人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教案设计

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题07基本不等式（测）

1．若实数x，y满足，则的最大值为　　

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】

实数x，y满足，

，

，

当，时取等号，

故选：C．
2．已知，都为正实数，，则的最大值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，都为正实数，，

所以，

当且仅当，即时，取最大值.

故选B
3．若是正数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

当且仅当或时取等号.

故选：C
4．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．
5．若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由基本不等式得，

当且仅当，由于，，即当时，等号成立，

所以，的最小值为，由题意可得，即，

解得，因此，实数的取值范围是，故选D.
6．设，为正数，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

当时，

，

当且仅当时，即取等号，

.

故选：D
7．已知，，且满足，则的最小值为（　　　　）

A．7 B．9 C．4 D．

【答案】B

【解析】

因为，，且满足，

所以≥9，

当且仅当时，等号成立．

故选：B．
8．若正数满足，当取得最小值时，的值为（    ）

A． B．2 C． D．5

【答案】B

【解析】

∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0

∴

∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3

当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2.

故答案为B.
9．已知正数、满足，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，所以，，

则，

所以，，

当且仅当，即当时，等号成立，

因此，的最小值为，

故选．
10．若，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，

设

原式

当即时有最大值为

故答案选C
11．已知，则的最小值为（    ）.

A．9 B． C．5 D．

【答案】B

【解析】

.

，且，

，

当且仅当，即时，取得最小值2.

的最小值为.

故选B.
12．若正数满足，则的最小值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】

∵ ；

∴

∴

∴

当且仅当，即时，等号成立.

故选B.
13．函数y=x+，x＞0的最小值是_____．

【答案】2

【解析】

由题意，因为，所以y=x+，当且仅当x=1 取等号．

故函数y=x+，x＞0的最小值是2．

故答案为2．
14．函数的最小值为__________.

【答案】5

【解析】

因为，

故可得，

当且仅当，即时取得最小值.

故答案为：.
15．已知a，b，c均为正数，且abc＝4a+9b，则a+b+c的最小值为_____．

【答案】10

【解析】

（当且仅当时，取等号）

故答案为：10
16．已知，，，则的最小值为__________．

【答案】8

【解析】

由题意可得：

则的最小值为.

当且仅当时等号成立.
17．已知，，，求的最小值．

【答案】25

【解析】

．

当且仅当，即时取等号，

故的最小值的最小值为25．

故答案为：25.
18．已知，且.

（1）求证：；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）因为，且，

由基本不等式，可得，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

所以，

即，且当仅当时，等号成立，

因为，

所以，

即，，则不等式得证.

（2）因为，

由基本不等式，可得，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

，即，

则不等式得证.
19．森林失火，火势以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁的森林损失费为60元，设消防队派名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用分钟．

（1）求出与的关系式；

（2）求为何值时，才能使总损失最少．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知可得，

所以．

（2）设总损失为元，则

，

当且仅当，即时，取最小值．

答：需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36450元．
20．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【答案】（1）；

（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.

【解析】

（1）由题意知，当时，（万件），

则，解得，.

所以每件产品的销售价格为（元），

2018年的利润.

（2）当时，，

，当且仅当时等号成立.

，

当且仅当，即万元时，（万元）.

故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.

21．已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，则的最小值________；的最大值为________.

【答案】       

【解析】

，，且，

则，

当且仅当且即，时取等号，

，

当且仅当时取等号.

故答案为：，
22．已知a，b都是正数，且，则ab的最大值是________，的最小值是________.

【答案】1       

【解析】

解法一：因为,所以,解得,

当且仅当时取等号,所以ab的最大值是1.

因为,所以,所以,

当且仅当时取等号,则的最小值是.

解法二：因为,所以,所以,.

令,则,,当且仅当时取等号,,当且仅当时取等号.

解法三：因为,所以,解得.

当且仅当时取等号.因为,所以,

即.因为,当且仅当时取等号,所以.

故答案为：(1). 1    (2).