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苏科版九年级上册1.1 一元二次方程课时训练
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这是一份苏科版九年级上册1.1 一元二次方程课时训练，共18页。试卷主要包含了3～1等内容，欢迎下载使用。
- 2021年暑假预习提升训练-九年级数学 苏科版上册
一、选择题
1、关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根
2、关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1
3、若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．C．D．
4、如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
5、已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
6、下列方程：①2x2﹣1=0，②3x2=﹣3，③x2+5x﹣7=0，④2x2+3x+8=0．无实数根的是（ ）
A．①②③④B．①③C．②④D．②③④
7、已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A．2B．4C．﹣6D．﹣4
8、为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C．D．
9、如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝375
10、如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
二、填空题
11、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
12、关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．
13、已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．
14、设a、b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为___________．
15、已知、是方程的两个根，则______，________．
16、设，是方程的两实数根，则的值是___________．
17、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．
18、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．
19、一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．
20、某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为__________．
三、解答题
21、已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根时，
求Rt△ABC的面积．
22、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ．
（1）若m为正整数，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求代数式的值．
23、已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
24、已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12﹣2kx1﹣x2+ 2x1x2=4，求k的值．
25、一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
26、某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台．若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
27、2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
28、已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
1.3～1.4判别式、根与系数的关系及一元二次方程应用题（解析）
- 2021年暑假预习提升训练-九年级数学 苏科版上册
一、选择题
1、关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】先写出的值，计算的值进行判断.
【解析】
方程有两个不相等的实数根,故选A
2、关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，解得：m≥0且m≠1．故选C．
3、若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到答案
【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：；故选择：D.
4、如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
【答案】B
【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可．
【解析】 解得
∴k的最大整数值是-2 故选：B．
5、已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
【解析】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，这里a=1，b=-2，c=0，b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
6、下列方程：①2x2﹣1=0，②3x2=﹣3，③x2+5x﹣7=0，④2x2+3x+8=0．无实数根的是（ ）
A．①②③④B．①③C．②④D．②③④
【答案】C
【分析】逐一求出四个方程的根的判别式△的值，取△为负值的方程即可．
【解答】解：①2x2﹣1=0中△=02﹣4×2×（﹣1）=8＞0，此方程有两个不相等的实数根；
②3x2=﹣3，即x2=﹣1＜0，此方程没有实数根；
③x2+5x﹣7=0中△=52﹣4×1×（﹣7）=53＞0，此方程有两个不相等的实数根；
④2x2+3x+8=0中△=32﹣4×2×8=﹣55＜0，此方程没有实数根；
故选：C．
7、已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A．2B．4C．﹣6D．﹣4
【答案】B
【分析】根据两根之和为2即可求另外一根.
【解析】解：设方程的另一根为a，
∵﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴﹣2+a＝，解得a＝4．故选：B．
8、为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【提示】根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得67500（1＋x）2＝90000，
故选：B．
9、如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝375
【答案】A
【提示】设栅栏AB的长为x米，根据AD＋AB＋BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．
【详解】解：设栅栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，x（55﹣x）＝375，
故选：A．
10、如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
【答案】（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24
【提示】设道路的宽为x，把草坪平移到一起，可以拼成矩形，矩形的两边分别为（18﹣x）、（24﹣x），根据题意列方程即可．
【详解】解：设道路的宽为x，根据题意得：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
故答案是：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
二、填空题
11、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
【答案】k≤5
【解析】由题意得，42-4×1×（k-1）≥0,解之得k≤5.
12、关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．
【答案】-2
【解析】根据题意得：a+1≠0且△=（-2）2-4×（a+1）×3≥0，解得a≤且a≠－1，
所以整数a的最大值为－2．故答案为－2．
13、已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．
【答案】
【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．
【解析】由根与系数的关系得：m+n=，mn=，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=，故答案为．
14、设a、b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为___________．
【答案】2018
【分析】由根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b=-1，再变形a2+a-2019=0后代入，即可求出答案.
【解析】解：由根与系数的关系可得：a+b=-1 由题意可得：a2+a-2019=0，即a2+a=2019
a2＋2a＋b=（a2＋a）+（a＋b） =-1+2019=2018 故答案为2018.
