初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形课堂检测

2.6  直角三角形(二)

A组

1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)

A． ∠A＋∠B＝∠C

B． ∠A＝2∠B＝2∠C

C． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3

D． ∠A＝∠B＝3∠C

2．已知一个三角形的其中一个角等于另两个角的差，则这个三角形一定是直角三角形．

(第3题)

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是__2__．

4．等腰三角形一腰上的高线等于这条腰的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为30°或150°．

5．在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，最小角∠A＝30°，最长边的中线为8 cm，则最短边的长为__8__cm．

6．直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5 cm和6 cm，则它的面积为__30__cm2．

7．如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C．求证：△ABD是直角三角形．

(第7题)

【解】　∵CE⊥AD，

∴∠CED＝90°，

∴∠C＋∠D＝90°．

又∵∠A＝∠C，

∴∠A＋∠D＝90°，

∴△ABD是直角三角形．

8．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：△PEF是直角三角形．

(第8题)

【解】　∵AB∥CD，

∴∠BEF＋∠DFE＝180°．

∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，

∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，

∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°．

∴△PEF是直角三角形．

B组

(第9题)

9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是__10__．

【解】　∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴AE垂直平分BC．

∵BC＝8，∴BE＝4．

∵D是AB的中点，

∴AD＝BD＝DE＝AB＝3．

∴C△BDE＝BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10．

 (第10题)

10．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝____．

【解】　∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠ACB＝60°．

∵AD＝BE，∴CE＝BD．

在△ACE和△CBD中，

∵

∴△ACE≌△CBD(SAS)．∴∠CAE＝∠BCD．

∴∠AFG＝∠CAF＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°．

∵AG⊥CD，∴∠FAG＝30°．∴＝．

(第11题)

11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是对角线AC，BD的中点，连结MN．

(1)试猜想MN与BD的位置关系，并证明你的结论．

(2)如果∠BCD＝45°，BD＝2，求MN的长．

【解】　(1)MN⊥BD．证明如下：

连结BM，DM．

∵∠ADC＝90°，M是AC的中点，

∴AC＝2DM＝2CM．

同理，AC＝2BM＝2CM，∴BM＝DM．

∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．

(2)由(1)，得BM＝CM，DM＝CM，

∴∠BCM＝∠CBM，∠DCM＝∠CDM．

∵∠AMB是△BCM的一个外角，

∴∠AMB＝∠BCM＋∠CBM＝2∠BCM．

同理，∠AMD＝2∠DCM．

∵∠BCD＝45°，∴∠BCM＋∠DCM＝45°．

∴∠BMD＝∠AMB＋∠AMD＝2(∠BCM＋∠DCM)＝90°．∴△BMD是直角三角形．

∵N是BD的中点，BD＝2，∴MN＝BD＝1．

12．如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．

 (第12题)

【解】　∵BF是△ABC的角平分线，

∴∠ABF＝∠CBF．

∵AD是△ABC的高线，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CBF＋∠BED＝90°．

∵∠1＝∠2＝∠BED，∴∠ABF＋∠2＝90°，

∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．

(第13题)

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，连结DF．求证：AB垂直平分DF．

【解】　∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CAD＋∠CDE＝90°．

∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°．

∴∠CDE＋∠DCE＝90°．

∴∠CAD＝∠DCE，即∠CAD＝∠BCF．

∵BF∥AC，∴∠CBF＋∠ACB＝180°，

∴∠CBF＝180°－∠ACB＝90°．

∴∠CBF＝∠ACD．

在△ACD和△CBF中，∵

∴△ACD≌△CBF(ASA)．

∴CD＝BF．

∵D为BC的中点，

∴CD＝BD，∴BD＝BF．

∵BF∥AC，

∴∠ABF＝∠CAB＝∠DBA＝45°．

∴AB垂直平分DF．

数学乐园

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，CD平分∠ACB，点E在AC上，且AE＝AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O．求证：BF＝2AD．

(第14题)

导学号：91354012

【解】　连结DF，过点D作DG⊥BC于点G．

∵∠A＝90°，AD＝AE，AB＝AC，

∴∠ADE＝∠AED＝45°，∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，

∴∠EDC＝∠BCD．

∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD．

∴∠EDC＝∠ACD．∴DE＝EC．

∵EF⊥CD，∴EF垂直平分CD．

∴FD＝FC．∴∠FDC＝∠FCD．

∴∠FDC＝∠ACD．∴DF∥AC．

∴∠DFB＝∠ACB＝45°．

∴∠B＝∠BFD＝45°．

∴BD＝DF，∠BDF＝90°．

∴△DBF为等腰直角三角形．

∵DG⊥BF，∴DG为斜边BF上的中线，

∴DG＝BF．

∵CD平分∠ACB，∠A＝∠DGC＝90°，

∴AD＝DG．∴AD＝BF，即BF＝2AD．