人教版九年级上册21.1 一元二次方程学案设计

第二十一章  一元二次方程

21.1  一元二次方程

学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；

2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；

3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.

重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.

难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.

一、知识链接

1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？

2.下面式子哪些是方程？

2+6=8                2x+3               5x+6=22

x+3y=8               x-5<18            

3. 设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.

二、要点探究

探究点1：一元二次方程的概念

问题1  有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题2  要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?

要点归纳：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，其中     称为二次项，     称为二次项系数，     称为一次项，     称为一次项系数，     称为常数项.

想一想：为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？

典例精析

例1  下列选项中，关于x的一元二次方程的是（  ）

方法总结：判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.

例2  a为何值时，下列方程为一元二次方程？

方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．

【变式题】方程(2a－4)x2－2bx+a=0,

（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？

（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？

方法总结：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：

1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；

2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.

例3  (教材P3例题)将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.

方法总结：系数和项均包含前面的符号.

探究点2：一元二次方程的根

问题1：下面哪些数是方程 x2–x–6 = 0的解?

        -4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4

要点归纳：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.

典例精析

例4  已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.

【变式题】已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根，求 2a2+4a+2018的值.

方法总结：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值．

探究点3：建立一元二次方程模型

问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？

三、课堂小结

1.下列哪些是一元二次方程？

3x+2=5x-2             x2=0            (x+3)(2x-4)=x2

3y2=(3y+1)(y-2)         x2=x3+x2-1       3x2=5x-1

2.填空：

3.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，

当k      　时，是一元二次方程；

当k      　时，是一元一次方程.

（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0，求m的值.

5.   (1) 如图，已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩     

形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）；

拓展提升

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程；一元一次方程的特点是：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③是整式方程.

2. 5x+6=22，x+3y=8 ，.

3.解：列方程得x2= 2(2－x)，整理，得x2 + 2x－4 = 0．

课堂探究

二、要点探究

探究点1：一元二次方程的概念

问题1  解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x2－75x +350 = 0.

问题2  解：根据题意，列方程：化简，得：

要点归纳   ax2   a   bx   b   c

想一想   当a=0时，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，故a≠0.b、c 可以为零.

典例精析

例1   C

例2   解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.

变式题   解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；（2）当a=2且b ≠0时，是一元一次方程．

例3   解：去括号，得：3x2－3x=5x+10.移项、合并同类项，得3x2－8x－10=0.其中二次项系数是3；一次项系数是－8；常数项是－10.

探究点2：一元二次方程的根

问题1 

所以x=－2，x=3是方程 x2–x–6 = 0的解.

例4   解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，.

变式题   解：由题意得：a2+2a－2=0即a2+2a=2.∴2a2+4a+2018=2(a2+2a)+2018=2×2+2018=2022.

探究点3：建立一元二次方程模型建立

问题   解：设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠的面积是2x2 m2.根据题意得32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.整理得x2－36x＋35=0. 

当堂检测

1.是一元二次方程的有：x2=0；(x+3)(2x－4)=x2；3x2=5x－1.

2.从左至右从上至下依次为x2+3x=0，1，3，0，3y2－2y+1=0，3，－2，1，4x2－5=0，4，0，－5，3x2－2x－5=0，3，－2，－5.

3.≠±1   ＝－1

4.(1)；

(2)解：将x=0代入方程m2－4=0，解得m=±2.∵ m+2 ≠0，∴ m≠－2，综上所述，m =2.

5.(1)解：设由于圆的半径为x cm，则它的面积为3x2 cm2.根据题意，得，

整理得.

(2)解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，得，整理得.

6.解：由题意得，即.

思考：(1)解：由题意得，即.∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.

(2)x=－1或x=2.