15、已知、是方程的两个根，则______，________．
【答案】
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系：再把变形后整体代入即可得到答案．
【解析】解： 、是方程的两个根，
故答案为：
16、设，是方程的两实数根，则的值是___________．
【答案】2020
【分析】根据，是的两个实数根可得：，，根据韦达定理可得：，由于，因此．
【解析】∵，是的两个实数根，代入可得：
∴, 根据韦达定理可得：
又∵
∴
故答案为：2020
17、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．
解：∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱，
∴平均每天可售出（100+20x）箱．
依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
18、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．
【答案】2．
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
19、一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．
【答案】
【提示】根据药品的原价及经过2次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：80（1-x）2=51.2，
故答案为：80（1-x）2=51.2．
20、某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为__________．
【答案】
【提示】设平均增长率为x，根据：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)2，根据题意即可列出方程.
【详解】设平均增长率为x，根据题意可列出方程为:400(1+x) 2=900.
解得:(1+x) 2=
所以1+x= ±1.5.
所以x1=0.5，x2=-2.5(舍去)
故x=0.5=50%.
即:则二、三季度的平均增长率为50%，
故答案为：50%.
三、解答题
21、已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根时，
求Rt△ABC的面积．
【答案】（1）m＜2；（2）
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根即可得到判别式大于0，由此得到答案；
（2）根据根与系数的关系式及完全平方公式变形求出ab，再利用三角形的面积公式即可得到答案.
【解析】（1）关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=4-4（m-1）＞0，解得m＜2；
（2）∵Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根，
∴a+b=2，a2+b2=()2=3 ， ∴(a+b)2-2ab=3， ∴4-2ab=3，∴ab=，
∴Rt△ABC的面积=ab=.
22、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ．
（1）若m为正整数，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求代数式的值．
【答案】（1）m=1；（2）．
【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m 取值范围；
（2）首先利用根与系数的关系得出x1+x2= -1，x1·x2=，再把要求的式子变形，代入求解即可．
【解析】（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即，解得m<2，∵m为正整数，∴m=1；
（2）由m=1，得，∵是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2= -1，x1·x2=，∴=．
23、已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系可得，，结合已知等式即可求出，从而求出，即可求出m的值．
【解析】解：根据题意得，，
因为，所以,所以，∴，
所以，所以
24、已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12﹣2kx1﹣x2+ 2x1x2=4，求k的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）本题可利用一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可．
（2）本题首先利用韦达定理求解以及，继而求解，将对应数值代入题目方程可得关于的一元二次方程，最后求解方程并根据的范围求解值．
【解析】（1）∵关于x的方程有两个实数根x1，x2，
∴，解上述不等式得：；
（2）∵关于x的方程有两个实数根x1，x2，∴，，
将两边同时乘可得：，
将代入上式可得：．
∵，∴，
整理上式并将对应数值代入可得：，
求解上述关于的一元二次方程可得：，，∵k，∴．
25、一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
【答案】这个两位数为36或63.
【提示】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=45，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】设个位数字为，则十位数字为.
得，
∴这个两位数为36或63.
