人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.1 随机变量及其与事件的联系课时训练

4.2　随机变量

4.2.1　随机变量及其与事件的联系　4.2.2　离散型随机变量的分布列

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(多选)①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;

②某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;

③测量一批电阻,阻值在950 Ω~1 200 Ω之间;

④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.

其中是离散型随机变量的是(　　)

A.① B.②

C.③ D.④

解析①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量,而③④中的结果不能一一列出,故不是离散型随机变量.故选AB.

答案AB

2.(2019天津高二期中)同时抛掷3个硬币,正面向上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为(　　)

A.3 B.4

C.1,2,3 D.0,1,2,3

解析同时抛掷3个硬币,正面向上的个数可能取值为0,1,2,3.故选D.

答案D

3.设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n,如果P(ξ<4)=0.3,那么(　　)

A.n=3 B.n=4

C.n=10 D.n=9

解析由ξ<4知ξ=1,2,3,所以P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.3=,解得n=10.故选C.

答案C

4.(2020山东潍坊检测)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P<X<的值为(　　)

A. B. C. D.

解析根据题意,由于P(X=n)=,那么可知,n=1,2,3,4时,则可得概率和为1,即=1,解得a=.∴P<X<=P(X=1)+P(X=2)=.故选D.

答案D

5.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时总共拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为　　　　　. 

解析由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24种.

答案24

6.一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,设其级别为随机变量ξ,则P(ξ>1)=　　　　　. 

解析依题意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=4),

由分布列性质得P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1,

则4P(ξ=2)=1,即P(ξ=2)=,P(ξ=3)=P(ξ=4)=.

所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=.

答案

能力提升练

1.(2020天津月考)袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为离散型随机变量的是(　　)

A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球

C.取到白球的个数 D.取到的球的个数

解析根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量,其可以一一列出,其中随机变量X的取值为0,1,2,故选C.

答案C

2.(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　)

A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X

B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X

C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=

D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X

解析A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布,故选BCD.

答案BCD

3.设随机变量X的概率分布如下表所示,则P(|X-3|=1)=(　　)

A. B. C. D.

解析m=1-,P(|X-3|=1)=P(2)+P(4)=.故选D.

答案D

4.(2019青海高二月考)离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:

则P<X<等于(　　)

A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55

解析根据分布列的性质知,随机变量的所有取值的概率和为1,因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,

即10x+y=25,由x,y是0~9间的自然数可解得x=2,y=5,故P<X<=P(X=2)+P(X=3)=0.35.故选B.

答案B

5.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤ξ≤n)等于　　　　　. 

解析P(m≤ξ≤n)=1-P(ξ>n)-P(ξ<m)=1-[1-(1-a)]-[1-(1-b)]=1-(a+b).

答案1-(a+b)

6.(2020浙江高三专题练习)设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X≥2)=　　　　　. 

解析因为随机变量X的分布列P(X=i)=(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=k=1,解得k=,

因此P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=k=.

答案

7.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.

(1)求袋中所有的白球的个数;

(2)求随机变量ξ的分布列;

(3)求甲取到白球的概率.

解(1)设袋中原有n个白球,由题意知,即n2-n-6=0.

解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3个白球.

(2)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5.

P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=.所以ξ的分布列为

(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球,记“甲取到白球”为事件A,则P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=.

素养培优练

1.(2020北京月考)抛掷两枚骰子一次,ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则ξ的所有可能的取值为(　　)

A.0≤ξ≤5,ξ∈N B.-5≤ξ≤0,ξ∈Z

C.1≤ξ≤6,ξ∈N D.-5≤ξ≤5,ξ∈Z

解析第一枚的最小值为1,第二枚的最大值为6,差为-5.第一枚的最大值为6,第二枚的最小值为1,差为5.故ξ的取值范围是-5≤ξ≤5,故选D.

答案D

2.已知随机变量ξ的分布列为

分别求出随机变量η1=ξ,η2=ξ2的分布列.

解由η1=ξ知,对于ξ取不同的值-2,-1,0,1,2,3时,η1的值分别为-1,-,0,,1,.

所以η1的分布列为

由η2=ξ2知,对于ξ的不同取值-2,2与-1,1,η2分别取相同的值4与1,则P(η2=4)=P(ξ=-2)+P(ξ=2)=,P(η2=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=.

所以η2的分布列为