第1章 1.1.2　空间向量基本定理-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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图中的向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AA′,\s\up7(→))是不共面的三个向量，请问向量eq \(AC′,\s\up7(→))与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？
1．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？
[提示] 平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．
2．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．
3．相关概念
(1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
(2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．
(3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
(4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
思考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？
[提示] 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．
思考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？
[提示] 基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．
4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))＋zeq \(OC,\s\up7(→))，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．( )
(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．
( )
(3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)√ {a，b，c}为空间一个基底，则a，b，c不共面，－a、b、2c也不共面，故{－a，b,2c}也构成空间一个基底．
(2)√ 由共面定理知(2)正确．
(3)× 由c＝λa＋μb知a，b，c共面，不能构成基底．
2．(教材P16练习A①改编)对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
A [根据共面向量定理知a，b,2a－3b一定共面．]
3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )
A．eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→)) B．eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AA1,\s\up7(→))，eq \(AB1,\s\up7(→))
C．eq \(D1A1,\s\up7(→))，eq \(D1C1,\s\up7(→))，eq \(D1D,\s\up7(→)) D．eq \(AC1,\s\up7(→))，eq \(A1C,\s\up7(→))，eq \(CC1,\s\up7(→))
C [由题意知eq \(D1A1,\s\up7(→))，eq \(D1C1,\s\up7(→))，eq \(D1D,\s\up7(→))不共面，可以作为空间向量的一个基底．]
【例1】 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq \(A1E,\s\up7(→))＝2eq \(ED1,\s\up7(→))，F在对角线A1C上，且eq \(A1F,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up7(→))．求证：E，F，B三点共线．
[证明] 设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(→))＝c．
∵eq \(A1E,\s\up7(→))＝2eq \(ED1,\s\up7(→))，eq \(A1F,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up7(→))，
∴eq \(A1E,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(A1D1,\s\up7(→))，eq \(A1F,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(A1C,\s\up7(→))，
∴eq \(A1E,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)b，eq \(A1F,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AA1,\s\up7(→)))
＝eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AA1,\s\up7(→)))
＝eq \f(2,5)a＋eq \f(2,5)b－eq \f(2,5)c．
∴eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(A1F,\s\up7(→))－eq \(A1E,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)a－eq \f(4,15)b－eq \f(2,5)c＝eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b－c))．
又eq \(EB,\s\up7(→))＝eq \(EA1,\s\up7(→))＋eq \(A1A,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝－eq \f(2,3)b－c＋a＝a－eq \f(2,3)b－c，
∴eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(EB,\s\up7(→))．
∴E，F，B三点共线．
判断向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线.
eq \([跟进训练])
1．如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断eq \(CE,\s\up7(→))与eq \(MN,\s\up7(→))是否共线？
[解] eq \(CE,\s\up7(→))与eq \(MN,\s\up7(→))共线，证明：∵M，N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．
∴eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＋eq \(FN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up7(→))，
又eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MC,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))＋eq \(EB,\s\up7(→))＋eq \(BN,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))－eq \(AF,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up7(→))，
∴eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(CE,\s\up7(→))－eq \(AF,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up7(→))，
∴eq \(CE,\s\up7(→))＝eq \(CA,\s\up7(→))＋2eq \(AF,\s\up7(→))＋eq \(FB,\s\up7(→))＝2(eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＋eq \(FN,\s\up7(→)))＝2eq \(MN,\s\up7(→))，
∴eq \(CE,\s\up7(→))∥eq \(MN,\s\up7(→))，即eq \(CE,\s\up7(→))与eq \(MN,\s\up7(→))共线．
【例2】 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))．
(1)判断eq \(MA,\s\up7(→))，eq \(MB,\s\up7(→))，eq \(MC,\s\up7(→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解] (1)易知eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝3eq \(OM,\s\up7(→))，
∴eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OM,\s\up7(→))＝(eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))＋(eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))，
∴eq \(MA,\s\up7(→))＝eq \(BM,\s\up7(→))＋eq \(CM,\s\up7(→))＝－eq \(MB,\s\up7(→))－eq \(MC,\s\up7(→))，
∴向量eq \(MA,\s\up7(→))，eq \(MB,\s\up7(→))，eq \(MC,\s\up7(→))共面．
(2)由(1)知向量eq \(MA,\s\up7(→))，eq \(MB,\s\up7(→))，eq \(MC,\s\up7(→))共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
判断三个(或三个以上)向量共面的方法
(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．
(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
eq \([跟进训练])
2．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM．应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．
[证明] ∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R为所在边的中点，
顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有eq \(PE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(PM,\s\up7(→))，eq \(PF,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(PN,\s\up7(→))，eq \(PG,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(PQ,\s\up7(→))，eq \(PH,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(PR,\s\up7(→))．
∵四边形MNQR为平行四边形，
∴eq \(EG,\s\up7(→))＝eq \(PG,\s\up7(→))－eq \(PE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(PQ,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \(PM,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(MQ,\s\up7(→))
＝eq \f(2,3)(eq \(MN,\s\up7(→))＋eq \(MR,\s\up7(→)))
＝eq \f(2,3)(eq \(PN,\s\up7(→))－eq \(PM,\s\up7(→)))＋eq \f(2,3)(eq \(PR,\s\up7(→))－eq \(PM,\s\up7(→)))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\(PF,\s\up7(→))－\f(3,2)\(PE,\s\up7(→))))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\(PH,\s\up7(→))－\f(3,2)\(PE,\s\up7(→))))
