2021学年2.4 圆的方程当堂检测题

这是一份2021学年2.4 圆的方程当堂检测题，共9页。
A． B．
C． D．
【分析】设为，依据题中条件动点到点的距离是到点的距离的倍，列出关于，的方程式，化简即可得点的轨迹方程．
【解答】解：设，则由题意可得：，
化简整理得．
故选：．
【点评】求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
2．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹方程为
A．B．C．D．
【分析】设出动点坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可．
【解答】解：设，由，
得，可得：，
即
故动点的轨迹方程为．
故选：．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查．
3、已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：直角顶点C的轨迹方程；
【答案】x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
【解析】方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知CD＝eq \f(1,2)AB＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
4、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
考向二 定义法求轨迹方程
1、设圆x2 + y2 − 4x + 2y − 11 = 0的圆⼼为A，点P在圆上，求PA的中点M的轨迹⽅程
答案：(x − 2)2 + (y + 1)2 = 4
2、已知BC是圆x2 + y2 = 25的弦，且|BC| = 6，则BC的中点M的轨迹⽅程是
【分析】第一步：利用垂径定理可得中点M (0, 0) 到圆心的距离为定值 ;
第二步：利用圆的定义得 M的轨迹方程:x2 + y2 = 16
3、已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，
∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0)．
(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，
∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴eq \(MC1,\s\up7(―→))·eq \(MO,\s\up7(―→))＝0.
又∵eq \(MC1,\s\up7(―→))＝(3－x，－y)，eq \(MO,\s\up7(―→))＝(－x，－y)，
∴x2－3x＋y2＝0.
易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C1相切时，
圆心到直线l的距离d＝eq \f(|3m－0|,\r(m2＋1))＝2，
解得m＝±eq \f(2\r(5),5).
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得
9x2－30x＋25＝0，解得x＝eq \f(5,3).
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，
∴eq \f(5,3)