26、某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台．若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
【答案】10．
【提示】先设减少x台生产线，求出x的取值范围，接下来通过相等关系列出方程求解即可．
【详解】解：设减少x台生产线
∵80×20％=16
∴
∴，即
解得：，（舍去），
所以应减少10条生产线．
27、2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【答案】（1）不是；8人；（2）729人
【提示】（1）设每人每轮传染人，根据经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程；解之，可得出的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1＋每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【详解】（1）设每人每轮传染人，
依题意，得：，得：，（不合题意，舍去），
又∵ 8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者”；他每轮传染的人数8人；
（2）81×（1＋8）＝729（人），
所以若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
28、已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析
【提示】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该方程的 与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【详解】解：（1）设经过x秒以后，面积为，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍，
答：1秒后的面积等于 ；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于
由，
即，
解得：t=3或-1(舍)，
∴3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，的面积等于，
即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
- 2021年暑假预习提升训练-九年级数学 苏科版上册
一、选择题
1、关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根
2、关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1
3、若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．C．D．
4、如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
5、已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
6、下列方程：①2x2﹣1=0，②3x2=﹣3，③x2+5x﹣7=0，④2x2+3x+8=0．无实数根的是（ ）
A．①②③④B．①③C．②④D．②③④
7、已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A．2B．4C．﹣6D．﹣4
8、为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C．D．
9、如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝375
10、如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
二、填空题
11、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
12、关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．
13、已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．
14、设a、b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为___________．
15、已知、是方程的两个根，则______，________．
16、设，是方程的两实数根，则的值是___________．
17、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．
18、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．
19、一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．
20、某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为__________．
三、解答题
21、已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根时，
求Rt△ABC的面积．
22、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ．
（1）若m为正整数，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求代数式的值．
23、已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
24、已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12﹣2kx1﹣x2+ 2x1x2=4，求k的值．
25、一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
26、某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台．若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
27、2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
28、已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
1.3～1.4判别式、根与系数的关系及一元二次方程应用题（解析）
- 2021年暑假预习提升训练-九年级数学 苏科版上册
一、选择题
1、关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】先写出的值，计算的值进行判断.
【解析】
方程有两个不相等的实数根,故选A
2、关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥0B．m＞0C．m≥0且m≠1D．m＞0且m≠1
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，解得：m≥0且m≠1．故选C．
3、若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到答案
【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：；故选择：D.
4、如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）
A．-3B．-2C．-1D．0
【答案】B
【分析】先根据根的判别式求出k的取值范围，再从中找到最大整数即可．
【解析】 解得
∴k的最大整数值是-2 故选：B．
5、已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.
【解析】x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，这里a=1，b=-2，c=0，b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
6、下列方程：①2x2﹣1=0，②3x2=﹣3，③x2+5x﹣7=0，④2x2+3x+8=0．无实数根的是（ ）
A．①②③④B．①③C．②④D．②③④
【答案】C
【分析】逐一求出四个方程的根的判别式△的值，取△为负值的方程即可．
【解答】解：①2x2﹣1=0中△=02﹣4×2×（﹣1）=8＞0，此方程有两个不相等的实数根；
②3x2=﹣3，即x2=﹣1＜0，此方程没有实数根；
③x2+5x﹣7=0中△=52﹣4×1×（﹣7）=53＞0，此方程有两个不相等的实数根；
④2x2+3x+8=0中△=32﹣4×2×8=﹣55＜0，此方程没有实数根；
故选：C．
7、已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（ ）
A．2B．4C．﹣6D．﹣4
【答案】B
【分析】根据两根之和为2即可求另外一根.
【解析】解：设方程的另一根为a，
∵﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴﹣2+a＝，解得a＝4．故选：B．
8、为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【提示】根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得67500（1＋x）2＝90000，
故选：B．
9、如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375D．x（55﹣x）＝375
【答案】A
【提示】设栅栏AB的长为x米，根据AD＋AB＋BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．
【详解】解：设栅栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，x（55﹣x）＝375，
故选：A．
10、如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
【答案】（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24
【提示】设道路的宽为x，把草坪平移到一起，可以拼成矩形，矩形的两边分别为（18﹣x）、（24﹣x），根据题意列方程即可．
【详解】解：设道路的宽为x，根据题意得：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
故答案是：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
二、填空题
11、若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是____．
【答案】k≤5
【解析】由题意得，42-4×1×（k-1）≥0,解之得k≤5.
12、关于 x 的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是_____________．
【答案】-2
【解析】根据题意得：a+1≠0且△=（-2）2-4×（a+1）×3≥0，解得a≤且a≠－1，
所以整数a的最大值为－2．故答案为－2．
13、已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=_____．
【答案】
【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．
【解析】由根与系数的关系得：m+n=，mn=，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=，故答案为．
14、设a、b是方程x2＋x－2019＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为___________．
【答案】2018
【分析】由根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b=-1，再变形a2+a-2019=0后代入，即可求出答案.
【解析】解：由根与系数的关系可得：a+b=-1 由题意可得：a2+a-2019=0，即a2+a=2019
a2＋2a＋b=（a2＋a）+（a＋b） =-1+2019=2018 故答案为2018.
