数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程课后测评

直线的方程

考向一  求直线的方程

1、根据条件写出下列直线的斜截式方程.

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

（3）斜率为，与轴交点的横坐标为－2；

（4）直线过和

答案：（1） ；（2） （3）（4）

解析：　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为.

(2)∵倾斜角为150°，∴斜率.

由斜截式可得方程为.

（3）由直线与轴交点的横坐标为－2，得直线过点(－2,0)．又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为．

（4）因为直线过点和，由两点式方程，得，即，可化为．

2、求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程。

答案：

解析：设直线在轴和轴上的截距分别为。

①当时，设的方程为。

∵点在直线上，∴，

若，则，直线方程为。

若，则，

此时直线的方程为。

②当时，直线过原点，且过点，

∴直线的方程为。

综上所述，所求直线方程为。

备注：用截距式求直线方程的步骤：

（1）由已知条件确定横、纵截距；

（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＝1中，可得所求的直线方程。

3、直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：

(1)的周长为12；

(2)的面积为6.

若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【解析】设直线方程为，

若满足条件(1)，则 ①

又∵直线过点，∴. ②

由①②可得，

解得或

∴所求直线的方程为，

即.

若满足条件(2)，则， ③

由题意得： ， ④

由③④整理得，

解得或

∴所求直线的方程为，

即.

综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为.

考向二  直线的性质

1、直线在轴上的截距是（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】B

【解析】在中，令可得即在轴上截距为，

故选B．

2、直线的图象可能是（     ）

答案：

解析：由题意知，故不选;又斜率与截距同号，故选

3、如图所示，已知直线，直线，则它们的图象可能为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，直线中，，而直线，不符合题意；

对于B，直线中，，而直线，，不符合题意；

对于C，直线中，，而直线，，符合题意；

对于D，直线中，，而直线，不符合题意；

故选：C．

4、若直线与两坐标轴都相交，则有（　　）

A．  B．

C． D．

答案：A

解析：若直线与两坐标轴都相交，则直线的斜率存在且不为0，及都不为0.

备注：对于直线的一般式方程，

5、已知两直线的方程分别为，它们在坐标系中的位置如图所示，则(　　)

A.

B.

C.

D.

【答案】　C

【解析】　由题图可知直线的斜率都大于0，

即

又的纵截距，的纵截距，

，故选C.

6、若直线在轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则(　　)

A．  B．

C．  D．

答案：选D

解析：　对于直线，令得，即，.

因为的斜率为，直线的倾斜角是直线的2倍，所以直线的倾斜角为，即.

7、设直线的方程为。

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

（2）是否存在实数，使直线不经过第二象限？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案：（1）或（2）

解析：（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，即截距相等，

∴时满足条件，此时的方程为；

当时，直线平行于轴，在轴无截距，不合题意；

当时，由，

即。

此时直线在轴和轴上的截距都为－2，的方程为。

综上，直线的方程为或时，在两坐标轴上的截距相等。

（2）假设存在实数，使直线不经过第二象限。将的方程化为，

则有解得。

【总结提升】（1）在解方程中忽视的情形；（2）忽视直线经过原点的情形。

解答此类综合问题，常采用分类讨论（或数形结合）的思想求解。解题时应结合具体问题选好切入点，以防增（漏）解。

考向三  定点问题

1、直线必过定点________.

答案：

解析：将直线方程变形为，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为，过定点.

2、设直线的方程为，则直线经过定点　    　；若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为　　．

【答案】，或

【解答】解：①直线的方程为，化为：，联立 ，解得．则直线经过定点．

②直线经过原点时，直线方程为：．

直线不经过原点时，设直线方程为：．把代入可得．可得直线的方程为：．

综上可得直线l的方程为：或．

故答案为：，或．

3、设，则直线恒过定点           ．

【答案】  变化为 对于任何都成立，则

4、无论 取何值，直线 必过定点________．

答案：

解析：直线 ．
即 ．
由
求得 ，，可得直线经过定点 ．

5、已知，若不论为何值时，直线总经过一个定点，则这个定点的坐标是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由直线，知．

不论为何值时，直线总经过一个定点，即有无数个解，

且，

，，

这个定点的坐标是．

故选C．

6、已知直线

（1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点．

（2）为使直线不经过第二象限，求实数取值范围．

（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）直线方程可整理为：，

联立 ，解得 ，

∴直线恒过定点；

（2）∵，

当时， ，满足题意，

当时，

∴ ，

∵直线不经过第二象限，∴ ，

解得．

∴实数的取值范围是；

（3）由题意可知直线的斜率，解得 ，

令可得 ，令可得．

∴，

对于函数其对称轴为 ，当时，此时函数取最小值，且为负数，为

所以函数的范围为 ，

∴的面积有最小值，当时取最小值．

此时的方程为：．

考向四  直线与其他知识相结合

1、若直线：交轴负半轴于，交轴正半轴于，则当的面积取最小值时直线的方程为(　　)

A．  B．

C．   D．

答案：选B

解析　由的方程，得依题意得，解得.因为，当且仅当，即时等号成立．此时的方程为.

2、若直线过点，则该直线在轴和轴上的截距之和的最小值为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．4   D．8

答案：选C

解析　∵直线过点，

∴，即 ，

∴ a＋b＝(a＋b)，

当且仅当时上式等号成立．

∴直线在轴和轴上的截距之和的最小值为4.

3、当时，直线与和两坐标轴围成一个四边形，问取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．

【答案】当时，。

【解答】解：如图，由已知，．

∴都过定点，且的纵截距为，

的横截距为．

∴四边形面积，

又，故当时，．

【点评】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．