第2章 2.6.1　双曲线的标准方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．
1．双曲线定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．
思考1：双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？
[提示] 若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P的轨迹不存在．
思考2：定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？
[提示] 此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程
思考3：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
[提示] 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．
思考4：如何确定双曲线标准方程的类型？
[提示] 焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(2)在双曲线标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，a>0，b>0且a≠b．( )
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)× 差的绝对值是常数，且0＜2a＜|F1F2|才是双曲线．
(2)× 当a＝b时，方程也表示双曲线，故该说法错误．
(3)× 在双曲线中a与b的大小关系不确定．
2．双曲线eq \f(x2,15)－y2＝1的焦距为( )
A．4 B．8
C．eq \r(14) D．2eq \r(14)
B [a2＝15，b2＝1，c2＝a2＋b2＝16，∴c＝4,2c＝8．]
3．若点M在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|等于( )
A．2 B．4
C．8 D．12
B [双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，
所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4．]
4．点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹方程为 ．
x2－eq \f(y2,3)＝1 [因为|F1F2|＝4＝2c，所以c＝2．
又2a＝2，a＝1，故b2＝c2－a2＝3，所以点P的轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1．]
[探究问题]
1．双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？
[提示] 不加绝对值，图象只为双曲线的一支，设F1、F2表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上，若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．
2．若点M在双曲线上，一定有||MF1|－|MF2||＝2a吗？
[提示] 一定．若||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线，反之一定成立．
【例1】 已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．
[思路探究] 根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F1PF2即可．
[解] 由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5．
由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得
|PF1|－|PF2|＝－6，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
又∵|PF1|·|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝100，
由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝16．
1．(变换条件)若本例中的标准方程不变，点P是双曲线上的一点，且eq \(PF1,\s\up14(→))·eq \(PF2,\s\up14(→))＝0，求△PF1F2的面积．
[解] 因为eq \(PF1,\s\up14(→))·eq \(PF2,\s\up14(→))＝0，所以eq \(PF1,\s\up14(→))⊥eq \(PF2,\s\up14(→))，不妨设点P在右支上，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|\(PF1,\s\up14(→))|2＋|\(PF2,\s\up14(→))|2＝4c2＝100,|\(PF1,\s\up14(→))|－|\(PF2,\s\up14(→))|＝2a＝6，))
解得|eq \(PF1,\s\up14(→))|·|eq \(PF2,\s\up14(→))|＝32，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|eq \(PF1,\s\up14(→))|·|eq \(PF2,\s\up14(→))|＝16．
2．(变换条件)若把本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”换成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积．
[解] 由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5，
由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
可设|PF1|＝2k，|PF2|＝5k．
由|PF2|－|PF1|＝6可得k＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝10，
由余弦定理得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(16＋100－100,2×4×10)＝eq \f(1,5)，
∴sin∠F1PF2＝eq \f(2\r(6),5)，S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×4×10×eq \f(2\r(6),5)＝8eq \r(6)．
双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有
1定义：|r1－r2|＝2a.
2余弦公式：.
3面积公式：
一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.
【例2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5,6)；
(2)经过点P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(3,2)\r(5)))和P2(eq \f(4,3)eq \r(7)，4)两点．
[思路探究] 先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组求解．
[解] (1)由已知c＝6，且焦点在y轴上，另一个焦点为(0,6)，
由双曲线定义
2a＝|eq \r(－5－02＋6＋62)－eq \r(－5－02＋6－62)|＝8，
∴a＝4，b2＝c2－a2＝20．
所以所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1．
(2)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
∵P1，P2在双曲线上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－22,a2)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\r(5)))eq \s\up12(2),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)\r(7)))eq \s\up12(2),a2)－\f(42,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＝－\f(1,16),\f(1,b2)＝－\f(1,9)))，(不合题意舍去)
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
将P1，P2的坐标代入上式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\r(5)))eq \s\up12(2),a2)－\f(－22,b2)＝1，,\f(42,a2)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)\r(7)))eq \s\up12(2),b2)＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＝\f(1,9)，,\f(1,b2)＝\f(1,16)，))
即a2＝9，b2＝16．
∴所求双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1．
法二：∵双曲线的位置不确定，
∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m＋\f(45,4)n＝1，,\f(16,9)×7m＋16n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,16)，,n＝\f(1,9)，))
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1．
1．求双曲线标准方程的两个关注点
2．待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤
(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能．
(2)设方程：根据焦点位置，设其方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程．
提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．
eq \([跟进训练])
1．根据条件求双曲线的标准方程．
(1)a＝2eq \r(5)，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1共焦点且过点(3eq \r(2)，eq \r(2))．
[解] (1)∵双曲线的焦点在y轴上，
∴可设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
∵由题设知，a＝2eq \r(5)，且点A(2，－5)在双曲线上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(5)，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))∴解得a2＝20，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1．
(2)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,5)＝1的焦点坐标为(2eq \r(5)，0)，(－2eq \r(5)，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则a2＋b2＝20．
又∵双曲线过点(3eq \r(2)，eq \r(2))，∴eq \f(18,a2)－eq \f(2,b2)＝1．
∴a2＝20－2eq \r(10)，b2＝2eq \r(10)．
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,20－2\r(10))－eq \f(y2,2\r(10))＝1．
【例3】 在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝eq \f(3,4)，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
[解] 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝eq \f(3,4)，故设|PN|＝3k，|PM|＝4k．
则|MN|＝5k，由3k＋4k＋5k＝48得k＝4．所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．
以MN所在的直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，
∴a＝2，a2＝4，由|MN|＝20得2c＝20，c＝10，所以b2＝c2－a2＝96．
故所求双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,96)＝1(x≠±2)．
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．
eq \([跟进训练])
2．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4．
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝eq \f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq \f(91,4)．
∴动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,\f(91,4))＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≤－\f(3,2)))．
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．
1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．]
2．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．eq \f(1,2) B．1或－2
C．1或eq \f(1,2) D．1
D [由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，解得a＝1．]
3．若方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,m2－4)＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2,2)
C [由题意，方程可化为eq \f(y2,m2－4)－eq \f(x2,1－m)＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－4＞0，,1－m＞0，))解得：m＜－2．]
4．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，P是双曲线上的一点且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为 ．
eq \f(x2,4)－y2＝1 [设|PF1|＝m，|PF2|＝n．(m＞0，n＞0)，在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，由双曲线的定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16＝4a2，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝1，∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1．]
5．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆M的半径为r．
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1．
相减得|MC1|－|MC2|＝4．
又因为C1(－3,0)，C2(3,0)，
并且|C1C2|＝6＞4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
且有a＝2，c＝3．所以b2＝5，
所求的轨迹方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点)
2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)
3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养．
2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
图形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系式
c2＝a2＋b2
双曲线定义的应用
求双曲线的标准方程
与双曲线有关的轨迹问题