高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆达标测试

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椭圆的几何性质考向一  椭圆的简单几何性质 1、已知椭圆，则(　　)A．与顶点相同              B．与长轴长相同C．与短轴长相同            D．与焦距相等【答案】D 2、已知是椭圆的两个焦点,过且垂直于轴的直线交于两点,且,则的方程为　(　　) A.    B.   C.    D.【答案】C3、椭圆和一定具有（    ）A．相同的离心率   B．相同的焦点     C．相同的顶点     D．相同的长轴长【答案】A4、设椭圆的右焦点为，直线，若过点且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，且，则_____【答案】25、椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.【答案】　(－3，0)或(3，0)【解析】　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.则m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立，即m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0). 6、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值为（）A.1 B. C. D.【答案】C 考向二  焦点三角形的周长 1、已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ）A．   B．   C．   D．12答案：C解析：由椭圆方程可知a=，设椭圆的另一个焦点为F,如图，所以|AB|+|BF|=|CA|+|CF|=4.由此可得△ABC的周长为：|AB|+|BC|+|CA|=|AB|+|BF|+|CA|+|CF|=4             2、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，且到两焦点的距离之差为2，则是（   ）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．钝角三角形【答案】A【解析】由椭圆的方程，可得，所以，则，由椭圆的定义得，又到两焦点的距离之差为，不妨设，则，解得，又，所以，所以是直角三角形，故选A．备注：本题主要考查了椭圆定义及标准方程的应用，三角形形状的判断问题，解答的关键在于运用椭圆的定义列出方程组，得到三角形三边的长度，即可确定三角形的形状． 3、已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两点，且，则的周长为            .【答案】164、已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为                。【答案】20【解析】椭圆，可得，三角形AF2B的周长，，所以周长。题意结合椭圆的定义可得：又因为，所以的周长为： 考向三  焦点三角形的面积 1、已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.【答案】3【解析】由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.∴b＝3.2、以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)A．1                         B.C．2                         D．2答案：选D　解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.3、过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B两点，F为椭圆的右焦点，当的周长最大时，的面积为__________．【答案】【解析】由题意，椭圆的左右焦点坐标分别为F1(-2，0）、F（2,0），又由椭圆的定义可得所以的周长为显然，当且仅当A、B、F1共线时周长最长，最大值为，此时直线的方程为x-2y-2=0，联立方程组则 所以此时的面积为4、设是椭圆上的一点，、为焦点，，则的面积为（    ）A．         B．        C．        D．答案：B解析：因为椭圆方程为，所以.因此，椭圆的焦点坐标为,.根据椭圆的定义，得 ,因为，,所以 可得 所以.所以的面积为S= =5、已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．答案：解析：　(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－8)，F2(0,8)，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162，两式相减得2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144.又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，所以1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，解得cos∠F1PF2＝. 6、已知椭圆：的左右焦点分别为，，且，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，连接，，若三角形的周长为，，则三角形的面积为（    ）A．     B．      C．    D．答案：A解析：由和椭圆的定义，可得，求得，进而求得直角的面积，得到答案.由题意，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，三角形的周长为，根据椭圆的定义，可得，解得，又由，即，解得， 又由和椭圆的定义，可得，由，可得，所以直角的面积为.故选:A  考向四  椭圆性质的综合 1、（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（    ）A．当时，的面积为 B．不存在使为直角三角形C．存在使四边形面积最大 D．存在，使的周长最大【答案】AC【解析】如图：对于A选项，经计算显然正确；对于B选项，时，可以得出，当时，，根据对称性，存在使为直角三角形，故B错误；对于C选项，根据椭圆对称性可知，当时，四边形面积最大，故C正确；对于D选项，由椭圆的定义得：的周长；∵；∴，当过点时取等号；∴；即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大；此时直线；但，所以不存在，使的周长最大.故D错误.故选：AC 2、已知椭圆（）的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为A． B．
C． D．【答案】C【解析】，，，
又，
，从而．
故答案选C．
3、多选（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则（    ）A． B． C．  D．【答案】ABD【解析】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 ，（*） ，故A正确；，故B正确；（*）两式相加，可得，故C不正确；由（*）可得 ，两式相乘可得 ， ，故D正确.故选：ABD  4、已知动点在椭圆上，若点的坐标为，为平面内一点，，且，则|的最小值为________．答案：解析：由，，知点在以为圆心，为半径的圆上运动，且在椭圆上运动，，即为圆的切线，连接 (如图)，则，∴当时，.