数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课后复习题

这是一份数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课后复习题，共10页。
用空间向量求线线角，线面角 考向一  用坐标法求异面直所成角 1、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　) A.　　　　　　　 B.C. D.解析：选C　建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)， ＝(1,0，－2)，∴B1M与D1N所成角的余弦值为＝＝.2、如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)A．30°　　　　　　　　 B．45°C．60° D．90°解析：选C　以B为坐标原点，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，∴＝(0，－1，1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，则EF和BC1所成的角是60°，故选C.3、如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)A. B.C. D.解析：选A　设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1，F(1,0,1)，E，G(0,0,2)，＝，＝， ＝(1,0，－1)．设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则z＝1，y＝，故n＝为平面GEF的一个法向量，所以cos〈n，〉＝＝－，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.4、若平行六面体的底面是边长为2的菱形，且，⊥底面ABCD，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】连交于，交于，连，则，⊥底面ABCD，底面ABCD，底面是边长为2的菱形，，，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，，，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.5、在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，设，其中，则，因为与垂直，所以，所以，所以，因为，所以当时，取得最大值，此时取得最小值； 6.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝.如图，以O为坐标原点，射线OB，OC分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系O­xyz，则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)．设PB与AC所成角为θ，则cos θ＝＝＝.即PB与AC所成角的余弦值为. 7、如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【答案】见证明【解析】(1)证明　如图所示，连结BD，设BD∩AC＝G，连结EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，FG⊂平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴、y轴，||为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)，所以＝(1，，)，＝.故cos〈，〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.  考向二  用坐标法求线面角 1、在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则,
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为.故选：D．2、已知在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.B　[作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.]3、如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.A　[以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA＝CB＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，∴E，G，＝，＝(0，－a，1)．∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，∴＝，＝(2，－2，2)，∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．又cos〈，〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.]4、如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．　[取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.]5、在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令x＝2，得y＝1，z＝2，则n＝(2,1,2)．设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.答案：6、已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，则平面PAC的法向量为，D，，P，M，＝，所以＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.7、四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．[解]　(1)证明：连接AC交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，又M为AE的中点，∴MN∥EC.∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF，DE都与平面ABCD垂直，∴BF∥DE.∵BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.(2)∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D­xyz.设AB＝2，则DE＝4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A(2,0,0)，E(0,0,4)，∴＝(2,2,0)，＝(1,0,2)，设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则得令x＝2，则y＝－2，z＝－1，从而n＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量．∵＝(－2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ，则sin θ＝|cos n，|＝＝，∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为. 8、如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，，，，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长.【答案】(1)见解析.(2)2.【解析】 (1)证明：由题意易得，且，在中，，∴，∴，在中，，∴，又，∴面，又∴面，∴平面平面.（2）由（1）可知面，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的一个法向量为，由，则令，，，所以，∴，解得或（舍），故BN=2.