＝eq \(EF,\s\up7(→))＋eq \(EH,\s\up7(→))，
∴由共面向量定理得eq \(EG,\s\up7(→))，
eq \(EF,\s\up7(→))，eq \(EH,\s\up7(→))共面，
所以E，F，G，H四点共面．
[探究问题]
1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？
[提示] 不唯一，不共面．
2．空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？
[提示] 基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来．
3．用基底表示向量应注意哪些问题？
[提示] (1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
【例3】 (1)若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
(2)如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知eq \(AA′,\s\up7(→))＝a，eq \(AB,\s\up7(→))＝b，eq \(AC,\s\up7(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq \(AM,\s\up7(→))，eq \(AN,\s\up7(→))．
[思路探究] (1)判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
(2)借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来．
[解] (1)假设a＋b，b＋c，c＋a共面．
则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c．
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
(2)eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC′,\s\up7(→))
＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BB′,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→)))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BB′,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))
＝b＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)(c－b)
＝b＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)b
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c．
eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \(AA′,\s\up7(→))＋eq \(A′B′,\s\up7(→))＋eq \(B′N,\s\up7(→))
＝eq \(AA′,\s\up7(→))＋eq \(A′B′,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(B′C′,\s\up7(→))
＝a＋b＋eq \f(1,2)(eq \(A′C′,\s\up7(→))－eq \(A′B′,\s\up7(→)))
＝a＋b＋eq \f(1,2)(c－b)
＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c．
1．(变条件)若把本例3(2)中的eq \(AA′,\s\up7(→))＝a改为eq \(AC′,\s\up7(→))＝a，其他条件不变，则结果又是什么？
[解] eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BM,\s\up7(→))
＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC′,\s\up7(→))
＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AC′,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))
＝b＋eq \f(1,2)(a－b)
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b．
eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \(AC′,\s\up7(→))＋eq \(C′N,\s\up7(→))
＝eq \(AC′,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(C′B′,\s\up7(→))
＝eq \(AC′,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(B′C′,\s\up7(→))
＝eq \(AC′,\s\up7(→))－eq \f(1,2)(eq \(A′C′,\s\up7(→))－eq \(A′B′,\s\up7(→)))
＝a－eq \f(1,2)(c－b)
＝a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c．
2．(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量eq \(MP,\s\up7(→))．
[解] eq \(MP,\s\up7(→))＝eq \(MC′,\s\up7(→))＋eq \(C′A′,\s\up7(→))＋eq \(A′P,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)eq \(BC′,\s\up7(→))－eq \(A′C′,\s\up7(→))－eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(BB′,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→)))－eq \(AC,\s\up7(→))－eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)[eq \(AA′,\s\up7(→))＋(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))]－eq \(AC,\s\up7(→))－eq \f(1,3)eq \(AA′,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)(a＋c－b)－c－eq \f(1,3)a
＝eq \f(1,6)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c．
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量．
1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．
2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
1．O，A，B，C为空间四点，且向量eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，则( )
A．eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))共线B．eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))共线
C．eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))共线 D．O，A，B，C四点共面
D [由eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))不能构成基底知eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．]
2．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(BM,\s\up7(→))，eq \(BN,\s\up7(→))不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由eq \(BA,\s\up7(→))、eq \(BM,\s\up7(→))、eq \(BN,\s\up7(→))共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq \f(λ,k)a＋eq \f(μ,k)b，
∴c与a，b共面与条件矛盾．
∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．]
3．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取eq \(PQ,\s\up7(→))＝a，eq \(PR,\s\up7(→))＝b，eq \(PS,\s\up7(→))＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则eq \(GH,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)
－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c [eq \(GH,\s\up7(→))＝eq \(PH,\s\up7(→))－eq \(PG,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(b＋c)－eq \f(2,3)a．]
4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))＋zeq \(OC,\s\up7(→))，则2x＋4y＋2z＝________．
2 [如图，由已知eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AG1,\s\up7(→)))
＝eq \f(3,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up7(→))＋\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))＋\(AC,\s\up7(→))))))
＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,4) [(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))]＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up7(→))，
∴x＝y＝z＝eq \f(1,4)，∴2x＋4y＋2z＝2．]
5．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(→))＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq \(AP,\s\up7(→))；(2)eq \(AM,\s\up7(→))．
[解] 在平行六面体
ABCD­A1B1C1D1中，
连接AC，AD1．
(1)eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(AA1,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(AA1,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)．
(2)eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(AD1,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,2)c．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解空间向量基本定理．(重点)
2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．(难点)
3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点)
1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．
2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．
向量共线问题
共面定理及应用
基底的判断及应用