∴⊿ACE≌⊿DCB
∴∠AEC=∠DBC
∵∠DCN=600，∠BCN=∠ECM=600，
∴1800-∠AEC-∠DCE=1800-∠DBC-∠ECB
∴∠CME=∠CNB
又因为CE=CB
∴把⊿MCE绕点C旋转600后与⊿NCB重合
∴ ⊿MCE≌⊿NCB
∴CM=CN
∴选B。
解题后的思考：在没有学习全等三角形的判定方法之前，要会运用全等三角形的定义判定三角形全等，从而根据全等三角形的性质得到全等三角形的对应边等，对应角等，在运用定义判断三角形全等时，会灵活运用平移、旋转、轴对称这三种几何变换，注意经过平移、旋转、轴对称后的图形与原图形是全等形。
例4：如图8，⊿ABC绕顶点A顺时针旋转，若∠B=200，∠C=500。
(1) 顺时针旋转多少度时，旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上；
(2) 在继续旋转多少度时，C，A，C’在同一直线上（原⊿ABC是指开始位置）。
思路分析：
1）题意分析：已知在⊿ABC中，∠B=200，∠C=500，
要求⊿ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时，使得点C’落在线段AB上。第二问要使得C，A，C’在同一直线上，即
AC’落在CA的延长线上。
2）解题思路：要求⊿ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时，使得点C’落在线段AB上，则关键应抓住三角形中的重要线段AC绕A点顺时针旋转多少度时，使得AC’落在AB上，即∠CAC’,根据三角形的内角和求出∠CAC’的度数即可。第二问，要使得C，A，C’在同一直线上，即使得∠CAC’成为一个平角。如图10所示。
解答过程：
(1)如图9所示：
∵∠B=200，∠C=500，且∠B+∠C+∠CAB=1800
∴∠CAB=1800-200-500=1100
∴⊿ABC绕顶点A顺时针旋转1100时，旋转后的⊿A’B’C’的顶点C’与原三角形ABC的顶点B和A在同一直线上。
(2)如图10所示：
∵C，A，C’在同一直线上
∴∠CAC’=1800
1800-1100=700
∴⊿ABC绕顶点A继续旋转700时，C，A，C’在同一直线上。
解题后的思考：在运用旋转变换时，注意对应线段的夹角即为旋转的角度。
例5：如图11，若⊿ABC≌⊿DCB，且A与D，B与C是对应点，进行怎样的图形变换可使这两个三角形重合呢？
思路分析：
1）题意分析：已知两个全等三角形的边角对应关系，判断怎样运用几何变换的方法，使得这两个三角形重合。
2）解题思路：根据两个全等三角形的边角对应关系，首先将⊿ABC沿BC翻折1800，再把⊿ABC绕点C旋转1800，最后将⊿ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位就可使得两个三角形重合。
解答过程：先将⊿ABC沿BC翻折1800，如图12，再将⊿ABC绕点C旋转1800，如图13，最后将⊿ABC沿着直线BC向左平移|BC|个单位长度，如图14，⊿ABC和⊿DCB重合。
解题后的思考：根据两个全等三角形边、角的对应关系，根据两个三角形的位置关系，正确地选择适当的变换，将两个三角形变换到如图14所示的重合位置。
小结：本题组主要考查了全等三角形的基本性质，在运用全等三角形的基本性质时，其关键是找对应边，对应角，找对应边和对应角通常有以下几种方法：
① 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
② 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
③ 有公共边的，公共边是对应边；
④ 有公共角的，公共角是对应角；
⑤ 有对顶角的，对顶角是对应角；
⑥ 两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。
【提分技巧】
本节课在讲述全等三角形概念时，充分强调了能够重合；在讲述全等三角形的性质时，充分强调对应。注意：对应边，对应角，对边，对角，夹边，夹角容易混淆。对应边或对应角是对对应的两个三角形说的，是两条边之间或两个角之间的关系，而对边、对角是对同一个三角形中的边和角说的，对边是对某个角说的，对角是对某条边说的，夹边是已知两个角的公共边，夹角是已知两条边所形成的角。
【预习导学】
一、预习新知
1. 如果△ABC≌△A'B'C'，A与A'是对应顶点，AB与A'B'是对应边.
