人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念当堂达标检测题

高一数学必修第一册同步练习（人教A版（2019））

第一章1.1集合的概念

一、单选题

1．下列各组对象中：①高一个子高的学生；②《高中数学》（必修）中的所有难题；③所有偶数；④全体著名的数学家.其中能构成集合的有（    ）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

2．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

3．已知, ，则

A． B．

C． D．

4．下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知，，若集合，则的值为（    ）

A．2 B．1 C．-2 D．-1

6．已知集合，设，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知命题“非空集合中的元素都是集合中的元素”是假命题，

那么下列命题中真命题的个数为

①中的元素都不是中的元素 ②中有不属于的元素

③中有属于的元素 ④中的元素不都是中的元素

A． B． C． D．

二、填空题

8．满足，且的集合M为______．（只需要写出一个满足条件的集合即可）

9．集合，则中元素的个数为______

10．已知集合且，则用列举法表示集合__________．

11．已知集合，则中元素的个数为_____

12．定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数.给出下列命题：①对于任意集合，都有；②存在集合，使得；③若，则；④若，则；⑤若，则.其中所有正确命题的序号为______.

13．已知集合 ，集合 满足①每个集合都恰有5个元素;② ．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为（），则 的最大值与最小值的和为_______.

三、解答题

14．试分别用描述法和列举法表示下列集合：

（1）方程的所有实数根组成的集合A；

（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.

15．试说明下列集合各表示什么？

；；

；；.

16．已知集合A是集合Pn＝{1，2，3， ，n} (n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f(n)．

（1）求f(3)，f(4)；

（2）求f(n)（用含n的式子表示）．

17．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：

(1)3∈A.

(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.

18．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．

（1）若，则中至少还有几个元素？

（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．

（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．

参考答案

1．A

【解析】①因为个子高没有明确的定义，故“高一个子高的学生”不能构成集合；

②因为难题没有明确的定义，故“《高中数学》（必修）中的所有难题”不能构成集合；

③所有的偶数是确定的，且都不一样，故“所有偶数”可构成集合；

④著名的数学家没有明确的定义，故“全体著名的数学家”不能构成集合.

即能构成集合的只有③.

故选：A.

2．B

【解析】分析可得，可以取1，2；可以取1，2；

又因为B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，

所以B中所含的元素有：，，；

故选B.

3．C

【解析】因为，所以；因为，所以，

故选C.

4．C

【解析】对①：是集合，也是集合，所以不能用这个符号，故①错误.

对②：是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.

对③：是集合，也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.

对④：是元素，是不含任何元素的空集，所以，故④错误.

对⑤：是元素，是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.

故选：C.

5．A

【解析】由题意，集合，可得，即，

所以，可得，解得，

所以,

即的值.

故选：A.

6．D

【解析】由题意得集合，则，

故选：D.

7．B

【解析】因为命题“非空集合中的元素都是集合中的元素”是假命题，所以

中有不属于的元素，也可能有属于的元素，故②④为真命题，故选

B.

8．.

【解析】由题意知：，又，

∴当时，；当时，.

∴集合M为可以为或.

故答案为：.

9．4

【解析】，

,

集合中的元素的个数为4个.

故答案为：4.

10．

【解析】当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，

当且时，   

故答案为

11．6

【解析】由题意，集合，

利用列举法，经验证可得都是集合元素，

即集合，

所以A中元素的个数为6.

故答案为6.

12．①④⑤

【解析】由的定义可知①正确，④正确，

设，则，∴②错误，

若，则，③不正确；

，即中元素比中元素多1个，

则.⑤正确，

故答案为：①④⑤.

13．96

【解析】易知，当

的最大值为57.

当

的最小值为39.

故答案为96

14．（1）；（2）.

【解析】（1）设，则x是一个实数，且.

因此，用描述法表示为.

方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为.

（2）设，则x是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为.

15．答案见解析

【解析】表示的取值集合，由知：，；

表示的取值集合，由知：或，或；

的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集；

的代表元素为，由知：，

表示直线上除了以外的点构成的点集；

表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.

表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.

16．（1）f(3)＝1，f(4)＝2；（2）见解析.

【解析】（1）根据题意，易得P3＝{1，2，3}，∴f（3）＝1，P4＝{1，2，3，4}，满足条件的子集有：{1，2，3}、{2，3，4}，∴f（4）＝2；

（2）设A0＝{m|m＝3p，p∈N*，p≤}，A1＝{m|m＝3p﹣1，p∈N*，p≤}，A2＝{m|m＝3p﹣2，p∈N*，p≤}，

它们所含元素的个数分别记为|A0|，|A1|，|A2|．

①当n＝3k时，则|A0|＝|A1|＝|A2|＝k．

k＝1，2时，f（n）＝（）3＝k3；

k≥3时，f（n）＝3+（）3＝k3﹣k2+k，

从而f（n）＝n3﹣n2+n，n＝3k，k∈N*．

②当n＝3k﹣1时，则|A0|＝k﹣1，|A1|＝|A2|＝k．

k＝2时，f（n）＝f（5）＝2×2×1＝4；

k＝3时，f（n）＝f（8）＝1+1+3×3×2＝20；

k＞3时，f（n）＝+2+＝k3﹣3k2+k﹣1；

从而f（n）＝n3﹣n2+n﹣，n＝3k﹣1，k∈N*．

③当n＝3k﹣2时，|A0|＝k﹣1，|A1|＝k﹣1，|A2|＝k．

k＝2时，f（n）＝f（4）＝2×1×1＝2；

k＝3时，f（n）＝f（7）＝1+3×2×2＝13；

k＞3时，f（n）＝2++＝k3﹣k2+5k﹣2；

从而f（n）＝n3﹣n2+n﹣，n＝3k﹣2，k∈N*．

所以f（n）＝．

17．(1)见解析（2）见解析

【解析】（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．

证明：(1)令，，则，所以.

(2)假设，则存在，，使成立．

①当，同奇或同偶时，，均为偶数，所以为4的倍数与不是4的倍数矛盾．

②当，一奇一偶时，，均为奇数，所以为奇数，与是偶数矛盾．

所以假设不成立．

综上，.

18．（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）．

【解析】（1），．

，．

，．

中至少还有两个元素为，；

（2）不是双元素集合．理由如下：

，，，

由于且，，则，

则，可得，由，即，可得，

故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．

（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），

且，

设中有一个元素为，则，，且，

所以，，且集合中所有元素之积为.

由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，

设或，解得（舍去）或或．

此时，，，，

由题意得，整理得，

即，解得或或，

所以，．