数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程课后测评

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直线的方程 考向一  求直线的方程 1、根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；（3）斜率为，与轴交点的横坐标为－2；（4）直线过和  答案：（1） ；（2） （3）（4）解析：　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为.(2)∵倾斜角为150°，∴斜率.由斜截式可得方程为.（3）由直线与轴交点的横坐标为－2，得直线过点(－2,0)．又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为．（4）因为直线过点和，由两点式方程，得，即，可化为． 2、求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程。答案： 解析：设直线在轴和轴上的截距分别为。 ①当时，设的方程为。∵点在直线上，∴，若，则，直线方程为。 若，则，此时直线的方程为。 ②当时，直线过原点，且过点，∴直线的方程为。 综上所述，所求直线方程为。 备注：用截距式求直线方程的步骤：（1）由已知条件确定横、纵截距；（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＝1中，可得所求的直线方程。3、直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)的周长为12；(2)的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】设直线方程为，若满足条件(1)，则 ①又∵直线过点，∴. ②由①②可得，解得或∴所求直线的方程为，即.若满足条件(2)，则， ③由题意得： ， ④由③④整理得，解得或∴所求直线的方程为，即.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为. 考向二  直线的性质 1、直线在轴上的截距是（    ）A． B． C．4 D．5【答案】B【解析】在中，令可得即在轴上截距为，故选B．2、直线的图象可能是（     ）答案：解析：由题意知，故不选;又斜率与截距同号，故选3、如图所示，已知直线，直线，则它们的图象可能为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线中，，而直线，不符合题意；对于B，直线中，，而直线，，不符合题意；对于C，直线中，，而直线，，符合题意；对于D，直线中，，而直线，不符合题意；故选：C．4、若直线与两坐标轴都相交，则有（　　）A．  B．C． D．答案：A解析：若直线与两坐标轴都相交，则直线的斜率存在且不为0，及都不为0.备注：对于直线的一般式方程，5、已知两直线的方程分别为，它们在坐标系中的位置如图所示，则(　　)A. B. C. D. 【答案】　C【解析】　由题图可知直线的斜率都大于0，即 又的纵截距，的纵截距，，故选C.6、若直线在轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则(　　)A．  B．C．  D．答案：选D解析：　对于直线，令得，即，.因为的斜率为，直线的倾斜角是直线的2倍，所以直线的倾斜角为，即.7、设直线的方程为。（1）若在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）是否存在实数，使直线不经过第二象限？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由。答案：（1）或（2）解析：（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，即截距相等，∴时满足条件，此时的方程为；当时，直线平行于轴，在轴无截距，不合题意；当时，由，即。 此时直线在轴和轴上的截距都为－2，的方程为。 综上，直线的方程为或时，在两坐标轴上的截距相等。（2）假设存在实数，使直线不经过第二象限。将的方程化为，则有解得。 【总结提升】（1）在解方程中忽视的情形；（2）忽视直线经过原点的情形。解答此类综合问题，常采用分类讨论（或数形结合）的思想求解。解题时应结合具体问题选好切入点，以防增（漏）解。    考向三  定点问题 1、直线必过定点________.答案：解析：将直线方程变形为，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为，过定点.2、设直线的方程为，则直线经过定点　    　；若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为　　．【答案】，或【解答】解：①直线的方程为，化为：，联立 ，解得．则直线经过定点．②直线经过原点时，直线方程为：．直线不经过原点时，设直线方程为：．把代入可得．可得直线的方程为：．综上可得直线l的方程为：或．故答案为：，或． 3、设，则直线恒过定点           ．【答案】  变化为 对于任何都成立，则4、无论 取何值，直线 必过定点________．答案：解析：直线 ．
即 ．
由
求得 ，，可得直线经过定点 ．
5、已知，若不论为何值时，直线总经过一个定点，则这个定点的坐标是　　A． B． C． D．【答案】C【解析】由直线，知．不论为何值时，直线总经过一个定点，即有无数个解，且，，，这个定点的坐标是．故选C．6、已知直线 （1）求证：不论实数取何值，直线总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数取值范围．（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）直线方程可整理为：，联立 ，解得 ，∴直线恒过定点；（2）∵，当时， ，满足题意，当时，∴ ，∵直线不经过第二象限，∴ ，解得．∴实数的取值范围是；（3）由题意可知直线的斜率，解得 ，令可得 ，令可得．∴，对于函数其对称轴为 ，当时，此时函数取最小值，且为负数，为 所以函数的范围为 ，∴的面积有最小值，当时取最小值．此时的方程为：． 考向四  直线与其他知识相结合1、若直线：交轴负半轴于，交轴正半轴于，则当的面积取最小值时直线的方程为(　　)A．  B．C．   D． 答案：选B解析　由的方程，得依题意得，解得.因为，当且仅当，即时等号成立．此时的方程为. 2、若直线过点，则该直线在轴和轴上的截距之和的最小值为(　　)A．1　　　　　　　　　　 B．2C．4   D．8答案：选C解析　∵直线过点，∴，即 ，∴ a＋b＝(a＋b)，当且仅当时上式等号成立．∴直线在轴和轴上的截距之和的最小值为4.3、当时，直线与和两坐标轴围成一个四边形，问取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．【答案】当时，。【解答】解：如图，由已知，．∴都过定点，且的纵截距为，的横截距为．∴四边形面积，又，故当时，．【点评】本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．