请找出其它的对应顶点、对应边和对应角.
2． 由第一题可以知道，若两个三角形全等，则有三对对应边相等，三对对应角相等。
即AB=A'B' ， BC=B'C' ， AC=A'C' ，
∠A=∠A' ， ∠B=∠B' ， ∠C=∠C'
请问: 如果两个三角形满足上述条件中的部分相等关系，能保证两个三角形全等吗？
三条边， 两边一角， 两角一边， 三个角
二、预习点拨
探究与反思
探究任务一：
(1) 如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的一个相等关系，是否能保证两个三角形全等？
(2) 如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的两个相等关系，是否能保证两个三角形全等？
【反思】（1）两个三角形只有一条边等或一个角等，两个三角形全等吗？
（2）两个三角形只有两条边等、两个角等或一边一角等，两个三角形全等吗？
探究任务二：(3) 如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的三个相等关系呢？
三条边， 两边一角， 两角一边， 三个角
【反思】（1）三边对应相等的两个三角形全等吗？
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等吗？
（3）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？
（4）三角对应相等的两个三角形全等吗？
探究任务三：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
【反思】任意画出一个Rt△ABC，使∠C=900，再画一个Rt△A’B’C’，使∠C’=900， B’C’ =BC， A’B’=AB。把画好的Rt△A’B’C’剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
【同步练习】
一、选择题
1．下列命题：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等；④经过平移得到的图形与原图形是全等形，其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法：①全等三角形的周长相等；②全等三角形的面积相等；③全等三角形中的公共边是对应边；④全等三角形中对应角所对的边是对应边、对应边所对的角是对应角．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
3．若△ABC与△DEF全等，A和E，B和D分别是对应点，则下列结论错误的是（ ）
A．BC=EF B．∠B=∠D C．∠C=∠F D．AC=EF
4．如图1，△ABC≌△CDA，AB=5，BC=7，AC=6，则AD边的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．不确定
(1) (2) (3)
5．如图2，△ABC≌△AED，AD与AC是对应边，∠B和∠E是对应角，则与∠DAC相等的角是（ ）
A．∠ACB B．∠CAE C．∠BAE D．∠BAC
二、填空题
6．如图3，把△ABD沿BD翻折到△CBD的位置，使A与C重合，则△ABD_______△CBD，其对应角为__________，对应边为_____________．
7．如图4，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，AD=5cm，则BC=________cm．
(4) (5) (6)
8．如图5，若△ABC≌△EBD，且BD=4cm，∠D=60°，则∠ACE=_______°，BC=________cm．
三、解答题
9．如图6，△ABC与△DFE是全等三角形，其中A和D、B和E是对应点．
（1）用符号“≌”表示这两个三角形全等（要求对应顶点写在对应位置上）．
（2）写出图中相等的线段和相等的角．
（3）写出图中互相平行的线段，并说明理由．
10．如图，△ABC和△CDA相等，AB与CD、BC与DA分别是对应边，
（1）请说出对应角和另外的一组对应边．
（2）由对应边找对应角，由对应角找对应边有什么规律？
（3）如果知道两对对应顶点，怎样确定对应边和对应角？
【试题答案】
1．B 2．A 3．A 4．C 5．C
6．≌；∠A与∠C、∠ABD与∠CBD、∠ADB与∠CDB；AB与CB、AD与CD、BD与BD
7．5 8．120；4
9．①△ABC≌△DEF；
②AB=DE、AC=DF、BC=EF、BF=EC，∠A=∠D、∠B=∠E、∠ACB=∠DFE、∠ACE=∠DFB；
③AC∥DF、AB∥DE
10．①∠BAC与∠DCA、∠ACB与∠CAD、∠B与∠D，AC与CA；
②对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边；
③以对应顶点为顶点的角是对应角，对应顶点所对的边是对应边。
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