15、已知、是方程的两个根，则______，________．
【答案】
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系：再把变形后整体代入即可得到答案．
【解析】解： 、是方程的两个根，
故答案为：
16、设，是方程的两实数根，则的值是___________．
【答案】2020
【分析】根据，是的两个实数根可得：，，根据韦达定理可得：，由于，因此．
【解析】∵，是的两个实数根，代入可得：
∴, 根据韦达定理可得：
又∵
∴
故答案为：2020
17、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．
解：∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱，
∴平均每天可售出（100+20x）箱．
依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
18、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为__s．
【答案】2．
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
19、一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．
【答案】
【提示】根据药品的原价及经过2次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：80（1-x）2=51.2，
故答案为：80（1-x）2=51.2．
20、某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为__________．
【答案】
【提示】设平均增长率为x，根据：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)2，根据题意即可列出方程.
【详解】设平均增长率为x，根据题意可列出方程为:400(1+x) 2=900.
解得:(1+x) 2=
所以1+x= ±1.5.
所以x1=0.5，x2=-2.5(舍去)
故x=0.5=50%.
即:则二、三季度的平均增长率为50%，
故答案为：50%.
三、解答题
21、已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根时，
求Rt△ABC的面积．
【答案】（1）m＜2；（2）
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根即可得到判别式大于0，由此得到答案；
（2）根据根与系数的关系式及完全平方公式变形求出ab，再利用三角形的面积公式即可得到答案.
【解析】（1）关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=4-4（m-1）＞0，解得m＜2；
（2）∵Rt△ABC的斜边长c=，且两直角边a和b恰好是这个方程的两个根，
∴a+b=2，a2+b2=()2=3 ， ∴(a+b)2-2ab=3， ∴4-2ab=3，∴ab=，
∴Rt△ABC的面积=ab=.
22、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ．
（1）若m为正整数，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求代数式的值．
【答案】（1）m=1；（2）．
【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m 取值范围；
（2）首先利用根与系数的关系得出x1+x2= -1，x1·x2=，再把要求的式子变形，代入求解即可．
【解析】（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即，解得m<2，∵m为正整数，∴m=1；
（2）由m=1，得，∵是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2= -1，x1·x2=，∴=．
23、已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系可得，，结合已知等式即可求出，从而求出，即可求出m的值．
【解析】解：根据题意得，，
因为，所以,所以，∴，
所以，所以
24、已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12﹣2kx1﹣x2+ 2x1x2=4，求k的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）本题可利用一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可．
（2）本题首先利用韦达定理求解以及，继而求解，将对应数值代入题目方程可得关于的一元二次方程，最后求解方程并根据的范围求解值．
【解析】（1）∵关于x的方程有两个实数根x1，x2，
∴，解上述不等式得：；
（2）∵关于x的方程有两个实数根x1，x2，∴，，
将两边同时乘可得：，
将代入上式可得：．
∵，∴，
整理上式并将对应数值代入可得：，
求解上述关于的一元二次方程可得：，，∵k，∴．
25、一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数.
【答案】这个两位数为36或63.
【提示】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=45，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】设个位数字为，则十位数字为.
得，
∴这个两位数为36或63.
26、某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台．若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
【答案】10．
【提示】先设减少x台生产线，求出x的取值范围，接下来通过相等关系列出方程求解即可．
【详解】解：设减少x台生产线
∵80×20％=16
∴
∴，即
解得：，（舍去），
所以应减少10条生产线．
27、2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【答案】（1）不是；8人；（2）729人
【提示】（1）设每人每轮传染人，根据经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程；解之，可得出的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1＋每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【详解】（1）设每人每轮传染人，
依题意，得：，得：，（不合题意，舍去），
又∵ 8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者”；他每轮传染的人数8人；
（2）81×（1＋8）＝729（人），
所以若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
28、已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？
（3）的面积能否等于？请说明理由．
【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析
【提示】（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该方程的 与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．
【详解】解：（1）设经过x秒以后，面积为，
此时，，，
由得，
整理得：，
解得：或舍，
答：1秒后的面积等于 ；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于
由，
即，
解得：t=3或-1(舍)，
∴3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，的面积等于，
即，，
整理得：，
由于，
则原方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
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