人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教案

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》

专题07基本不等式（练）

1．设，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】D

【解析】

因为；

所以

．

当且仅当，时取等号，

的最小值为6．

故选：D．
2．已知，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

已知，，，

则，

当且仅当 时，即当，且，等号成立，

故的最小值为，

故选：．
3．已知正实数、满足，则最小值为（    ）

A． B．4

C． D．3

【答案】D

【解析】

∵，则，于是整合得当且仅当时取等号，于是的最小值为3．故选D．
4．已知，且，则的最小值为

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】B

【解析】

，当且仅当时等号成立，取得最小值14
5．若，则的最大值是    （   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A
6．已知，求函数的最小值是    （   )

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】

由，即，所以，时取“=”，所以正确选项为D
7．若，，且，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【解析】

∵，∴，，当且仅当，即时等号成立，

∴，当且仅当时等号成立，

综上的最小值是4．

故选：C．
8．若，则的最小值是________．

【答案】3

【解析】

∵，即有

而，当且仅当时等号成立

∴当时，的最小值为3

故答案为：3
9．某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站千米处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站__________千米处．

【答案】5

【解析】

设仓库与车站的距离为，

由题意可设，，

把，与，分别代入上式得，，

故，，

∴这两项费用之和，

当且仅当，

即时等号成立，

故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站千米处．

故答案为5.
10．函数的最小值为__________.

【答案】5

【解析】

因为，

故可得，

当且仅当，即时取得最小值.

故答案为：.
11．已知，若恒成立，则 的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

根据题意，，若恒成立等价于恒成立，

由于，，

当且仅当，即时等号成立.

所以

故答案为：
12．若，且，则的最大值是______

【答案】.

【解析】

∵

∴ ，

当且仅当时，取得最大值为.

故答案为：
13．某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元.

（1）求的值；

（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用.

【答案】（1）；（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.

【解析】

（1）由题意，当每批购入400台时，全年的运费为，

每批购入的电视机的总价值为（元），所以保管费为（元）

因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以，解得.

（2）设每批进货台，则运费为，保管费为，

所以支付运费与保管费的和为，

因为，当且仅当，即时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.
14．已知，为正实数，．

（1）证明：．

（2）证明：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）证明：因为，，

由基本不等式可得，

，当且仅当时等号成立，

所以，即，

所以，

所以，即，

由基本不等式可得，，

所以，即得证.

（2）证明：因为，

所以，

即，

由（1）知，，所以，

所以，即得证.
15．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1），

，

当且仅当时取等号；

所以的最小值为；

（2），

，

当且仅当时取等号，

所以的最大值为.

1．若实数满足，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由实数满足，，设，解得，

则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为，故选D.
2．已知，则有　　

A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1

【答案】D

【解析】

当且仅当即时取等号，

故选：．
3．若 ，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

因为，所以，

又由基本不等式可得：，所以，

又，所以，

因此.

故选：C.
4．已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故选：C.
5．设、、，，，，则、、三数（    ）

A．都小于 B．至少有一个不大于

C．都大于 D．至少有一个不小于

【答案】D

【解析】

由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，

故选D.
6．函数的最小值是 （ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】

,当且仅当x=3时，函数取得最小值，最小值为5.
7．若，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，且，，，故不成立；，故成立；，故不成立，，故不成立.

故选：
8．函数的值域为__________．

【答案】

【解析】

设，

当时，，

当且仅当时等号成立；

同理当时，，

当且仅当时等号成立；

所以函数的值域为.

故答案为: .
9．已知，则的最小值为__________ ；

【答案】32

【解析】

，当且仅当时取“=”，即，所以答案为32
10．已知四个函数①；②；③；④，其中函数最小值是2的函数编号为____________．

【答案】②④

【解析】

①函数的自变量没有正数条件，其最小值不是2；②函数，当时，当时，函数最小值为2；③函数，最小值为2时取等号的条件不满足；④，当且仅当时取“=”

．所以正确答案为②④．
11．若正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

由可得

当且仅当时，等号成立.

则的最小值为

故答案为：
12．已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】

，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：
13．若，求函数的最小值，并求此时的值；

设，求函数的最大值；

已知，求的最小值；

已知，，且，求的最小值.

【答案】时,取得最小值；；；.

【解析】

当时，，

当且仅当，即时取等号.

所以函数的最小值为，当时，有最小值.

，，

.

当且仅当，即时，等号成立.

，

函数的最大值为.

，，

，

当且仅当，即时，等号成立.

 的最小值为.

，且，

，

当且仅当，，

即，时，上式取等号.

故当，时，.
14．已知正实数a，b满足，求的最小值.

【答案】

【解析】

，

当且仅当，即时取等号，

的最小值为.
15．（1）当时，求的最大值

（2）若且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1），当时取等号.

（2），当时取等号.

∴最小值为16.